Цитата:
Someone
А.Связной в сообщении #137691 писал(а):
Я предполагал, что нейтральным элементом будет выступать любое натуральное число, а базой индукции 1... поэтому 7654… - 2… = 7652…, а 7654… - 2 = 7654...
Я не знал, как интерпретировать эту базу индукции на натуральных числах и решил, что она может быть равна алеф-нуль. А сами числа могут быть номерами его бесконечных подмножеств.
Ну, то есть, ничего у Вас нет, кроме смутных мыслей, никому, включая Вас, непонятных и противоречивых: Вы говорите о "натуральных числах с бесконечным числом цифр" и тут же говорите, что "нейтральным элементом будет выступать любое натуральное число", то есть, отказываете своим "числам" в праве называться натуральными. Поэтому я и написал, что это бред.
Ещё раз: к доказательству Кантора всё это не имеет отношения. Независимо от того, существуют или не существуют "бесконечные" натуральные числа, мощность множества десятичных дробей (цифры которых нумеруются всеми натуральными числами) больше, чем мощность множества натуральных чисел. Доказательство Кантора продолжает работать без изменений, поскольку в нём наличие или отсутствие "бесконечных" натуральных чисел никак не используется.
Вы не поняли, все дело в интерпретации.
Давайте еще раз о моих числах.
Предположим, мы считаем натуральные числа 1,2,3…
Досчитаем ли мы до бесконечности ?
Если досчитаем, то первым бесконечным числом будет алеф-нуль – первое число, записываемое бесконечным количеством натуральных цифр, соответственно оно будет счетным. (Согласно Кантора алеф-нуль – минимальное из бесконечных чисел).
Обозначим его 1…
{Запомним – мы только что обозначили ПЕРВОЕ (МИНИМАЛЬНОЕ) бесконечное множество.}
Если к бесконечному счетному числу прибавить любое натуральное число – оно не измениться, соответственно:
0… = любому из натуральных чисел.
{все натуральные числа являются нулевым (нейтральным) элементом на множестве моих чисел.}
Если продолжить считать дальше, то базой индукции будет 1… (алеф-нуль), при этом
{сами мои числа – это множество бесконечных подмножеств алеф-нуль}
Т.к. алеф-нуль – это минимальное бесконечное множество 1…, то получается, что каждое из его последующих подмножеств не смотря на то, что эквивалентно ему, все же не равно ему – т.е. в некотором смысле больше чем 1… (алеф-нуль).
Получается ряд моих чисел:
1…,2…,3…,4…,5…. и т.д.
Отвлекаясь от интерпретации, что является нулевым элементом 0… и что является базой индукции 1…, легко понять, что ряд моих чисел являются моделью арифметики Пеано, т.е. совершенно не отличаются от обычных натуральных чисел (только формой записи), поэтому множество моих чисел
{является не противоречивым}
Согласно Кантора, все счетные подмножества эквивалентны, т.е. любое подмножество минимального из бесконечных множеств (алеф-нуль) – тоже счетно.
Однако, Кантор, рассматривая их эквивалентность, не рассматривал их порядок, а его можно ввести моими числами. Т.е. т.к. бесконечных подмножеств множества натуральных чисел счетное число – их можно пронумеровать.
Из этого следует, что:
{не смотря на то, что подмножества алеф-нуль эквивалентны, они не равны.}
Из того, что эти подмножества не равны, следует, что
{каждое следующее подмножество всегда больше предыдущего.}
Таким образом, первое МИНИМАЛЬНОЕ из бесконечных множеств 1…(алеф-нуль) - всегда меньше любого из своих подмножеств : 2…,3…,4…
Т.е. мы считает не куда-то вне, (как на натуральном ряду), а внутрь единицы - 1…(алеф-нуля), - внутри него есть подмножества и каждое из них больше чем само множество алеф-нуль (1…).
Теперь осталось проявить немного воображения.
Так как мы считаем внутрь единицы и каждое из последующих подмножеств больше предыдущего, то когда мы досчитаем на моих числах до бесконечности мы придем к нулю обычных натуральных чисел. Если считать дальше – то мы просто вернемся на натуральный ряд.
Таким образом множество всех моих чисел должно соответствовать некому числу, которое с одной стороны должно быть равно алеф-нуль, т.к. все эти множества счетны, с другой стороны не должно быть ему равно, т.к. алеф-нуль это 1…
Это кажущееся противоречие разрешимо следующим образом. Алеф-нуль (множество всех моих чисел можно представить Канторовским «с» - континуумом.)
А так как мы считали внутрь единицы, то с=0.
Т.е. несчетное множество (оно же континуум) существует так же как и пустое множество – оно ведь тоже несчетно.
Т.е. и континуум (несчетное множество Кантора) и ноль выражают суть одного и того же, просто к этому мы подходим с разных сторон.
С одной стороны во вне от единицы – когда считаем на натуральных числах, пытаясь найти последнее натуральное число, с другой стороны на действительных числах (т.е. моих числах), когда подходим к тому же считая внутрь единицы – все ближе к нулю.
Теперь, наконец и я осознал суть противоречия :
Изначально (дедуктивно) постулируется, что все возможные комбинации цифр непременно определяют все действительные числа, но некоторые из них не определяют натуральные. Это интерпретация теоремы Кантора, когда множество тех последовательностей цифр, которые не определяют ни одно натуральное число – является пустым, равно нулю.
Приведу явно как соединяются мои и натуральные числа:
0, 1…,2…,3… … 1, 1…, 2…,3… … 2, 1…, 2…,3… … когда досчитаем до бесконечности:
0…,1,2,3… … 1…,1,2,3… … 2…, 1,2,3… … 3…, все комбинации цифр учтены и сосчитаны.
Фрактальная структура.
Таким образом, каждое из подмножеств : натуральные числа и мои числа является счетными, но оба они вместе не могут быть отображены на одно из них. Таким образом несчетное множество существует и равно с одной стороны множеству натуральных чисел и множеству моих чисел вместе, с другой стороны оно равно нулю, т.к. ничего кроме моих чисел и натуральных нет – только пустота, пустое множество.
, не входящего в список, только десятичная запись не используется.
