2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 ... 35  След.
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение18.08.2011, 10:36 


15/10/09
1344
Предположим теперь, что единственной причиной неполноты наших теорий было правило $\frac{\neg B}{B}$ (т.е. при его удалении К-система полна). Тогда посредством введения в наши теории аксиомы $B$ мы снова делаем их полными.

При этом металогика полученных теорий снова становится классической!?

Не знаю кому как, но мне этот пример показывает бессмысленность не только аксиоматизации живой математики, но и бессмысленность навязывания логики, например, классической. В нашем живом примере - куда уж живей - у нас в процессе развития теорий логика была классическая, потом неклассическая, а потом снова классическая.

ЗЫ. Кстати, для правила вывода парадокса Рассела $$\frac{x \notin x}{x \in R}$$ зачем было стучать в барабаны, кричать о капуте логики и на 100 лет уходить в кому по поводу оснований математики? Можно было бы просто добавить аксиому $$R \in R.$$ И все будет прекрасно - и овцы целы, и волки съедены.

Ну, разумеется, это в том случае, если непонятна причина парадокса Рассела. Ведь на самом деле мы понимаем, что множество всех множеств не существует. Что и доказывает построение Рассела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение23.08.2011, 21:31 


15/10/09
1344
Вот еще повод пройтись по устоям математики - предлагаю следующий вопрос общественности.

А почему бы нам не ограничиться теорией множеств, в которой все множества счетны?

Или кто-то считает, что такая теория множеств не имеет права на существование? Тогда мы идем к вам.

ЗЫ. Меня могут спросить - а зачем такая теория множеств? Заранее отвечаю - не корысти ради, а токмо конструктивности для.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение23.08.2011, 21:47 


26/12/08
1813
Лейден
vek88
Тогда уж будет называться "теория счетных множеств". Кстати, Вы спрашивает - почему бы нам ею не ограничиться. А я спрошу - а как тогда с $\mathbb R$ работать с Вашей конструктивной теорией?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение23.08.2011, 21:52 


15/10/09
1344
Gortaur в сообщении #477269 писал(а):
vek88
Тогда уж будет называться "теория счетных множеств". Кстати, Вы спрашивает - почему бы нам ею не ограничиться. А я спрошу - а как тогда с $\mathbb R$ работать с Вашей конструктивной теорией?
А что такое $\mathbb R$? В теории счетных множеств такого нет, поскольку теперь множество всех ДЧ не существует.

А вот всякие счетные множества ДЧ есть. При этом справедлива теорема: для всякого множества ДЧ существует большее по включению множество ДЧ.

И никаких проблем в матане.

ЗЫ. А ДЧ определяем, например, через фундаментальную последовательность рациональных чисел. Для такого определения нашей счетной теории множеств достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение24.08.2011, 05:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
vek88 в сообщении #477267 писал(а):
Вот еще повод пройтись по устоям математики - предлагаю следующий вопрос общественности.

А почему бы нам не ограничиться теорией множеств, в которой все множества счетны?
Это вполне возможно. С одной стороны, это приближает теорию множеств к реальности, но, с другой, сильно усложняет её практическое применение. Хотя, возможно, в конечном итоге это усложнение окажется целесообразным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение24.08.2011, 10:54 


15/10/09
1344
Droog_Andrey в сообщении #477335 писал(а):
vek88 в сообщении #477267 писал(а):
Вот еще повод пройтись по устоям математики - предлагаю следующий вопрос общественности.

А почему бы нам не ограничиться теорией множеств, в которой все множества счетны?
Это вполне возможно. С одной стороны, это приближает теорию множеств к реальности, но, с другой, сильно усложняет её практическое применение. Хотя, возможно, в конечном итоге это усложнение окажется целесообразным.
ИМХО рассмотрение такой "счетной" теории множеств (далее - СТМ) представляется интересным.

Относительно "усложнения" ... - мне пока это не ясно. Да, разумеется, конструктивная (основанная на понятии алгоритма или финитной формальной системы) теория ДЧ - это существенно сложнее обычного матана. Но здесь ... усложнение под вопросом. На вскидку, в традиционном матане, нам не очень то и нужно понятие множества всех ДЧ. Ведь фразу для любого ДЧ совсем не обязательно интерпретировать как $\forall x \in R.$ Эту фразу можно интерпретировать так: если $x$ действительное число, то ... .

Хотелось бы со временем вопрос "усложнения" рассмотреть подробно и обстоятельно.

А пока ограничусь пояснением откуда ноги растут по поводу СТМ. ИМХО имеет место странный факт однобокой интерпретации диагонального построения Кантора. А ведь были у Кантора противники, например, если не ошибаюсь, Кронекер. Так почему же они не заметили, что возможна и другая интерпретация диагонального построения?

Например, в ответ на диагональное построение Рассела я отвечаю - оно доказывает, что множество всех множеств не существует.

Но и на построение Кантора я могу ответить тем же - множество всех ДЧ не существует.

Действительно, ведь мы говорим: предположим построено взаимнооднозначное отображение множества $N$ на множество $R$. Здесь неявно мы предположили существование $R$ - множества всех ДЧ.

Далее мы строим ДЧ, не принадлежащее образу этого отображения. Это противоречие. Но почему мы заключаем, что такого отображения нет. С таким же успехом можно заключить, что множество $R$ не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение24.08.2011, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
Требование конструктивности приводит к рассмотрению множеств, все элементы которых конструируемы (например, среди чисел будут рассматриваться только вычислимые); все такие множества не более чем счётны. Кое-что в этом направлении уже обсуждалось: topic19517.html

(Оффтоп)

Аббревиатура "СТМ" устойчиво ассоциируется со сканирующим туннельным микроскопом :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение24.08.2011, 21:34 


15/10/09
1344
Droog_Andrey в сообщении #477458 писал(а):
Требование конструктивности приводит к рассмотрению множеств, все элементы которых конструируемы (например, среди чисел будут рассматриваться только вычислимые); все такие множества не более чем счётны. Кое-что в этом направлении уже обсуждалось: topic19517.html

Аббревиатура "СТМ" устойчиво ассоциируется со сканирующим туннельным микроскопом :mrgreen:
ИМХО традиционная конструктивная математика оперирует с рекурсивно перечислимыми (далее - РП) множествами, следовательно все множества конструктивной математики счетны. См., например, Мартин-Леф, Очерки по конструктивной математике.

Конструктивный подход в К-системах работает с полными К-множествами - это выходит за рамки РП множеств. Но и здесь все множества счетны. См. раздел 8.6 К-конструктивизм в Книге этой темы "Представление в ЭВМ неформальных процедур", в частности Теорему 8.9 (Теорему Тарского для полных К-множеств) на стр. 132.

Однако в контексте СТМ я не аппелирую к конкретным вариантам конструктивизма, а говорю о конструктивизме только в интуитивном смысле - ИМХО СТМ интуитивно более конструктивна, чем, например, наивная ТМ Кантора. Соответственно, предлагаю обсудить последствия принятия в ТМ аксиомы: всякое множество счетно.

ЗЫ. О термине СТМ ИМХО не буду спорить, согласен, что он занят. Но думаю в этой теме и СТМ сойдет для обозначения теории множеств с аксиомой счетности множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение26.08.2011, 23:03 


15/10/09
1344
Для оценки возможностей СТМ предлагаю начать с малого - пройтись по матану. Итак, открыл параграф 1 первого тома (трехтомного) Фихтенгольца.

Удивительно, но ни слова о множествах. Параграф называется скромно: Область рациональных чисел. Кстати, смутно припоминаю, что полвека назад на лекциях в МФТИ нам как-то не очень вещали про множества.

Делать нам в этом параграфе нечего, поскольку все укладывается в рамки СТМ.

Далее на очереди параграф 2: Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел. Обратите внимание - область вещественных чисел, а не множество!?

С этим параграфом нам придется поработать, чтобы перевести его на язык СТМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение27.08.2011, 17:33 


15/10/09
1344
Фихтенгольц: Параграф 2, пункт 6 Определение иррационального числа.

Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два множества $A, A'$. Будем называть такое разбиение сечением, если выполнены условия:

1. Каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно, из множеств $A, A'$.
2. Каждое число $a$ из множества $A$ меньше каждого числа $a'$ из множества $A'$.

Множество $A$ называется нижним классом сечения, $A'$ - верхним классом. Сечение обозначаем $A|A'$.

Сечение, в котором нет наибольшего рационального числа в нижнем классе и наименьшего в верхнем определяет иррациональное число.

Опуская простые технические детали (см. Фихтенгольц) вещественные числа (рациональные и иррациональные) связываются с сечениями в области рациональных чисел.

Итак, мы определили вещественные числа - проблем с СТМ ИМХО пока нет.

Пункты 7-9 рассматриваемого параграфа опускаем, поскольку они не имеют отношения к нашему вопросу - проблем с СТМ в них также ИМХО нет.

А вот с пунктом 10 придется поработать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение27.08.2011, 20:44 


15/10/09
1344
10. Непрерывность области вещественных чисел.

В области рациональных чисел не у каждого сечения находилось пограничное рациональное число, производящее сечение. Это говорило о неполноте области рациональных чисел. Именно поэтому мы пополнили рациональные числа иррациональными.

Теперь возникает тот же вопрос относительно сечений в области вещественных чисел. Однако в СТМ мы не можем выразить это, т.к. множества всех вещественных чисел у нас нет.

Вопрос к общественности: можно ли обойти эту трудность в СТМ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение27.08.2011, 22:17 


15/10/09
1344
Маленькая подсказка.

Теперь надо поправить определение сечения в области вещественых чисел так, чтобы не привлекать все вещественные числа. Ведь совсем не обязательно, чтобы каждое вещественное число попадало в верхний или нижний класс сечения. Нам достаточно, чтобы верхний и нижний класс "плотно" примыкали друг к другу, тем самым определяя пограничное число между ними.

Следовательно, достаточно двух счетных множеств вещественных чисел $A, A'$ таких, которые задают некоторое пограничное число между ними.

Предложите возможные варианты определения сечения в области вещественных чисел в рамках СТМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение28.08.2011, 14:18 


15/10/09
1344
Ну фто? Коли общественность молчит, значит ей ничего не понятно. Или уфла в подполье. Короче, сам спросил, сам отвечаю. Итак, теперь определяем сечение не аппелируя ко всем числам. Для рациональных (вещественных) чисел теперь имеем следующее.

Рассмотрим два множества рациональных (соответственно, вещественных) чисел $A, A'$. Будем называть такое разбиение сечением, если выполнены условия:

1. Для любого, сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ существуют число $a$ из множества $A$ и число $a'$ из множества $A'$ такие, что $a' - a < \varepsilon$.
2. Каждое число $a$ из множества $A$ меньше каждого числа $a'$ из множества $A'$.

Множество $A$ называется нижним классом сечения, $A'$ - верхним классом. Сечение обозначаем $A|A'$.

ЗЫ. Разумеется, здесь все множества счетные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение28.08.2011, 22:04 


29/09/06
4552
vek88 в сообщении #478285 писал(а):
Ну фто? Коли общественность молчит, значит ей ничего не понятно. Или уфла в подполье
Или неинтересно. А даже если кому и интересно, то Ваше паясничание...
Я, конечно, догадываюсь, что это попытки пофутить. Но участники форума на концерты петросяна вряд ли ходют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение29.08.2011, 16:38 


15/10/09
1344
Алексей К.

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #478398 писал(а):
vek88 в сообщении #478285 писал(а):
Ну фто? Коли общественность молчит, значит ей ничего не понятно. Или уфла в подполье
Или неинтересно. А даже если кому и интересно, то Ваше паясничание...
Я, конечно, догадываюсь, что это попытки пофутить. Но участники форума на концерты петросяна вряд ли ходют.
На Вашу попытку пофутить отвечаю, что на концерты петросяна ходить не надо по простой причине - на этом форуме и без этого есть куда сходить - тем, подобных post478607.html#p478607, здесь как нерезаных собак. А это покруче петросяна.

Разумеется, личное дело каждого определять свои интересы. Но, если честно, меня удивляет патологическое желание участников массово обсуждать разного рода ахинею. Впрочем, это личное дело этих участников.

А вот Ваше выступление расцениваю как троллинг. Впрочем, тоже имеете право.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 512 ]  На страницу Пред.  1 ... 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 ... 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group