2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ... 35  След.
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение19.04.2011, 20:34 


15/10/09
1344
EvgenyGR в сообщении #436549 писал(а):
Мне кажется Вы не ответили на мой вопрос, а он был вот в чем. (1) Берем утверждение, что первое и второе определение совпадают (определяют одно и то же множество). Доказываем это методом математической индукции. (2) А потом выясняем, что мощность множества получаемого из первого определения может быть континуум, а второго всегда счетно.
Вот что, уважаемый! Вы определитесь сначала с тем, что такое конечное множество, что такое континуум. Потом разберитесь для каких множеств последовательностей два Ваших определения эквивалентны. А пока у Вас
Цитата:
смешались в кучу кони, люди.
Свой лимит времени на разбор Ваших заблуждений я уже перерасходовал. Да и желания в чем-либо разобраться с Вашей стороны не заметно. А троллинг мне не интересен.

Может быть кто-то еще захочет с Вами поговорить ... поспрашивайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение20.04.2011, 07:16 


15/11/09
1489
О понимании.

vek88 в сообщении #436426 писал(а):
Первый способ. Определяем последовательность длины как функцию, (если хотите, полную К-функцию, но здесь ИМХО и без К-систем все понятно) отображающую множество натуральных чисел (или начальный отрезок натурального ряда в конечном случае) в множество .



Я понял это так, что Вы отображаете «начальный отрезок натурального ряда в конечном случае» в множество всех последовательностей из нулей и единиц длины N. Я верно понял? Далее Вы пишите.


vek88 в сообщении #436426 писал(а):
Что мы видим? Первый способ работает одинаково хорошо и в конечном, и в бесконечном случае.



Иными словам я понял это так, что Вы отобразили натуральный ряд в множество всех бесконечных последовательностей. ... ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.05.2011, 15:35 


15/10/09
1344
vek88 в сообщении #435074 писал(а):
Есть ли еще какие-либо соображения по поводу моего вопроса
vek88 в сообщении #433755 писал(а):
Почему наша реальная математическая практика непротиворечива?
При этом обращаю внимание на ИМХО удивительный факт - ведь мы в большинстве своем, если даже и знаем, то не используем в повседневной математической деятельности ZFC или иные аксиоматизации теории множеств (а в большинстве своем мы и не знаем этих аксиоматизаций).
Трэтий раз спрашиваю - почэму?

Почему никто не отвечает? Вопрос не интересный? Или у нас только боты в теме?

Немедленно отвечайте ... те, кто не боты!

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение13.05.2011, 23:51 


02/05/09
580
vek88, есть ли у меня возможность(имея ввиду основания ), начать общение с математикой через теорию множеств?(меня числа не устраивают), ну помогите советом, я разберусь и вам будет с кем поговорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение14.05.2011, 17:40 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  vek88

предупреждение за подъём темы неинформативным сообщением!

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение15.05.2011, 03:18 


15/05/11
16
vek88 в сообщении #433755 писал(а):
У меня возник новый вопрос к общественности. ИМХО он подходит для элементарного рассмотрения оснований математики. Итак, внимание вопрос.

Почему наша реальная математическая практика непротиворечива?


Я много задумывался над этим вопросом... По-моему тут ключевая идея в том, что, все реальное конструктивно. То есть по сути человек реально может работать только с конечными множествами, конечными алгоритмами и т.д. и в итоге _все_ результаты, имеющие прикладное значение (т.е. которые позволяют самолету летать, атомной бомбе взрываться...) получены за конечное число вполне конкретных операций. То есть ИМХО непротиворечивость реальной математической практики основывается на непротиворечивости арифметики.
А вот классическая математика - совсем другое дело. И как вообще понятие классического существования связано с тем, что мне представляется как существующий реально объект, мне не ясно. Я бы вообще ввел отдельные кванторы существования для объектов, существование которых устанавливается посредством аксиомы выбора, косвенных (фиктивных) доказательств и прочих методов и аксиом, конструктивно не реализуемых мозгом (моим, но что-то мне подсказывает, что и в целом человеческим). И рассматривал бы такого рода существование как некий "оракул" (тут это слово упоминалось в другом контексте, но считаю здесь его крайне уместным), как указание: стоит попробовать построить такой объект. Почему смешение всех этих понятий до сих пор не привело к явным противоречиям - не совсем ясно. Хотя, скажем, парадокс Банаха-Тарского если и не противоречие в явном виде, но по крайней мере бессмысленный и вредный рудимент, примерно как и теорема о вполне упорядочении. Но как сохранить красоту и прозрачность классических рассуждений и уйти от непонятных неконструктивных абстрактных аксиом и построений??? Мне представляется решение этого вопроса и есть основная цель исследований по основаниям математики вообще!
То, что я прочел в этой теме выглядит крайне привлекательным на первый взгляд, особенно на примере начал анализа (доказывать принцип индукции - это уж слишком, он мне представляется первичным). Но я не берусь судить об этих методах до тех пор, пока нормально не въеду в К-системы, конкретно - в их инфинитную часть. Все-таки бесконечные выводы кажутся чем-то противоестественным, и надо понять насколько они критичны/актуальны в этой теории.

Еще один интересный на мой взгляд вопрос - парадокс Сколема в ZF. Френкель пишет, что теорема Кантора доказуема в ZF, при том, что парадоксы типа Ришара в ZF невыводимы. Мне это представляется странным в свете того, что известное мне доказательство теоремы Кантора содержит в себе непредикативное определение множества X, не входящего в систему подмножеств M. Но разве с помощью подобных построений нельзя вывести нечто вроде парадокса Ришара? Или же там теорема Кантора доказывается другими методами (если вдруг это так, и кто-нибудь кинет ссылочку на доказательство, буду признателен)? И как тогда понимать её и парадокс Сколема в свете всего сказанного?

 Профиль  
                  
 
 Непротиворечивость не главное
Сообщение15.06.2011, 14:22 


21/12/10
152
a.k. в сообщении #445945 писал(а):
vek88 в сообщении #433755 писал(а):
У меня возник новый вопрос к общественности. ИМХО он подходит для элементарного рассмотрения оснований математики. Итак, внимание вопрос.

Почему наша реальная математическая практика непротиворечива?


Я много задумывался над этим вопросом... По-моему тут ключевая идея в том, что, все реальное конструктивно. ...


Скажу свое слово, хотя меня тут не жалуют. Видимо для математиков типично привлекать бесконечность там, где уже ничего другое не помогает. Складывается нехорошее представление, что философы разбираются в математике гораздо больше, чем математики в философии, но это уже другой разговор. На самом деле надо задавать другой вопрос, или ударение ставить не на первом, а на последнем слове. На самом деле математика представляет собой незначительную и сильно отфильтрованную часть знания о реальности. Почему математики оставляют только непротиворечивую и строгую часть? Потому что приучены реагировать только на нее и только ее они ищут в любом знании, отбрасывая все остальное. Да непротиворечивость достичь тяжело, но гораздо интереснее, что разные математики начиная «фильтровать» одно интуитивное знание приходят в результате к разным строгим формулировкам. Это и разные основания математики и некатегоричность у Левельгейма-Сколема. Получается, что одна и та же реальность предстает перед математиками в принципиально разных обличиях, а именно – в зависимости от того, какую в каждом случае неформальную часть они отбрасывают. Этот процесс не получается формализовать (а значит и до конца понять) и приходится иметь дело с набором непротиворечивых и строгих, но совершенно несовместимыми между собой математических описаний. Картина мира расщепляется на множество не связанных друг с другом осколков.

Думаю, пока математики настаивают на строгости, они будут получать непротиворечивые описания реальности, каких бы усилий это не стоило. Но картина мира будет расщепляться всё больше и больше. Это, видимо, как-то связано с неполнотой. Потому только очень недалекий математик может три раза утверждать, что наше знание реальности строго и непротиворечиво. Чтобы быть полным в знание нужно внести противоречие, если противоречия нет, то знание неполно, а раз так, то простой подсчет показывает – формальная система не отражает бесконечно больше, чем способна выразить.

Главной особенностью К-систем является то, что vek88 явно упустил и не желает признавать – это отсутствие явной связи между причиной и следствием. Эта связь оборвана и не рассматривается вообще ни в каком виде. Т.е. следствие не выводится, а просто сосуществуют вместе как-то где-то уже полученные и возникшие. Да такие системы можно рассмотреть формально, но они в принципе не предназначены что-либо выводить. Зато с их помощью можно одинаково хорошо отразить даже противоречивое знание. Что это нам дает? Вернее, что можно выразить такого, чего нельзя выразить противоречивой формальной системой, которая противоречива в строгом смысле? Неформальную противоречивость мы пока не трогаем. Можно как vek88 - пытаться достигнуть полноты, пожертвовав материальной импликацией и молясь на бесконечность, но мы поступим умнее.

Упрощенно строгость можно понимать, как требование пользоваться только тем, что оговорено, т.е. правила не меняются по ходу рассуждений, никакой новой информации, какой нет в исходных предпосылках, не возникает походу ниоткуда ну и т.п. Тогда пользуясь лишь оговоренными правилами и начиная с предпосылок мы, принимая решения о направлении рассуждений, не должны получит разные результаты решая задачу двумя разными путями. Так возникает непротиворечивость как своего рода намеренное ограничение вольности математиков. Если непротиворечивость нет, то математики устойчиво заблуждаются в том, что можно получить вообще любой результат. Это как-то трудно сочетается с наличием многих оснований математики и должно приводить к противоречивому выводу утверждений одних оснований начав с рассуждений в совершенно иной системе оснований? Зафиксируем в К-системе небольшой кусок непротиворечивого рассуждения и под конец добавим противоречие. Это отличается от противоречивой системы, поскольку в ней любые выводы возможны, а в нашей К-системе – нет, в ней вообще ничего не выводится сверх того, что там уже есть. Отличается К-система и от непротиворечивых рассуждений, так как явно присутствует противоречие. Как же так может быть? Остается предположить, что кроме противоречивых и непротиворечивых формальных систем остается еще очень много чего.

Где же оно тогда находиться? Оно за пределами строгости, исходные предпосылки не заданы изначально. А появляются неожиданно во время рассуждений. Правила меняются. По аналогии с квантовой механикой – измерение меняет изучаемый объект, если мы каждый раз будем менять определение X и правила манипулирования им при каждом упоминании Х, то никакие формальные правила в такой ситуации сформулировать изначально нельзя по определению. Существующая строгость оговаривает все возможные вольности с самого начала и разрешает только такие, что не влияют на конечный результат. Если ж мы изначально примем точку зрения что рассуждения могут меняться радикальным образом и непредсказуемо для математика, то мы придем к свершено другой математике. Кстати, все радикальные изменения несмотря на их непредсказуемость ведь может вносить другой математик по каким-то своим строго оговоренным правилам. В квантовой механике есть еще один нюанс – мы должны ждать внешнего события иначе просто не будем знать каким образом изменился исследуемый объект. Не дождавшись события мы в принципе не способны продолжать рассуждения, а это уже намек на предсказание Канта о существовании таких формальных построений, которые не сводимы только к математике полностью оторванной от реальности, т.е. всяких внешних событий, а еще точнее, от вносимых другим математиком изменений в наши конструкции.

Существующие представления о строгости не дают возможность исследовать объекты, свойства которых меняются в процессе рассуждений. И никаким исчислением Поста запретить существование таких объектов не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение15.06.2011, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17191
Москва
a.k. в сообщении #445945 писал(а):
По-моему тут ключевая идея в том, что, все реальное конструктивно.
"Реальное" - это что? Математические объекты - это исключительно логические конструкции. "Реально" они не существуют, если под реальным Вы понимаете физический мир.

a.k. в сообщении #445945 писал(а):
То есть по сути человек реально может работать только с конечными множествами, конечными алгоритмами и т.д. и в итоге _все_ результаты, имеющие прикладное значение (т.е. которые позволяют самолету летать, атомной бомбе взрываться...) получены за конечное число вполне конкретных операций. То есть ИМХО непротиворечивость реальной математической практики основывается на непротиворечивости арифметики.
Непротиворечивость арифметики не доказана. Есть только доказательства относительной непротиворечивости. Например, если теория множеств ZFC непротиворечива, то и арифметика Пеано непротиворечива.
А насчёт конечных множеств Вы сильно заблуждаетесь. Конструктивная математика свободно работает с бесконечными множествами (за исключением, может быть, финитизма). В частности, в арифметике (если не ограничиваться начальной школой) бесконечные множества - вещь обычная.

a.k. в сообщении #445945 писал(а):
А вот классическая математика - совсем другое дело.
Вы просто не понимаете, о чём говорите. В классической математике точно так же все результаты получаются "за конечное число вполне конкретных операций". Или Вы имеете в виду исключительно арифметические операции?

a.k. в сообщении #445945 писал(а):
И как вообще понятие классического существования связано с тем, что мне представляется как существующий реально объект, мне не ясно.
А вот например натуральное число 5 - реально существующий объект? Покажите нам его. Только учтите, что "5 камешков" - это не число 5, а набор камешков. Число 5 - это некоторая логическая конструкция. Вот её-то Вы и должны нам показать как реальный объект.

a.k. в сообщении #445945 писал(а):
Я бы вообще ввел отдельные кванторы существования для объектов, существование которых устанавливается посредством аксиомы выбора, косвенных (фиктивных) доказательств и прочих методов и аксиом, конструктивно не реализуемых мозгом (моим, но что-то мне подсказывает, что и в целом человеческим). И рассматривал бы такого рода существование как некий "оракул" (тут это слово упоминалось в другом контексте, но считаю здесь его крайне уместным), как указание: стоит попробовать построить такой объект. Почему смешение всех этих понятий до сих пор не привело к явным противоречиям - не совсем ясно.
Далась Вам аксиома выбора... Давно уже известно, что аксиома выбора не может быть причиной противоречий в теории множеств: если противоречие можно построить в ZFC, то его можно построить и в ZF.

a.k. в сообщении #445945 писал(а):
Еще один интересный на мой взгляд вопрос - парадокс Сколема в ZF.
Неизвестно никаких парадоксов в ZF. Вообще никаких. Как и в ZFC. В том числе и парадокса Сколема нет. Есть метаматематическое утверждение о существовании счётной модели ZF или ZFC. Это утверждение не является утверждением самой ZF или ZFC. Его просто невозможно сформулировать в ZF или ZFC. Поэтому ни к каким противоречиям в ZF или ZFC это утверждение не приводит. С метаматематической точки зрения это утверждение означает, что мощность множества не является абсолютным понятием: если некоторое множество принадлежит двум разным моделям теории множеств, то оно вполне может иметь в этих моделях разную мощность.

a.k. в сообщении #445945 писал(а):
Но разве с помощью подобных построений нельзя вывести нечто вроде парадокса Ришара?
Флаг Вам в руки! Выводите.

robez в сообщении #458305 писал(а):
Видимо для математиков типично привлекать бесконечность там, где уже ничего другое не помогает.
??? :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.06.2011, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
a.k. в сообщении #445945 писал(а):
непротиворечивость реальной математической практики основывается на непротиворечивости арифметики
Я бы сказал, что арифметика даже избыточна с точки зрения "реальной практики". По крайней мере, это касается теории с кванторами, типа арифметики Пеано. Дело в том, что любая аксиома с квантором всеобщности по натуральным числам в "реальной практике" неверифицируема: невозможно перепроверить все числа. С квантором существования тоже не всё гладко. Если "существует такое число $x$, что верно $\varphi(x)$", то можно просто записать это число в явной форме (замкнутым термом), поэтому для записи соответствующей аксиомы нам квантор существования не потребуется. Но если аксиома записана с квантором существования, то это сразу наводит на подозрения, что в "реальной практике" мы это число в явном виде записать не сможем. :wink:

Вообще в арифметике обнаруживается куча истинных утверждений, которые без нетривиальной (т.е. неверифицируемой в "реальной практике") аксиоматики доказать невозможно. Например: "Значение функции Аккермана существует для любых натуральных аргументов" - как это можно доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение18.06.2011, 21:10 


15/10/09
1344
a.k. в сообщении #445945 писал(а):
Я много задумывался над этим вопросом... По-моему тут ключевая идея в том, что, все реальное конструктивно.
ИМХО предлагаю тут остановиться и вместе подумать по поводу конструктивности. И бог с ней с математикой и ее пониманием конструктивности. Подумаем о конструктивности в житейском плане.

Для этого предлагаю посмотреть на малое дитя, играющее с кубиками.

Сначала ребенок усваивает базовое понятие кубик. Потом - понятия домик, ворота, мостик... Потом - город ...

Чувствуете куда я клоню ...? Да, к иерархии понятий и/или к теории типов.

Бардак начнется, если мы ребенку скажем, что несколько домиков - это ... кубик!? Тогда мы и получим "парадокс Рассела кубика".

Так и в реальной жизни, включая математику - мы предпочитаем определять новые понятия на основе ранее уже определенных.

А всякие кванторы, арифметики и классическая математика тут ИМХО ни причем. Просто реальная жизнь приучила нас к житейской конструктивности в смысле иерархичности нашей системы понятий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение20.06.2011, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Рекомендую почитать Hájek and Pudlák, Metamathematics of First-Order Arithmetic. Это взгляд классической математики на арифметику первого порядка как на основания математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение20.06.2011, 19:07 


15/10/09
1344
epros в сообщении #460101 писал(а):
Рекомендую почитать Hájek and Pudlák, Metamathematics of First-Order Arithmetic. Это взгляд классической математики на арифметику первого порядка как на основания математики.
Это Вы хорошо сказали - "почитать".

А интересно, кто-нибудь здесь сможет "почитать" эту узкоспециальную книгу, объемом более 450 стр.? Поднимите пжст руку.

Лично я не возьмусь ее "почитать" изучать по двум причинам:

1. Она слишком толстая.

2. Она мне не интересна, поскольку ничего принципиально нового мне не дает (в этом я убедился, пробежав ее по диагонали).

Впрочем, кому-то она будет интересна. Но для элементарного рассмотрения оснований математики она явно не подходит.

Но, возможно, я ошибаюсь в оценке пользы этой книги для данной темы. В этом случае, надеюсь, уважаемый epros меня поправит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение21.06.2011, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Someone в сообщении #458374 писал(а):
А вот например натуральное число 5 - реально существующий объект? Покажите нам его. Только учтите, что "5 камешков" - это не число 5, а набор камешков. Число 5 - это некоторая логическая конструкция. Вот её-то Вы и должны нам показать как реальный объект.

Не согласен. Число 5 - это некоторый уровень абстрагирования в выделении свойств реального мира. "Камешек" - это такое же абстрагирование (только вы учитываете больше свойств, поэтому якобы можете сослаться - "вот камешек или 5 камешков - реальные объекты", на самом деле, это такая же логическая конструкция). Так что не математика оперирует логическими конструкциями, а любой человек. Это ваше заблуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение21.06.2011, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
vek88 в сообщении #460298 писал(а):
Лично я не возьмусь ее "почитать" изучать по двум причинам:
Дело хозяйское. Книжка, конечно же, серьёзная. Но и основания математики - тема серьёзная, негоже подходить к ней с наскоку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение21.06.2011, 11:23 


15/10/09
1344
juna в сообщении #460531 писал(а):
Так что не математика оперирует логическими конструкциями, а любой человек.
Это точно. И вообще все наши понятия - это абстрактные логические конструкции.

Другой вопрос, что не все эти конструкции интересны для математиков.

А теперь позволю себе продолжить вот эту мысль:
vek88 в сообщении #459605 писал(а):
Так и в реальной жизни, включая математику - мы предпочитаем определять новые понятия на основе ранее уже определенных.
Рискуя вызвать негодование некоторых участников дискуссии, скажу следующее. Говоря о множестве $N$ натуральных чисел, мы сначала даем определение натурального числа. Рациональные числа мы определяем, опираясь на уже данное определение натуральных чисел - и далее говорим о множестве $Q$ рациональных чисел. Опираясь на множества рациональных чисел, мы определяем действительные числа, например, через дедекиндово сечение на множестве рациональных чисел или через фундаментальную последовательность рациональных чисел. И т.д.

Таким образом, в реальных математических построениях мы всегда определяем новые множества, опираясь на ранее уже определенные.

Но ..., заговорив, например, о множестве всех множеств, мы этот принцип иерархичности нагло нарушаем, пытаясь определить множество объектов, не определив предварительно сами эти объекты!?

Или я ошибаюсь? И кто-то здесь может дать определение множества? Только пжст не надо упоминать определение Кантора, при всем моем к нему уважении. Ведь "совокупность, мыслимая как единое целое" ничего не определяет, поскольку к математике не имеет никакого отношения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 512 ]  На страницу Пред.  1 ... 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ... 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group