счетность множества действительных чисел

[ZVS]

Если существует уже некоторое множество, то всегда можно определить,задать как либо, последовательность любых элементов данного множества.Счетную, разумеется.Другие не бывают.По общему алгоритму для каждого элемента.
А последовательность, где каждый элемент определяется по отдельному правилу, мы ведь уже проходили.
Так вот, если этого сделать нельзя, то тогда и только тогда множество несчетно.То есть нет множества иррациональных чисел.Вообще.Есть примеры отдельных иррациональных чисел, определенные для каждого случая,как некий предел последовательностей рациональных.Что,(формулировки существования предела) как любят пояснять некоторые "нормальные" математики, всего лишь форма записи, которая не значит ничего кроме того ,что буквально записано в ней.
Что я и пытался обьяснить,в некоей, столь быстро закрытой теме.Впрочем,время на обдумывание как раз заканчивается.Вот истина и проявляется..
P.S.

ewert писал(а):

ZVS писал(а):

Нет однозначного определения ВСЕХ иррациональных чисел,одновременно(вневременно),

Дайте определение определения.

Не дам.Не поможет.

Умному сказанного достаточно,а глупцу и понимать не надо.(С)

[ewert]

ZVS писал(а):

ewert писал(а):

Дайте определение определения.

Не дам.Не поможет.

Умному сказанного достаточно,а глупцу и понимать не надо.(С)

ну, видите ли, Вас не устраивают общепринятые определения вещественных чисел. Так предъявите требования, которые Вы накладываете на само понятие "определение". Если же у Вас нет ни определений, ни требований, вообще ничего нет -- что ж, на нет и суда нет.

[AD]

ZVS в сообщении #137481 писал(а):

Не дам.

Во жжадина ...

[shpeer]

Какие-то тролли пошли , мелкие . Давидюк был более заматерелым.

Цитата:

Если существует уже некоторое множество, то всегда можно определить,задать как либо, последовательность любых элементов данного множества.Счетную, разумеется.Другие не бывают.По общему алгоритму для каждого элемента.

Вот я хотел бы посмотреть как сей товарисч по алгоритму будет ставить в соответсвие , номер произвольной точке отрезка без предельного перехода.

[Captious]

Пока тут обсуждают "изобретение" А. Связного, рассмотрим ещё одно док-во несчетности множ-ва действительных чисел.
В этом док-ве используется геометрическое представление вещ-ных чисел.
Теорема(Кантора).
Множ-во P точек отрезка [0,1] неэквивалентно множ-ву натуральных чисел N.
Док-во. Допустим, что множ-во P=[0,1] счетно, т.е. что точки множ-ва можно занумеровать в последовательность
$x_1, x_2, ... , x_n, ... $ (1)
Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из этих отрезков не будет содержать точки $x_1$ ( точка $x_1$ может принадлежать либо одному частичному отрезку, либо двум, являясь их общим концом). Отрезок $\Delta_1$, не содержащий точки $x_1$, снова разделим на три равных отрезка. По крайней мере один из них, $\Delta_2$, не будет содержать точки $x_2$. Отрезок $\Delta_2$ второго деления. не содержащий точки $x_2$, снова разделим на три равных отрезка и т.д.
Получим последовательность отрезков $\Delta_1, \Delta_2,..., \Delta_n, ... $ , вложенных друг в друга, длины которых стремятся к нулю.
Пусть $x_0$ - точка принадлежащая всем этим отрезкам .
Тогда, с одной стороны,точка$x_0\in [0,1]$ и, след-но, совпадает с одной из точек послед-ти (1).
С другой стороны, точка $x_0$, не может совпадать ни с одной точкой $x_n$ послед-ти (1) так так точка $x_n \notin \Delta_n$, а точка $x_0$ входит в этот отрезок. Полученное противоречие доказывает, что предположение об эквивалентности P и N неверно.
Здесь нет построения некого "нового" вещ-го числа, не входящего в список.
Зато сразу видно, что мы не можем установить 1-1 соответствие между элементами множ-ва N и элементами несчетного множ-ва P= [0,1], а можем только лишь пронумеровать границы, в пределах которых находятся элементы несчетного множества.
Множ-во таких границ счетно, но между любыми двумя границами, как бы близки они ни были, всегда найдутся новые элементы.

Казалось бы, что представление вещ-ного числа символом бесконечной десятичной дроби дает нам само это число в виде некого "объекта".
На самом деле все операции с вещ-ными числами представляют собой действия над гнездами интервалов. Обрывая бесконечную последовательность цифр дроби $0,c_1c_2...c_n... $ приходим к двум рациональным приближениям вещ-го числа $\alpha$по недостатку и избытку:
$0,c_1c_2...c_n \leqslant \alpha \leqslant 0,c_1c_2...c_n+ \frac 1 {10^n} $
Легко увидеть, что пресловутое "построение нового вещ-го числа" заменой п-ой цифры п-го числа на самом деле есть "продвижение в бесконечность" по счетному списку границ...
Вот если бы мы всегда могли четко выделять элементы любых множеств, то все бесконечные множества были бы только счетными.

[ewert]

Captious писал(а):

Пока тут обсуждают "изобретение" А. Связного, рассмотрим ещё одно док-во несчетности множ-ва действительных чисел.
В этом док-ве используется геометрическое представление вещ-ных чисел.
Теорема(Кантора).
Множ-во P точек отрезка [0,1] неэквивалентно множ-ву натуральных чисел N.
Док-во. Допустим, что множ-во P=[0,1] счетно, т.е. что точки множ-ва можно занумеровать в последовательность
$x_1, x_2, ... , x_n, ... $ (1)
Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из этих отрезков не будет содержать точки $x_1$ ( точка $x_1$ может принадлежать либо одному частичному отрезку, либо двум, являясь их общим концом). Отрезок $\Delta_1$, не содержащий точки $x_1$, снова разделим на три равных отрезка. По крайней мере один из них, $\Delta_2$, не будет содержать точки $x_2$. Отрезок $\Delta_2$ второго деления. не содержащий точки $x_2$, снова разделим на три равных отрезка и т.д.
Получим последовательность отрезков $\Delta_1, \Delta_2,..., \Delta_n, ... $ , вложенных друг в друга, длины которых стремятся к нулю.
Пусть $x_0$ - точка принадлежащая всем этим отрезкам.

Здесь нет ровным счётом никакой геометрии. Предположение же о существовании некоей точки $x_0$ -- не что иное, как следствие аксиомы полноты. Ну или соотв. теоремы, если числа определяются каким-либо другим способом.

[Someone]

Captious в сообщении #137527 писал(а):

Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из этих отрезков не будет содержать точки ...

А вложить канторово совершенное множество в $[0,1]\setminus\{x_i:i\in\mathbb N\}$ можете?

[Captious]

ewert писал(а):

Здесь нет ровным счётом никакой геометрии. Предположение же о существовании некоей точки -- не что иное, как следствие аксиомы полноты. Ну или соотв. теоремы, если числа определяются каким-либо другим способом.

Г-н ewert ! Если вы до сих пор не можете "врубиться" в тему и понять о чём же идет речь, то может быть уже не надо так явно это демонстрировать? Я понимаю, что поддержка вашему флуду обеспечена, но ведь надо же и совесть иметь...
С вашим детским лепетом по теме бесконечности в математике я уже достаточно ознакомлен, так что не надо повторяться...
P.S. То же самое могу сказать и "профессионалу". Вам, г-н Someone, уже предоставлялась возможность высказаться по сути дела, но вы предпочли иное - и это исключительно ваши проблемы...

[ewert]

Captious писал(а):

Г-н ewert ! Если вы до сих пор не можете "врубиться" в тему и понять о чём же идет речь, то

Нет, сударь, никак не врублюсь. Вот Вы тут накатали:

Цитата:

Множ-во таких границ счетно, но между любыми двумя границами, как бы близки они ни были, всегда найдутся новые элементы.

Ну и какое это имеет отношение к счётности/несчётности? и действительно ли отсюда мн-во рациональных чисел несчётно? (ибо к ним сиё глубокомысленное рассуждение точно относится)

[Brukvalub]

Captious в сообщении #137527 писал(а):

Зато сразу видно, что мы не можем установить 1-1 соответствие между элементами множ-ва N и элементами несчетного множ-ва P= [0,1], а можем только лишь пронумеровать границы, в пределах которых находятся элементы несчетного множества.

Бред по форуму несется....

[Someone]

Captious в сообщении #137535 писал(а):

Вам, г-н Someone, уже предоставлялась возможность высказаться по сути дела, но вы предпочли иное - и это исключительно ваши проблемы...

Не можете, значит. Только ругаетесь.

Вот интересно, Вы это якобы "геометрическое" доказательство сами придумали? Его чуть-чуть надо модифицировать, и получится не одна точка, а канторово совершенное множество.

А вообще, это Ваше доказательство - частный случай доказательства хорошо известной теоремы о том, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде объединения счётного семейства нигде не плотных подмножеств.

[Рогов Павел Владимирович]

Если интересно посмотрите: ‹…›

Ссылка удалена. // нг

[TOTAL]

Рогов Павел Владимирович писал(а):

Если интересно посмотрите: ‹…›

Если что интересно?

Ссылка удалена // нг

[ewert]

Рогов Павел Владимирович писал(а):

Если интересно посмотрите:‹ …›

Это что, шутка?
Тогда не очень удачная.

[url]‹…›.ru/?p=66[/url]
Вы там доказываете, что единичку можно разделить только на целое количество частей. Ибо нельзя разделить её на нецелое, пользуясь делениями только на целое.

И это, безусловно, гениальная мысль. Но: осознаёте ли Вы, насколько гениальная? насколько потрясающий результат Вам удалось получить?

Вам удалось доказать, что ни циркуля, ни линейки в природе не существует! Более того -- не может существовать!

Ибо тогда было бы возможно деление, например, на $\sqrt2$. Но ведь это же невозможно!

ссылки удалены // нг

[MaximKat]

‹…›?p=87 тут еще смешнее
автор доказывает отсутствие иррациональных чисел, основываясь на определениях предела и сходимости взятых из.... толкового словаря!!!

ссылка удалена // нг