Основания математики - элементарное рассмотрение

[AKM]

AKM в сообщении #445818 писал(а):

vek88

предупреждение за подъём темы неинформативным сообщением!

А это — второе предупреждение. Отсутствие интереса к предложенным Вами задачам не является поводом для искусственного подъёма темы.
Наберитесь терпения. Может, кто-то захочет порешать.

[докер]

У меня есть вариант ответа. задача 1- дуршлаг, задача 2 не понимаю, задача 3- дуршлаг, задача 4, зависит от того среду воспринимать объектом, объект воспринимать средой, объект воспринимать объектом, или вместе воспринимать и объект и среду.

[vek88]

В теме topic47804.html был задан вопрос

viatore в сообщении #467610 писал(а):

Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?

Это ИМХО очень хороший пример некорректного определения. В отличие от парадокса Рассела здесь нет необходимости вникать в малопонятные конструкции типа множества всех множеств или множества, принадлежащего самому себе. Проиллюстрируем полезность К-систем для выявления некорректных определений на этом примере.

В К-системе определение множества $A$ записывается правилом

$$\frac{x \in X \quad x \notin A}{x \in A}.$$

Предположим, что множество $A$ определяется только этим правилом, т.е. других правил с предикатом $x \in A$ в заключении правила нет. Тогда для рассматриваемой К-системы имеет место метатеорема

$$x \in A \leftrightarrow ((x \in X) \wedge (x \notin A)).$$

Предположим, что $X$ - непустое множество. Пусть $x_0 \in X$. Подставим $x_0$ вместо $x$ в эту метатеорему – получим выражение

$$x_0 \in A \leftrightarrow ((x_0 \in X) \wedge (x_0 \notin A)).$$

Отсюда немедленно выводим противоречие

$$x_0 \in A \leftrightarrow x_0 \notin A.$$

And the moral of this is – данная К-система не полна, следовательно, исходное определение множества $A$ некорректно.

И мы установили это без всяких аксиоматизаций теории множеств и тому подобных сложностей, которыми изобилует тема topic47804.html.

[viatore]

я совсем не знаю что такое К-системы
и русский гугл тоже на первых нескольких страницах
что такое К-система
что такое полная и неполная К-системы

попробую порассуждать ничего не зная. не судите строго

если говорить совсем кратко, то получается так - мы задали что-то
получили противоречие, значит наше заданное что-то "кривое"

я могу повторить такую логику в своих терминах
я задал множество А, оно ведет к противоречию
значит я задал не множество

скользкий путь...
фактически у вас есть аксиома "если есть противоречие, значит рассматриваемый объект не может рассматриваться".. как минимум странно для математики

[Someone]

viatore в сообщении #468191 писал(а):

я могу повторить такую логику в своих терминах
я задал множество А, оно ведет к противоречию
значит я задал не множество

Вы не задали множества $A$. Я пока не вижу определения.

[vek88]

viatore в сообщении #468191 писал(а):

я совсем не знаю что такое К-системы
и русский гугл тоже на первых нескольких страницах
что такое К-система
что такое полная и неполная К-системы

Не надо гугл - краткое изложение см. в этой теме выше post284210.html#p284210

Подробности см. в книге Представление в ЭВМ неформальных процедур http://narod.ru/disk/2413304001/%D0%9A% ... .djvu.html

Остальную часть Вашего сообщения post468191.html#p468191 прокомментирую позже - там есть золотые слова - можно сказать, что устами незнающего К-системы глаголет истина.

[praeinant]

vek88 в сообщении #287121 писал(а):

я нигде не ратую за конструктивизм, а просто объясняю суть двух подходов: контруктивного и классического (наивного, интуитивного). .

Если тут исходить от классического (наивного, интуитивного) то это можно сопоставить с линейной (внешней) бесконечностью. Линейная бесконечность есть в виде линии, у которой начало и конец не стыкуются. Тем начало и конец не определяется. Напр. к бесконечной цепочке цифр всегда можно дописать по цифре с обеих концов и еще раз и еще...

Если брать круговую (внутреннюю) бесконечность, то там картинка несколько иная.
Круговая бесконечность есть в виде окружности, это когда начало бесконечности стыкуется с ее концом. Напр. периметр круга можно делить на бесконечное число все меньших отрезков, но смысл 360 градусов остается постоянной величиной...

А если все некие характеристики закруглить в кольцо, то можно создавать теории/математики на основе конечной точки той бесконечности, а это в свою очередь может означать и совершенную модель того или иного конструктивного продукта. Совершенного в том смысле, что более совершенного в принципе не позволяет структура бесконечности.

По моему, занятие совершенным подходом (как разновидностью конструктивизма, может + х) есть самое перспективное направление...

[vek88]

viatore в сообщении #468191 писал(а):

если говорить совсем кратко, то получается так - мы задали что-то
получили противоречие, значит наше заданное что-то "кривое"

я могу повторить такую логику в своих терминах
я задал множество А, оно ведет к противоречию
значит я задал не множество

скользкий путь...
фактически у вас есть аксиома "если есть противоречие, значит рассматриваемый объект не может рассматриваться".. как минимум странно для математики

viatore

Вы здесь "едины в двух лицах" - высказали правильную мысль и ... сами же ее испугались. У меня сразу возникла ассоциация с Пуассоном. См. в Википедии:

Цитата:

Пятно Араго — Пуассона (иногда просто пятно Пуассона) — это яркое пятнышко, возникающее за освещённым направленным пучком света непрозрачным телом в его области геометрической тени.

Это явление стало одним из веских подтверждений волновой теории света. Существование этого пятна показал теоретически в 1818 году Симеон Дени Пуассон на основе предложенной Огюстеном Френелем теории. Получалось, что за большим круглым непрозрачным телом прямо в середине его геометрической тени должно возникать небольшое светлое пятно. Очевидную абсурдность этого результата Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории дифракции Френеля, однако Доминик Араго поставил эксперимент, подтвердивший это предсказание. В итоге этот результат, ставший известным как пятно Араго — Пуассона, оказался весомым аргументом в пользу новой волновой теории.

Курсив мой.

Пока ограничусь этим замечанием. Далее постепенно покажу, что Вы правы, а испугались своей правоты зря. Другими словами, интуиция Вас не подвела, а разум ... отказался этому верить.

[vek88]

viatore в сообщении #468191 писал(а):

если говорить совсем кратко, то получается так - мы задали что-то
получили противоречие, значит наше заданное что-то "кривое"

Давайте пока оставим в покое К-системы и рассмотрим Ваше утверждение в традиционных терминах.

Предположим, задана некоторая непротиворечивая теория $T$. Добавим к этой теории одну или более аксиом. Если полученная при этом расширенная теория оказывается противоречивой, то естественно заключить, что мы добавили «кривые» аксиомы.

Однако в обсуждаемом примере все даже проще. У нас была непротиворечивая теория (в формальном или неформальном смысле). А мы добавили противоречивую аксиому (или схему аксиом). А уж здесь и ежу понятно, что мы получим в результате противоречивую теорию. Следовательно, мы добавили к исходной теории нечто, в Ваших терминах, кривое.

vek88 в сообщении #468453 писал(а):

я могу повторить такую логику в своих терминах
я задал множество А, оно ведет к противоречию
значит я задал не множество

Здесь я бы уточнил - это значит, что Вы вообще ничего не задали кроме противоречия. Тем самым Вы построили противоречивую теорию. А называть $A$ множеством или не называть - отношения к делу не имеет.

viatore в сообщении #468191 писал(а):

скользкий путь...
фактически у вас есть аксиома "если есть противоречие, значит рассматриваемый объект не может рассматриваться".. как минимум странно для математики

Здесь я бы сформулировал более аккуратно и строго математически. В традиционных терминах уточнение выглядит так: если теория содержит противоречие, то теория противоречива. Доказательство ИМХО не требуется в силу очевидности.

А рассматривать или не рассматривать рассматриваемый объект (то бишь противоречивую аксиому или схему аксиом) - это Ваша селедка. Можно и рассматривать - чем народ и занялся с большим энтузазизмом в Вашей теме.

В терминах К-систем уточню это Ваше утверждение позднее.

[vek88]

vek88 в сообщении #468482 писал(а):

В терминах К-систем уточню это Ваше утверждение позднее.

В К-системах все выглядит аналогично. Если дана полная К-система, и мы добавили к ней новые аксиомы/правила вывода, в результате чего получили неполную К-систему, то значит мы добавили "кривые" аксиомы/правила вывода.

А уж если мы добавили неполное определение, то и ежу понятно, что получим неполную К-систему.

Так что в плане рассматриваемого примера в традиционном аксиоматическом подходе и в К-системах все аналогично.

А вот что лично мне непонятно в плане отмеченной аналогии традиционного аксиоматического подхода и К-систем, так это следующее.

В К-системах мне более или менее понятны простые достаточные условия "сохранения полноты" К-системы при добавлении новых аксиом/правил вывода.

А вот как сформулировать простенькие достаточные условия "сохранения непротиворечивости" традиционных теорий при добавлении новых акиом? Кто-нибудь знает что-нибудь в этом плане?

[vek88]

Пипец - полный цейтнот - однако понял, что требуются пояснения. В последнем своем посте пытался сподвигуть пиплов на более подробное выяснение причин, почему реальная математическая практика не приводит к противоречиям.

В связи с этим пытаюсь продвинуть всех присутствующих к математическим утверждениям о причине такого казуса. Особо обращаюсь к корифеям, в частности, к Someone и Epros.

При этом отдаю себе отчет в том, что в книгах про это не прописано - списать, стало быть, не откуда. Ну что ж, мужики, будем сами думать. Мы ведь крутые - не так ли?

[vek88]

vek88 в сообщении #471761 писал(а):

epros в сообщении #471661 писал(а):

vek88, если Вам мой пример показался дюже сложным, то мне тут сказать особо нечего.

Что касается Вашего примера, в котором "никакого абсурда", то изложите пожалуйста "простым языком", каково в этом примере будет истинностное значение высказывания $A \leftrightarrow \neg A$.

epros

Ню-ню! Я ведь предупредил Вас - никакой аксиоматизации.

Хотя, впрочем, готов ответить на Ваш вопрос ... при условии, что Вы ответите на следующий вопрос: каково истинностное значение, ну например, теоремы:

если множество ограничено сверху, то оно имеет и точную верхнюю границу.

ЗЫ 1. Взял первую попавшуюся попсовую (в смысле post469610.html#p469610) теорему (см. Фихтенгольц).

ЗЫ 2. А вообще то утверждение (=теорема) если истинно $A$, то истинно $B$ считается хорошо понятным даже и ежу. ИМХО Вы просто заблудились в своих аксиоматических болотах. И уже шагу ступить не можете, не сверив его - к месту или не к месту - с какой-либо аксиоматикой.

epros в сообщении #471765 писал(а):

vek88 в сообщении #471761 писал(а):

при условии, что Вы ответите

Давайте Вы не будете ставить мне тут условий, ибо мне препираться с Вами неохота. Либо у Вас есть готовый ответ на этот элементарный вопрос и Вы его даёте, либо я принимаю к сведению, что ответа у Вас нет, и все дальнейшие Ваши попытки пообсуждать парадокс Рассела (или брадобрея) буду рассматривать как троллинг.

Какие мы страшные. И даже угрожаем тут.

Итак, Вы ляпнули глупость ... точнее задали глупый вопрос. А я на глупые вопросу не отвечаю. Вы ведь знаете пословицу ... один умник задаст вопрос - сто профессоров не ответят.

А чтобы не оставлять общественность в неведении относительно Вашей глупости, на досуге рассмотрю Вашу глупость подробно в своей теме Основания математики - элементарное рассмотрение.

В теме о парадоксе Рассела мы разошлись с уважаемым epros по следующему вопросу.

Имеется некоторая теорема, например, я привел известную теорему из матана. В общем виде подобные теоремы формулируются в виде: если истинно утверждение $A$, то истинно утверждение $B$. И все - больше мне о теореме знать ничего не надо.

А вот уважаемый epros ударился в бюрократию - он требует, чтобы я еще сообщил ему по каждой теореме ее истинностное значение.

Как общественность смотрит? Законное это требование? Или это типична бюрократия - требовать с нас документы, не предусмотренные математическим законодательством?

ИМХО теорема, если она доказана, то про нее говорят, что она справедлива (=верна, имеет место, ...). Разумеется можно сказать, что теорема истинна. Но это ИМХО не имеет отношения к понятию истинностного значения. Ведь теорема - это то, что доказано - не более того.

[vek88]

Сказанное в предыдущем посте и в теме о парадоксе Рассела (см. post471814.html#p471814) подкреплю примером из области К-систем. Теория К-систем изложена выше - см. post284210.html#p284210. Однако постараюсь не утомлять пиплов подробностями и приведу пример совсем упрощенный.

Итак, есть формальная теория, содержащая правило вывода

$$\frac{\neg A}{A}.$$

Предположим, что это единственное правило вывода этой теории, применение которого в заключении содержит высказывание $A$.

Тогда справедлива метатеорема: в рассматриваемой теории $A$ истинно тогда и только тогда, когда истинно $\neg A$.

Доказательство очевидно.

ИМХО польза от этой метатеоремы в следующем. Поскольку в К-системах каждое высказывание имеет одно и только одно из трех истинностных значений (Истина, Ложь, Неразрешимость), данная метатеорема позволяет нам заключить, что в рассматриваемой теории высказывание $A$ не может быть истинным или ложным. Следовательно, оно неразрешимо.

И нет необходимости приписывать самой метатеореме какое-либо истинностное значение, как это требует от меня epros в сообщении post471661.html#p471661.

Разумеется, если кто-то хочет это сделать, флаг ему в руки. Но ИМХО в данном контексте это занятие не имеет смысла.

[vek88]

Здесь, видимо, уместно напомнить, что металогика полных К-систем, естественно, совпадает с классическим исчислением предикатов.

А вот металогика К-систем общего вида определяется Крипке-Клини семантикой, кратко изложенной выше в этой теме - см. post293513.html#p293513. И в этой логике пытаться присваивать импликации истинностные значения ... ИМХО можно только с большого перепугу.

Или кто-то здесь с этим не согласен? Тогда мы идем к Вам.

[vek88]

Выполняя обещание, данное в post472248.html#p472248, начинаю рассмотрение трансфинитного варианта определения истинности в К-системе. Если не ошибаюсь, это было исторически первое определение истинности в К-системе (опубликовано в 1986 г. - четверть века назад).

Напомню, что ранее в этой теме определение истинности в К-системе дано в post284468.html#p284468.

Определение.
1. Вывод, который не имеет исключений является И-выводом.
2. Вывод, имеющий исключением И-вывод, является Л-выводом.
3. Вывод, все исключения из которого являются Л-выводами, представляет собой И-вывод.

В этом определении первый пункт задает базу индукции, определяя непосредственно И-выводы. Следующие два пункта представляют собой правила вывода, позволяющие последовательно приписывать выводам тип И или Л, отправляясь от И-выводов первого пункта.

В следующих постах рассмотрим подробно, как здесь работает трансфинитная индукция.