Прочитал всю переписку...
Меня заинтересовал следующий пост Sla_sh:
Цитата:
Sla_sh Пн Июл 21, 2008 01:33:55
… любое число с конечным набором разрядов входит в исходное множество, т.к. ему в соответствие можно поставить номер по алгоритму, приведенному в первом сообщении темы. Ну, то есть, если брать все конечные числа до второго разряда - получим:
1 - 0,1
2 - 0,2
3 - 0,3
...
9 - 0,9
10 - 0,11
11 - 0,12
18 - 0,19
и т. д.
То есть, как ни строй диагональной процедурой Кантора число с конечным количеством разрядов - оно все равно будет иметь порядковый номер из натурального ряда.
А почему для чисел с бесконечным количеством разрядов ситуация изменится я не понимаю. Цитата:
MaximKat
Да вот поэтому и измениться. Чтобы этот алгоритм можно было применять к бесконечному исходному множеству нужно бесконечное число разрядов.
Канторовское доказательство несчетности множества действительных чисел интервала (0,1) можно интерпретировать следующим образом.
Возьмем любое действительное число из этого интервала, например,
√ 0,8 ~ 0,89442719099991587856366946749251… для его полной записи требуется бесконечное количество цифр после запятой.
Возьмем любое натуральное число, например, 89442719099991587856366946749251, для его полной записи требуется конечное количество цифр.
Пересчет представляет собой установление 1-1 соответствия между натуральными и действительными числами, т.е. присвоение каждой произвольной БЕСКОНЕЧНОЙ последовательности цифр справа – действительному числу, некой произвольной но, всегда КОНЕЧНОЙ последовательности цифр слева – натурального числа. В результате слева мы всегда имеем конечную последовательность цифр (номер), справа – бесконечную (действительное число).
Далее тривиально доказывается, что множество перестановок заведомо конечных последовательностей цифр (представляющих номер) всегда меньше чем множество перестановок заведомо бесконечных последовательностей цифр (действительных чисел).
Таким образом, Канторовское доказательство строится на двух тонких, неявных постулатах, которые явно, как аксиомы или теоремы нигде не сформулированы (я нигде не видел их доказательство или опровержение): натуральные числа выражаются лишь конечной последовательностью цифр, только они могут использоваться для счета.
Согласно этому постулату, ни одно натуральное число не может записываться бесконечным количеством цифр и, соответственно, ни одна бесконечная последовательность цифр не может считаться бесконечно большим натуральным числом.
Канторовский алеф-нуль – трансфинитное число, определяющее мощность множества всех натуральных чисел. Т.к., согласно постулата, натуральные числа всегда конечны, то алеф-нуль – есть множество ВСЕХ конечных множеств. Однако, т.к. в каждом бесконечном множестве есть бесконечные подмножества (бесконечное множество и определяется, как множество, эквивалентное своему подмножеству), то получается, что множество, мощности алеф-нуль, помимо всех конечных подмножеств (мощности всех натуральных чисел) содержит в себе еще и бесконечные подмножества. Например, подмножество всех четных чисел можно выписать, образовав тем самым бесконечную последовательность цифр. Причем для определения любого знака этой последовательности существует алгоритм, не менее эффективный, чем алгоритм вычисления любого знака после запятой для действительных чисел. Однако, эта последовательность не может считаться номером, т.к. согласно постулата – натуральные числа всегда конечны и только они могут использоваться для счета. Эти бесконечные последовательности, по форме – есть бесконечные равномощные счетные множества, элементами которых являются знаки (цифры), но по содержанию – они могут представлять собой некие числа – мощности бесконечных множеств. Причем, т.к. эти числа, требуют для записи, так же как и действительные числа бесконечной последовательности цифр, следует признать, что множество таких чисел эквивалентно множеству действительных чисел.
Если принять (гипотетически предположить), что бесконечные последовательности цифр представляют собой некие числа, то на них можно достаточно легко определить элементарные арифметические, и даже алгебраические действия. Записывать их также просто, как и действительные числа, скажем, вместо
√ 0,8 ~ 0,89442719099991587856366946749251…
записать 89442719099991587856366946749251…
вместо √ 0,7 ~ 0,83666002653407554797817202578519…
записать 83666002653407554797817202578519…
алгоритм нахождения цифры любого разряда – известен. Эти бесконечные числа легко сравнить по высшим разрядам. Сложения / вычитание выполнять поразрядно, начиная с первого разряда влево после многоточия, например, 7654… - 2… = 7652…
Для такого рода чисел вполне можно задать непротиворечивую аксиоматику, наподобие аксиоматики Пеано. Если в математике все, что не противоречиво – существует, то почему бы не существовать такого рода числам ?
Единственное, над чем действительно стоит поразмыслить, можно ли постулировать такого рода числа – бесконечно большими натуральными числами и использовать их для счета ? Как я уже сказал, я не видел, чтобы это где-либо явно отрицалось, опровергалось и т.п.
Чтобы в этом убедиться, возьмите конкретное множество из 10 чисел и попробуйте реально проделать описанную вами процедуру... 
является отрицательным? Ведь и положительных, и отрицательных чисел бесконечно много!?
