2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 15:01 


08/06/10
14
Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 15:18 
Заблокирован


19/06/09

386
$\{x|x\in A\} = A = \{x| x\in X \setminus A\} $
$A=A\intersect A =\{ x|x\in((A)\intersect (X\setminus A)\))\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 17:00 


08/06/10
14
и что :)
вы показали, что А-пустое?
значит согласно определению А, которое я ввел в первом посте: $\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$
что есть противоречие, если изначально предположить, что $X$ не пусто

тут проблема в самой конструкции
я вот не могу понять она сводится к парадоксу рассела или это отдельный парадокс
и как его обходит современная теория множеств
посмотрел по диагонали Куратовского-Мостовского. не понял как..

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 17:14 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
viatore в сообщении #467610 писал(а):
Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.

Нет здесь противоречий, просто прочитайте внимательно то, что Вы написали. Что такое "подмножество" в кавычках? Это подмножество или какой-то другой объект? Если другой, то назовите его иначе. Но тогда имеете ли Вы право для этого объекта использовать то же обозначение, что и для множества
$\ldots =\{\ldots \ |\ldots \}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 18:03 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
viatore в сообщении #467610 писал(а):
Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?

Пусть $X$ - куча камней. Рассмотрим кучу камней $A$ из $X$, в которой есть какой-то камень, если в ней его нет.
Если $A$ является кучей камней, то дело швах (проверьте пустая она или нет).
Если $A$ не куча камней, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с кучами камней, содержащими/не содержащими себя в качестве камня. Тут вроде бы этого нет. Или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 18:04 


08/06/10
14
ну как же нет..
допустим мы сняли кавычки и А - множество, также предположим изначально, что Х - не пусто
тогда возможны 2 варианта:
1) $A=\varnothing$, тогда как я писал ранее
$\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$ противоречие
2) $A\ne\varnothing$, тогда $\exists x\in A: x\in X\setminus A$ противоречие

-- Вт июл 12, 2011 21:10:25 --

LaTeXScience
вы напираете на здравый смысл? его давно уже нет в математике :)
например Вам придется выбрать или аксиому выбора (произв непустых мн-в непусто) или невозможность разбиения сферы на 2 сферы объемом, совпадающим с первой. оба факта разумны, но выбрать придется только одно
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D0%B0%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 18:29 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
viatore в сообщении #467689 писал(а):
разбиения сферы на 2 сферы объемом, совпадающим с первой

Подумаешь. А еще, есть непрерывные функции, которые нигде не дифференцируемы. И что?

(Оффтоп)

Кстати, не сферы там, а шары.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 18:35 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
viatore в сообщении #467689 писал(а):
ну как же нет..
допустим мы сняли кавычки и А - множество, также предположим изначально, что Х - не пусто
тогда возможны 2 варианта:
1) $A=\varnothing$, тогда как я писал ранее
$\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$ противоречие
2) $A\ne\varnothing$, тогда $\exists x\in A: x\in X\setminus A$ противоречие


Если Вы сняли кавычки, то получаете:
$$x\in A \Leftrightarrow x\not\in A,$$
а из этого, конечно, можно получить что угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 18:46 


02/04/11
956
Вас опередил Рассел:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_sche ... prehension

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 19:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
viatore в сообщении #467689 писал(а):
допустим мы сняли кавычки и А - множество, также предположим изначально, что Х - не пусто
тогда возможны 2 варианта:
1) $A=\varnothing$, тогда как я писал ранее
$\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$ противоречие
2) $A\ne\varnothing$, тогда $\exists x\in A: x\in X\setminus A$ противоречие

Кавычки тут не при чём, а вот теперь призадумайтесь, какое в точности утверждение Вы столь замечательно доказали. Поскольку приведение к противоречию -- это доказательство от противного некоторого вполне конкретного утверждения.

Конечно, лучше б с самого начала сформулировать точное утверждение и лишь потом пытаться его доказывать. Но если с формулировками дело швах -- попытайтесь хотя бы опознать то утверждение, которое у Вас нечаянно выползло.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 19:24 


08/06/10
14
ewert
Цитата:
Кавычки тут не при чём, а вот теперь призадумайтесь, какое в точности утверждение Вы столь замечательно доказали. Поскольку приведение к противоречию -- это доказательство от противного некоторого вполне конкретного утверждения.

по мне так полученное противоречие доказывает, что А-не множество
а значит помимо классов объектов, содержащих себя в качестве элементов нужно выбросить также и классы, содержащие только те элементы, которые они не содержат :)
странно конечно звучит..

Kallikanzarid
да, я в курсе, что у него тоже вылез парадокс. но тот другой и от него уже избавилсиь
хочу понять то что я понаписал это:
1) новый парадокс
2) сводится к одному из старых
3) не парадокс

LaTeXScience
да, вы правы конечно шары, описка
ваш аргумент в мою пользу

bnovikov
да, можно и так
и это я получаю из того, что А-множество

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 20:14 


02/04/11
956
viatore в сообщении #467728 писал(а):
да, я в курсе, что у него тоже вылез парадокс. но тот другой и от него уже избавилсиь
хочу понять то что я понаписал

Откройте схему выделения (axiom scheme of specification) и посмотрите, что у вас получится с вашим предикатом.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
По-моему, полный бред. Если $X\neq\varnothing$, то Ваше условие само себе противоречит (совершенно не важно, как при этом называть $A$), а Вы с глубокомысленным видом задаёте вопрос: "Что бы это значило?" Поскольку условие противоречит самому себе, оно ничего не определяет. Возможность сформулировать противоречивое утверждение ничего не означает, их легко можно наплодить воз и маленькую тележку. Гораздо интереснее, если бы такое утверждение можно было вывести из аксиом.
Если $X=\varnothing$, то условие непротиворечиво, и $A=\varnothing$.
У меня такое ощущение, что я это уже где-то видел. Кто-то с этим уже, как будто, выступал на нашем форуме.

viatore в сообщении #467689 писал(а):
вы напираете на здравый смысл? его давно уже нет в математике :)
"Здравый смысл" - это всего лишь бытовой опыт, накопленный человеком за его жизнь. С ним и в физику-то лучше не соваться, а в математике совсем делать нечего.

viatore в сообщении #467689 писал(а):
Вам придется выбрать или аксиому выбора (произв непустых мн-в непусто) или невозможность разбиения сферы на 2 сферы объемом, совпадающим с первой.
Такой альтернативы нет. Есть ещё третий вариант: от аксиомы выбора откажемся, а "разбиение" шара, зараза, никуда не денется.
Вообще, Ваше высказывание ужасно безграмотное. Во-первых, речь идёт не о сфере, а о шаре, на что Вам уже указывали. Во-вторых, это не разбиение шара на два шара, а разбиение шара на несколько частей, из которых можно "сложить" два таких же шара.

LaTeXScience в сообщении #467687 писал(а):
Если $A$ не куча камней, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с кучами камней, содержащими/не содержащими себя в качестве камня. Тут вроде бы этого нет. Или как?
Не было никаких проблем с такими "кучами". Если Вы про парадокс Рассела, то его причина в другом. В ZFC такие "кучи" исключаются специальной аксиомой (аксиома регулярности или фундирования), но аксиома вводится не из-за парадокса Рассела (вообще, если парадокс в теории есть, то его нельзя ликвидировать, добавляя новые аксиомы; чтобы избавиться от противоречия, наоборот, придётся отказаться от каких-то из уже имеющихся аксиом).

Kallikanzarid в сообщении #467740 писал(а):
Откройте схему выделения (axiom scheme of specification) и посмотрите, что у вас получится с вашим предикатом.
Вот это разумный совет.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 20:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Someone в сообщении #467746 писал(а):
Не было никаких проблем с такими "кучами". Если Вы про парадокс Рассела, то его причина в другом. В ZFC такие "кучи" исключаются специальной аксиомой (аксиома регулярности или фугдирования), но аксиома вводится не из-за парадокса Рассела (вообще, если парадокс в теории есть, то его нельзя ликвидировать, добавляя новые аксиомы; чтобы избавиться от противоречия, наоборот, придётся отказаться от каких-то из уже имеющихся аксиом).

Я просто переписал первое сообщение темы заменив "множество" на "куча камней". Получился тот же бред, но в более явном виде.

(Оффтоп)

Причина парадокса Рассела в противоречивости аксиоматики Фреге.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Парадокс" - помогите найти ошибку
Сообщение12.07.2011, 21:35 


15/10/09
1344
viatore в сообщении #467610 писал(а):
Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?
Уважаемый viatore

А зачем так сложно. Можно в том же духе построить парадокс и без множеств. Вот пример. Я ввожу высказывание $A$, определяя его истинность правилом: $A$ истинно, если и только если $A$ ложно.

Вопрос: $A$ истинно или ложно?

Этот пример, по сути, объясняет причину Вашего парадокса - откровенно циклическое определение, в котором определяемое понятие определяется само через себя. В теории К-систем - это определение, нарушающее полноту К-систем.

Все это уже рассматривалось в теме Основания математики - элементарное рассмотрение, см. post284663.html#p284663

Если же Вы настаиваете все-таки на Вашем исходном примере определения множества $A$, то с Вашего позволения в ближайшее время разберу этот пример в упомянутой теме Основания математики - элементарное рассмотрение, дабы не размазываться по просторам форума. Ваш пример в этом плане очень хороший - гораздо проще парадокса Рассела (нет необходимости привлекать малопонятные вещи типа множества всех множеств или самосодержащих множеств) - поэтому и более нагляден и поучителен в понимании причин парадоксов, а также причин их отсутствия в реальной математической практике.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group