Пока тут обсуждают "изобретение" А. Связного, рассмотрим ещё одно док-во несчетности множ-ва действительных чисел.
В этом док-ве используется геометрическое представление вещ-ных чисел.
Теорема(Кантора).
Множ-во P точек отрезка [0,1] неэквивалентно множ-ву натуральных чисел N.
Док-во. Допустим, что множ-во P=[0,1] счетно, т.е. что точки множ-ва можно занумеровать в последовательность

(1)
Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из этих отрезков не будет содержать точки

( точка

может принадлежать либо одному частичному отрезку, либо двум, являясь их общим концом). Отрезок

, не содержащий точки

, снова разделим на три равных отрезка. По крайней мере один из них,

, не будет содержать точки

. Отрезок

второго деления. не содержащий точки

, снова разделим на три равных отрезка и т.д.
Получим последовательность отрезков

, вложенных друг в друга, длины которых стремятся к нулю.
Тогда, с одной стороны,точка
![$x_0\in [0,1]$ $x_0\in [0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/4/d44c873d827c7d32ee3852f9b58b631c82.png)
и, след-но, совпадает с одной из точек послед-ти (1).
С другой стороны, точка

, не может совпадать ни с одной точкой

Полученное противоречие доказывает, что предположение об эквивалентности P и N неверно.
Здесь нет построения некого "нового" вещ-го числа, не входящего в список.
Зато сразу видно, что мы не можем установить 1-1 соответствие между
элементами множ-ва N и
элементами несчетного множ-ва P= [0,1], а можем только лишь пронумеровать
границы, в пределах которых находятся элементы несчетного множества.
Множ-во таких границ счетно, но между любыми двумя границами, как бы близки они ни были, всегда найдутся новые элементы.
Казалось бы, что представление вещ-ного числа символом бесконечной десятичной дроби дает нам само это число в виде некого "объекта".
На самом деле все операции с вещ-ными числами представляют собой действия над гнездами интервалов. Обрывая бесконечную последовательность цифр дроби

приходим к двум рациональным приближениям вещ-го числа

по недостатку и избытку:
Легко увидеть, что пресловутое "построение нового вещ-го числа" заменой п-ой цифры п-го числа на самом деле есть "продвижение в бесконечность" по счетному списку границ...
Вот если бы мы всегда могли четко выделять элементы любых множеств, то все бесконечные множества были бы только счетными.
