2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение27.07.2011, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Лукомор в сообщении #471537 писал(а):
Знаете, когда не возникает парадокс?
Ёлы-палы, Лукомор, читайте внимательно формулировку парадокса и не засоряйте тему своими фантазиями на вольную тему.

Брадобрей:
Бреет всех тех и только тех людей, которые не бреют себя.

Множество Рассела:
Содержит все те и только те множества, которые не содержат себя.

anik в сообщении #471554 писал(а):
Мы можем подставить $x$ с обеих сторон, если отношение $x \dagger x$ рефлексивно.
А дайте-ка определение рефлексивного отношения (если не сообразите сами, можете википедию процитировать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение27.07.2011, 19:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anik в сообщении #471554 писал(а):
Например, в Ассемблере: add r1,r2 ; это операция сложения.

Это потому, что Вы путаете очень разные вещи -- машинные операции и математические. Машинное сложение -- логически более сложное понятие, чем математическое: оно представляет собой собственно математическое сложение плюс присваивание.

anik в сообщении #471554 писал(а):
понятия отношения и операции не определяются, возможно они первичные.

Очень даже определяются. Скажем, операция -- это просто отображение пары объектов (если она бинарная) в третий. И ничего она со своими операндами (т.е. аргументами) не делает, она их просто отображает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение27.07.2011, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
vek88 в сообщении #471547 писал(а):
epros в сообщении #469799 писал(а):
Никакая многозначная логика, включая логику с континуумом значений (типа fuzzy или вероятностной) не избавит от этого парадокса. Всё равно $K \in K \leftrightarrow K \notin K$ будет выводимо в этой логике из указанной Вами аксиомы.
epros
Ну Вы сказали. В К-системах именно многозначная логика избавляет от этого парадокса. В том смысле, что выводимо это будет, но будет лишь означать неразрешимость $K \in K$.
Если часы пробили 13 раз, то ... (с).

Если в логической системе выводимо абсурдное утверждение, то это может означать только одно - на выводы этой логической системы полагаться нельзя.

Продемонстрирую на примере вероятностной логики. Если заложить схему аксиом "наивной теории множеств": $\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]$ (в терминах вероятностной логики это запишется как $p\{\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]\} = 1$), то отсюда известным образом выведется существование такого $y$, для которого $y \in y \leftrightarrow y \notin y$. Думаете, это означает равенство $p\{y \in y\} = p\{y \notin y\}$, т.е. $p\{y \in y\} = 0.5$? А вот и нетушки. Объясняю:

$a \leftrightarrow b$ можно заменить на $(a \land b) \lor (\neg a \land \neg b)$. По формуле вероятности логической суммы, с учетом того, что $a \land b$ и $\neg a \land \neg b$ несовместны: $p\{(a \land b) \lor (\neg a \land \neg b)\} = p\{a \land b\} + p\{\neg a \land \neg b\}$. Далее, заменяя $\neg a \land \neg b$ на $\neg(a \lor b)$: $p\{a \leftrightarrow b\} = 1 - p\{a \lor b\} + p\{a \land b\}$. Теперь подставим $\neg a$ вместо $b$: $p\{a \leftrightarrow \neg a\} = 1 - p\{a \lor \neg a\} + p\{a \land \neg a\} = 1 -1 + 0 = 0$. Что и следовало ожидать - абсурдное утверждение имеет нулевую вероятность. Так что $p\{y \in y \leftrightarrow y \notin y\} = 0$ и, как ни крути, с доказанностью $y \in y \leftrightarrow y \notin y$ это никак не уживается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение27.07.2011, 23:35 


15/10/09
1344
epros в сообщении #471593 писал(а):
vek88 в сообщении #471547 писал(а):
epros в сообщении #469799 писал(а):
Никакая многозначная логика, включая логику с континуумом значений (типа fuzzy или вероятностной) не избавит от этого парадокса. Всё равно $K \in K \leftrightarrow K \notin K$ будет выводимо в этой логике из указанной Вами аксиомы.
epros
Ну Вы сказали. В К-системах именно многозначная логика избавляет от этого парадокса. В том смысле, что выводимо это будет, но будет лишь означать неразрешимость $K \in K$.
Если часы пробили 13 раз, то ... (с).

Если в логической системе выводимо абсурдное утверждение, то это может означать только одно - на выводы этой логической системы полагаться нельзя.

Продемонстрирую на примере вероятностной логики. Если заложить схему аксиом "наивной теории множеств": $\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]$ (в терминах вероятностной логики это запишется как $p\{\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]\} = 1$), то отсюда известным образом выведется существование такого $y$, для которого $y \in y \leftrightarrow y \notin y$. Думаете, это означает равенство $p\{y \in y\} = p\{y \notin y\}$, т.е. $p\{y \in y\} = 0.5$? А вот и нетушки. Объясняю:

$a \leftrightarrow b$ можно заменить на $(a \land b) \lor (\neg a \land \neg b)$. По формуле вероятности логической суммы, с учетом того, что $a \land b$ и $\neg a \land \neg b$ несовместны: $p\{(a \land b) \lor (\neg a \land \neg b)\} = p\{a \land b\} + p\{\neg a \land \neg b\}$. Далее, заменяя $\neg a \land \neg b$ на $\neg(a \lor b)$: $p\{a \leftrightarrow b\} = 1 - p\{a \lor b\} + p\{a \land b\}$. Теперь подставим $\neg a$ вместо $b$: $p\{a \leftrightarrow \neg a\} = 1 - p\{a \lor \neg a\} + p\{a \land \neg a\} = 1 -1 + 0 = 0$. Что и следовало ожидать - абсурдное утверждение имеет нулевую вероятность. Так что $p\{y \in y \leftrightarrow y \notin y\} = 0$ и, как ни крути, с доказанностью $y \in y \leftrightarrow y \notin y$ это никак не уживается.
epros

Предлагаю уточнить, чем мы тут (в этой теме) занимаемся: голой полемикой или выяснением истины?

Если полемикой, то задача состоит в том, чтобы утопить собеседников всеми приемлемыми способами. В частности, посредством специально подобранных максимально запутанных и усложненных примеров.

Что касается меня, мне голая полемика не интересна (хотя отдельные полемические приемы мне не чужды).

Так вот, постараюсь быть ближе к делу и спрошу Вас, а с какого такого перепугу нам для выяснения истины нужно так усложнять примеры - до того, что мы сами перестаем понимать суть?

Так что беру простейший пример - логику с тремя значениями: $T, F, U$ (истинно, ложно, неразрешимо). И никаких аксиоматик!!! Вместо этого примем истиностную таблицу для отрицания: $$\neg T = F, \neg F = T, \neg U =U.$$ИМХО именно такая таблица для отрицания в трехзначной логике Клини. Предположим также, что любое высказывание может принимать одно и только одно истиностное значение (в частности, высказывание не может быть истинным и ложным одновременно).

Далее, предположим, что мы тем или иным способом доказали теорему (возможно, метатеорему): если $A$ истинно, то истинно $\neg A$.

Что следует из этой теоремы? А следует то, что $A$ не может быть истинным.

Аналогично, из теоремы: если $\neg A$ истинно, то истинно $A$ заключаем, что $A$ не может быть ложным.

В итоге $A$ неразрешимо. И никакого абсурда.

ЗЫ. Здесь я простым языком изложил смысл логики К-систем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение28.07.2011, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
vek88, если Вам мой пример показался дюже сложным, то мне тут сказать особо нечего. :wink:

Что касается Вашего примера, в котором "никакого абсурда", то изложите пожалуйста "простым языком", каково в этом примере будет истинностное значение высказывания $A \leftrightarrow \neg A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение28.07.2011, 16:48 


15/10/09
1344
epros в сообщении #471661 писал(а):
vek88, если Вам мой пример показался дюже сложным, то мне тут сказать особо нечего. :wink:

Что касается Вашего примера, в котором "никакого абсурда", то изложите пожалуйста "простым языком", каково в этом примере будет истинностное значение высказывания $A \leftrightarrow \neg A$.
epros

Ню-ню! Я ведь предупредил Вас - никакой аксиоматизации.

Хотя, впрочем, готов ответить на Ваш вопрос ... при условии, что Вы ответите на следующий вопрос: каково истинностное значение, ну например, теоремы:

если множество ограничено сверху, то оно имеет и точную верхнюю границу.

ЗЫ 1. Взял первую попавшуюся попсовую (в смысле post469610.html#p469610) теорему (см. Фихтенгольц).

ЗЫ 2. А вообще то утверждение (=теорема) если истинно $A$, то истинно $B$ считается хорошо понятным даже и ежу. ИМХО Вы просто заблудились в своих аксиоматических болотах. И уже шагу ступить не можете, не сверив его - к месту или не к месту - с какой-либо аксиоматикой.

epros в сообщении #471765 писал(а):
vek88 в сообщении #471761 писал(а):
при условии, что Вы ответите
Давайте Вы не будете ставить мне тут условий, ибо мне препираться с Вами неохота. Либо у Вас есть готовый ответ на этот элементарный вопрос и Вы его даёте, либо я принимаю к сведению, что ответа у Вас нет, и все дальнейшие Ваши попытки пообсуждать парадокс Рассела (или брадобрея) буду рассматривать как троллинг.
Какие мы страшные. И даже угрожаем тут.

Итак, Вы ляпнули глупость ... точнее задали глупый вопрос. А я на глупые вопросу не отвечаю. Вы ведь знаете пословицу ... один умник задаст вопрос - сто профессоров не ответят.

А чтобы не оставлять общественность в неведении относительно Вашей глупости, на досуге рассмотрю Вашу глупость подробно в своей теме Основания математики - элементарное рассмотрение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение28.07.2011, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
vek88 в сообщении #471761 писал(а):
при условии, что Вы ответите
Давайте Вы не будете ставить мне тут условий, ибо мне препираться с Вами неохота. Либо у Вас есть готовый ответ на этот элементарный вопрос и Вы его даёте, либо я принимаю к сведению, что ответа у Вас нет, и все дальнейшие Ваши попытки пообсуждать парадокс Рассела (или брадобрея) буду рассматривать как троллинг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение28.07.2011, 19:18 


15/10/09
1344
epros

Как и обещал, начал обсуждать Вас в своей теме post471803.html#p471803.

Поясню, почему хочу это делать на своем поле. ИМХО именно в К-системах легко простым языком показать (планирую это сделать поэтапно), что Вы зря требуете истинностное значение теоремы. Т.е. Вы, разумеется, можете требовать, но Ваше требование в общем случае незаконно.

Кроме того, ИМХО моя тема более подходит для рассмотрения парадокса Рассела в контексте возникших у нас с Вами разногласий.

Итак, до встречи в моей теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение29.07.2011, 19:09 


15/10/09
1344
epros

На конкретном простом примере в post472027.html#p472027 показал бессмысленность Вашего вопроса об истинностном значении в Вашем сообщении post471661.html#p471661.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение30.07.2011, 10:00 


15/10/09
1344
epros в сообщении #471661 писал(а):
vek88, если Вам мой пример показался дюже сложным, то мне тут сказать особо нечего. :wink:

Что касается Вашего примера, в котором "никакого абсурда", то изложите пожалуйста "простым языком", каково в этом примере будет истинностное значение высказывания $A \leftrightarrow \neg A$.
Виноват, epros!

Как-то сразу не смог догадаться о причине Вашего заблуждения. И вот только сейчас до меня дошла вся глубина Вашей мысли об "истинностном значении высказывания $A \leftrightarrow \neg A$".

Все оказывается просто - Вы просто путаете две, в общем случае, большие разницы: логику и металогику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение31.07.2011, 23:31 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
epros в сообщении #471575 писал(а):
Брадобрей:
Бреет всех тех и только тех людей, которые не бреют себя.


В тот отрезок времени, когда брадобрей бреет себя, он не бреет кого-либо другого.
А для того, чтобы брить себя, не обязательно быть брадобреем.
Нужно различать глаголы:"брить себя" и "брить кого-либо другого (не себя)".
Когда брадобрей "бреет всех тех и только тех (не себя), кто не бреет себя" - он брадобрей.
Когда брадобрей бреет себя, он не бреет никого из всех тех и только тех (других, не себя) кто не бреет себя сам.
В этот момент он брадобреем не является, т.к. "бреет себя сам" - значительная часть населения острова,
причём никто из них брадобреем не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение01.08.2011, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413

(Лукомор:)

epros в сообщении #471575 писал(а):
... не засоряйте тему своими фантазиями на вольную тему

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение23.10.2011, 20:33 
Аватара пользователя


05/10/11
19
Олимп.дер.
Иногда просто умиляют завихрения большинства дискуссий (более подробно см. в окочание темы «Дайте рецензию на работу Зенкина», за что получен пинок от уважаемого модератора Jnrty)

Как же многообещающе звучала исходная тема: «Полный разбор парадокса Рассела» (ах как было все красиво, триумфально, горделиво - в воздух чепчики и крики Ура-а-а!) И ей было уделено аж целых 6 сообщений! Затем уважаемый epros произнес роковое заклинание «брадобрей», от этого поводья диспута вдруг перекосились и телега на 20 сообщений закрутилась в бесконечном ЗАНОСЕ вокруг неразрешимых проблем брадобреев (шуточное упрощение самого Рассела) – распальцовка, крест на пузе, жизнь бурлила как в джакузи... и все вдруг умерло!?

Есть предложение вернуться к истоку и (для реального начала) рассмотреть вопрос о методическом соотношении парадокса Рассела и теоремы о множестве подмножеств.

Подход А. В парадоксе Рассела мы имеем:
1. Предположение о том, что множество ВСЕХ множеств существует.
2. Деление этого множества ВСЕХ множеств на 2 категории: ВСЕХ множеств, включающих чего-то, и ВСЕХ множеств, не включающих чего-то.
3. Постановка вопроса, относится ли множество типа 2 к 1-ой или 2-ой категории?
4. Получение противоречия.

Подход Б. В теореме о множестве подмножеств мы имеем:
1. (неявное) Предположение о том, что множество ВСЕХ подмножеств существует (о различиях в целеполагании см. ниже).
2. Деление этого множества ВСЕХ подмножеств на 2 категории: ВСЕХ подмножеств, включающих чего-то, и ВСЕХ подмножеств, не включающих чего-то.
3. Постановка вопроса, относится ли множество типа 2 к 1-ой или 2-ой категории?
4. Получение противоречия.

Хотелось бы, чтобы наиболее системно и дисциплинированно мыслящие участники математических форумов простенько так, на пальцах (без апелляции к формальным системам) объяснили широкой любознательной общественности:
1) принципиальное методическое различие подходов А и Б с учетом ограничений двукратного использования квантора всеобщности (пп. 1, 2, в бесконечном случае);
2) разъяснить проблему предикати́вности или импредикати́вности постановки вопроса п.3.
Просьба также не апеллировать к различиям в исходном целеполагании: в случае А такого нет (просто парадоксально), а в случае Б есть (доказательство неэквивалентности).

Кроме того, раз уж исходно сформулировано «полный разбор», так давайте же полный (а не 26 сообщений), а то кто-нибудь потом будет формулировать новые темы с уточнениями: «неполный», «частичный», «ограниченный» и т.п. разборы. Надо же, наконец-то, господа, поставить окончательную точку в данном вопросе, чтобы никогда в истории несчастного человечества уже никакие вопросы ни у кого более не возникали!?

P.S. Здесь было бы уместно также поразмышлять и о системах организации научных диспутов, исключающих отмеченные ЗАНОСЫ. Но опасаюсь, что уважаемые модераторы за превышение полномочий сошлют меня пожизненно в Пуграторий без права переписки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение23.10.2011, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
aku в сообщении #495470 писал(а):
Подход А. В парадоксе Рассела мы имеем:
1. Предположение о том, что множество ВСЕХ множеств существует.
2. Деление этого множества ВСЕХ множеств на 2 категории: ВСЕХ множеств, включающих чего-то, и ВСЕХ множеств, не включающих чего-то.
3. Постановка вопроса, относится ли множество типа 2 к 1-ой или 2-ой категории?
4. Получение противоречия.

Подход Б. В теореме о множестве подмножеств мы имеем:
1. (неявное) Предположение о том, что множество ВСЕХ подмножеств существует (о различиях в целеполагании см. ниже).
2. Деление этого множества ВСЕХ подмножеств на 2 категории: ВСЕХ подмножеств, включающих чего-то, и ВСЕХ подмножеств, не включающих чего-то.
3. Постановка вопроса, относится ли множество типа 2 к 1-ой или 2-ой категории?
4. Получение противоречия.
А давайте Вы сначала очень аккуратно изложите нам оба рассуждения (не забыв сначала точно сформулировать доказываемые утверждения), а потом мы уже будем что-то обсуждать. А так Ваше требование сильно смахивает на провокацию.

aku в сообщении #495470 писал(а):
(неявное) Предположение
В математике за неявные предположения бьют подсвечниками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный разбор парадокса Рассела
Сообщение24.10.2011, 21:03 
Аватара пользователя


05/10/11
19
Олимп.дер.
Что-то заглючило на сайте, для цитирования выдается только первая страница диспута, придется цитировать по тексту.

Г-н Someone пишет "В математике за неявные предположения бьют подсвечниками."
Извините, сударь, я вас чем-то лично обидел в связи с подобными с Вашей стороны предъявами? Вроде бы лично к Вам я всегда относился достойно в немногочисленных комментариях? Докладываю: никогда в своей сверхдолгой жизни не привык терпеть подобные вызовы даже от Генеральных Секретарей Всех Внегалактических Цивилизаций. Действительно, в моем доме есть медные подсвечники. Поэтому я не стал утруждать глубокоуважаемого Вас в данной нелегкой миссии, а взял правой рукой и ударил себя медным подсвечником в район отведения Р4 (способны найти эту зону на скальпе по Яндексу или нет?). Сильного кровотечения не было, но возник порез и опухоль. Можете лично убедиться, пошлите мне личное сообщение, и я вышлю адрес для стрелки (слабо,что ли?). Но вследствие моего патологического сапиенсолюбия я не потребую от вас в ответ за данный наглый вызов аналогичным образом сделать харакири. За ваш базар, сударь, следует отвечать!" и, подчас, очень больно.

Г-н Someone пишет "А так Ваше требование сильно смахивает на провокацию." - эта сентенция, наверняка, взята из "Материализм и эмпириокритицизм" нашей далекой юности.

Г-н Someone пишет "не забыв сначала точно сформулировать доказываемые утверждения"
А связи с вышеотмеченным неизмеримо благожелательным моим отношением к Вашей персоне
покорнейше прошу уточнить, какой из приведенных 4-пунктов конкретно вы просите уточнить и в каком именно смысле?

Хотелось бы также услышать мнение и других участников данной темы, поскольку господин Someone появлялся в ней только один раз (из 26 сообщений): в частности: делать ли Someone харакири или не подождать? .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group