Цитата:
ZVS
…А потому нельзя начать считать вообще..
Дедуктивное «все» больше чем индуктивное «бесконечно». Если мы берем все - ни останется ничего и считать этого не надо, если берем бесконечно – что-то может остаться и придется посчитать, чтобы убедится в полноте индукции. Для бесконечных подсчетов убедится не получится – можно только поверить.
Цитата:
ewert:
Ну попытайтесь таким способом доказать, что множество алгебраических чисел (с бесконечными и даже непериодическими последовательностями цифр) -- несчётно.
Доказать таким образом, что множество алгебраических чисел несчетно нельзя – потому что изначально не предполагается, что ВСЕ возможные перестановки бесконечной последовательности цифр образуют алгебраические числа.
Цитата:
Someone
Враки - Ваше утверждение о том, что в доказательстве Кантора каким-то образом используется какой-нибудь конкретный способ записи натуральных чисел.
Философский вопрос. Мне бы не хотелось его развивать, тем не менее, выскажу свое мнение.
Кантор явно пытался использовать в своем доказательстве конкретный способ записи действительных чисел – в отличие от натуральных, они всегда должны представлять собой по форме условно бесконечное количество цифр или любых других «закорючек» (условно потому что бесконечное количество «закорючек» выписать нельзя). То, что в доказательстве не указан явно способ записи натуральных чисел, позволяет нам записывать их и как конечное и как условно бесконечное количество цифр.
Однако, при любом способе записи натуральных чисел (а вообще без записи не обойтись – пусть даже в голове – форма неизбежна) неизменным останется то, что все комбинации цифр(закорючек, выбранных для записи), изначально (дедуктивно) считаются соответствующими некоторым действительным числам, в то время, как некоторые из комбинаций цифр(закорючек), представляющих натуральные числа изначально (дедуктивно) считаются не соответствующими ни одному натуральному числу. Далее предлагается индуктивно «проследовать» до бесконечности и убедится в этом. При этом, при отправлении вам говорят, что индукция будет полной, но не смотря на это, вы, к сожалению, все равно не доберетесь до (реальной) последовательности цифр, которые бы не соответствовали какому-либо натуральному числу (возможно, потому что она бесконечна – за пределами этой «полной» индукции), а вот до бесконечной последовательности цифр, определяющей действительное число, которое не соответствует ни одному натуральному числу, добираться не надо – она ведь уже здесь (условно конечно). Нужно только принять это за реальность и поверить в нее.
Еще раз хотелось бы задать вопрос: Если перед вами условно бесконечная произвольная последовательность цифр после запятой (которую Кантор явно использовал в своем доказательстве), нужно ли доказывать, что это число непременно действительное (а, например, не алгебраическое) или это принимается за аксиому (теорему, которая уже где-то доказана) ?