Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[irod]

mattspr
Добро пожаловать
vego
спасибо за рекомендацию (пока не посмотрел эти видео).

[irod]

vego в сообщении #1320948 писал(а):

irod в сообщении #1320832 писал(а):

vpb
Еще вопрос по Фихтенгольцу: параграф 42 "Наибольший и наименьший пределы" мне сейчас нужен, или не останавливаться на нем особо? Он весь набран мелким шрифтом.

Трудновато с этой темой по Фихтенгольцу разбираться. На youtube есть несколько мини-лекций на эту тему от Matthew Salomone.

Я Вы не поделитесь прямой ссылкой? Я искал - не нашел нужных лекций. Вообще не очень трудно и по Фихтенгольцу мне показалось, все доказательства вроде простые - через определение предела и точных граней. Другой вопрос - насколько эти понятия полезны и где их использовать? Я пока не сталкивался с задачами где бы они пригодились.

-- 27.06.2018, 11:07 --

Напишу о своем текущем продвижении.

Уже писал что Фихтенгольца прочитал до второй главы.
Попробовал сам доказать теорему Штольца, благо не запомнил ее доказательство после прочтения. Думал несколько дней (эти дни я не только этой теоремой занимался, конечно), но ничего толком не придумал. Перечитал учебник - не, сам бы я наверное не додумался до такого (ну или долго думал бы).
Штольц кстати очень полезным оказался - многие задачи из Демидовича элементарно доказываются с его помощью. Как же я раньше без него жил.

Демидовича прорешал уже до задачи 69, пока не смог решить и временно пропустил буквально пяток задач.
Начиная с задачи 58 пошли задачи поинтереснее и посложнее.
Номера 60, 61, 65, 69 (частично) и 72 (частично) - уже решал в Давидовиче, помню, тоже было сложно.
Самая сложная для меня задача - 60, хоть она и расписана в Фихтенгольце, я его решение сам с наскоку не воспроизвел.
Тут мне кстати уже подсказывали идею другого доказательства этого факта, его я уже подзабыл (кстати, доказательство через сравнение с геометрической прогрессией кажется мне гораздо проще чем то что в Фихтенгольце).
После 60-й остальные задачи уже полегче, многие доказываются через 60-ю и/ли бином Ньютона.
vpb, решаю дальше? Уже хочется к следующей главе перейти.
Для самопроверки кстати использую китайского Антидемидовича.

-- 27.06.2018, 11:13 --

С Мордковичем продвижение тоже есть, но медленное. Все еще не закончил вторую главу 8-го класса (за месяц-то). Реально никаких сложностей не возникает, просто долго очень - просмотреть каждую задачу, наметить в уме ее решение и если не намечается, то расписать на бумаге.

Занимаюсь по 3 дня Мордковичем, потом 3 дня матаном, по 2-3 часа каждый день.

-- 27.06.2018, 11:24 --

vpb в сообщении #1318305 писал(а):

Контрольную по Зельдовичу я Вам напишу как-нибудь на днях.

Простите, Вы не забыли про контрольную?

[irod]

В 8-м классе Мордковича почти закончил эту затянувшуюся для меня по времени вторую главу, в следующих главах пошел материал гораздо легче.

Глава 3 с рисованием и исследованием графиков парабол и гипербол - этот материал я хорошо усвоил, делая листок 14 из Давидовича, за что огромное спасибо grizzly и всем остальным в той теме, так что сейчас не узнал почти ничего нового, разве что немного упорядочил все в голове. Что все-таки узнал/вспомнил/взглянул по-новому:
- фокус параболы и пучок лучей света из него;
- геометрическая интерпретация ограниченности функции снизу/сверху (график функции не пересекает прямую, параллельную оси $Ox$);
- гипербола: название и понятие "асимптоты" ($y=0,x=0$), оси симметрии $y=x,y=-x$;
- график $y=f(x+m)+l$: сдвиг = "параллельный перенос", вспомогательная система координат и 2 алгоритма рисования графика (с помощью этой вспомогательной системы координат и без нее);
- графическое решение квадратных уравнений: разные способы;
- дробно-линейная функция $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: ограничения на коэффициенты.

Глава 4 про решение квадратных уравнений - ну это вообще элементарщина, не знаю сколько тысяч этих уравнений я нарешал за свою жизнь. Ничего нового, разве что теорему Виета вспомнил (она вообще нужна в высшей математике? ни разу в жизни не пригождалась вне школы, кажется). Тоже проскочил эту главу быстро.

Все же возвращаясь к главе 2. Там есть 2 очень важные темы, с которыми я постоянно сталкиваюсь в матане, и с которыми у меня субъективно не все гладко (хотя они вроде очень простые). Первая тема (по-проще) - это свойства неравенств, ее я кажется теперь нормально усвоил. Вторая тема (по-сложнее) - это модуль и его свойства. Я не знаю почему, но у меня с этими модулями какие-то сложности. Над доказательством свойств типа $|a-b|\geq|a|-|b|$ (задача 16.09 из Звавича, и начале Демидовича тоже есть задачи на модуль) я сидел и продолжаю сидеть непростительно долго (относительно других школьных задач). В качестве доп.источника использую книгу Зеленского и Панфилова "Решение уравнений и неравенств с модулем", но как-то все равно не могу доказательства этих свойств до автоматизма довести, каждый новый раз приходится на них какое-то время тратить. Есть советы как эту тему раз и навсегда побороть чтобы больше к ней не возвращаться?

[Munin]

irod в сообщении #1324574 писал(а):

геометрическая интерпретация ограниченности функции снизу/сверху (график функции не пересекает прямую, параллельную оси $Ox$);

Ограничена ли снизу/сверху функция $y=\dfrac{1}{x}$? А функция $y=\dfrac{1}{x}+x$?

irod в сообщении #1324574 писал(а):

гипербола: название и понятие "асимптоты"

Есть ли асимптоты у параболы? Можете ли вы это доказать?

irod в сообщении #1324574 писал(а):

гипербола

Знакомы ли вы с "другой гиперболой"? Графики функций $y=\pm\sqrt{x^2+1}$ и $y=\pm\sqrt{x^2-1}.$

irod в сообщении #1324574 писал(а):

график $y=f(x+m)+l$: сдвиг = "параллельный перенос"

Знаете ли вы другие преобразования графиков? Какие?

(Оффтоп)

Можете ли вы по графику $y=f(x)$ построить графики $y=f(|x|),\quad y=|f(x)|,\quad|y|=f(x)$?

irod в сообщении #1324574 писал(а):

теорему Виета вспомнил (она вообще нужна в высшей математике? ни разу в жизни не пригождалась вне школы, кажется)

Как раз она в высшей математике гораздо важнее, чем полная формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета - это первое знакомство с теорией многочленов.

[irod]

Munin
спасибо за вопросы!

Munin в сообщении #1324586 писал(а):

irod в сообщении #1324574 писал(а):

геометрическая интерпретация ограниченности функции снизу/сверху (график функции не пересекает прямую, параллельную оси $Ox$);

Ограничена ли снизу/сверху функция $y=\dfrac{1}{x}$? А функция $y=\dfrac{1}{x}+x$?

Обе неограничены.
Мне надо было написать правильно про геометрическую интерпретацию неограниченности: график функции целиком лежит выше/ниже некоторой прямой, параллельной $Ox$.

Munin в сообщении #1324586 писал(а):

Есть ли асимптоты у параболы? Можете ли вы это доказать?

Точного определения асимптоты в Мордковиче нет, но если я все правильно понял, то нет, у параболы нет асимптот, ведь с неограниченным ростом/убыванием икса квадратичная функция не сходится ни к какому конечному пределу.

Munin в сообщении #1324586 писал(а):

Знакомы ли вы с "другой гиперболой"? Графики функций $y=\pm\sqrt{x^2+1}$ и $y=\pm\sqrt{x^2-1}.$

Кажется нет, с такими графиками я не сталкивался. Позже попробую их построить.

Munin в сообщении #1324586 писал(а):

irod в сообщении #1324574 писал(а):

график $y=f(x+m)+l$: сдвиг = "параллельный перенос"

Знаете ли вы другие преобразования графиков? Какие?

Знаю все что было в задачах 6 и 8 листка 14 Давидовича.

Munin в сообщении #1324586 писал(а):

Можете ли вы по графику $y=f(x)$ построить графики $y=f(|x|),\quad y=|f(x)|,\quad|y|=f(x)$?

Первые два - да, легко, уже делал это в Давидовиче. А последний - это вообще график? Получается ведь, что каждому значению $x$ соответствуют два значения $y$. Или я не прав?

Munin в сообщении #1324586 писал(а):

Как раз она в высшей математике гораздо важнее, чем полная формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета - это первое знакомство с теорией многочленов.

Ок.

[kotenok gav]

irod в сообщении #1324598 писал(а):

А последний - это вообще график?

График, но не обязательно функция.

[Munin]

irod в сообщении #1324598 писал(а):

Точного определения асимптоты в Мордковиче нет, но если я все правильно понял, то нет, у параболы нет асимптот, ведь с неограниченным ростом/убыванием икса квадратичная функция не сходится ни к какому конечному пределу.

Понятно: вы пока знаете только про горизонтальные и вертикальные асимптоты. А про наклонные не знаете. График функции $y=\dfrac{1}{x}+x$ как раз даст вам примеры наклонных асимптот. Вопрос в том, есть ли наклонные асимптоты у параболы? А вдруг есть вертикальные? ;-)

irod в сообщении #1324598 писал(а):

Знаю все что было в задачах 6 и 8 листка 14 Давидовича.

А, это очень хорошо! Приведу здесь формулировки для других читателей темы:

Цитата:

6. По данному графику $f(x)$ построить графики следующих функций:


а) $|f(x)|;$
б) $f(|x|);$
в) $|f(|x|)|;$
г) $f(x+b);$
д) $f(ax);$
е) $f(ax+b);$
ж) $f(x)+c;$
з) $af(x)+b.$

8. По данному графику $f(x)$ построить графики следующих функций:


а) $f^2(x);$
б) $\sqrt{f(x)};$
в) $\dfrac{1}{f(x)};$
г) $2^{f(x)};$
д) $[f(x)].$

Добавлю к задаче 8, что стоит попробовать и другие аналогичные:

$f(x^2),\quad f(\sqrt{x}),\quad f\bigl(\dfrac{1}{x}\bigr),\quad \log_2 f(x),\quad f(2^x),\quad f(\log_2 x).$

Можно ещё

$f(\sin x),\quad f(\cos x),\quad \sin f(x),\quad \cos f(x).$

А квадратными скобками я не знаю, что в данном случае обозначено. Если "целая часть", то это не слишком интересное упражнение.

По сути, в жизни больше всего нужны те преобразования, которые перечислены в задаче 6, плюс показательные ($a^{\lsots}$) и логарифмические. Иногда обратные.

[nya]

irod в сообщении #1324574 писал(а):

разве что теорему Виета вспомнил (она вообще нужна в высшей математике? ни разу в жизни не пригождалась вне школы, кажется). Тоже проскочил эту главу быстро.

Попробуйте решить такое упражнение (оно на теорему Виета + теорему об обратной функции). Доказать, что корни многочлена степени $n$ гладко зависят от его коэффициентов, по крайней мере пока всё корни различны.

[irod]

По матану.
Думаю надо мне заканчивать с пределом последовательности, потому что материал уже по несколько раз мною пройден, и нет больше времени на него.
Если что, vpb, я готов к контрольной по пределу последовательности (если сочтете нужным).

Начал сейчас читать главу 2 Фихтенгольца - "Функции одной переменной", прошу подсказать соответствующие номера задач из Демидовича.

Вообще, vpb, может быть мы с Вами установим какие-то временные рамки на прохождение каждой конкретной темы, по матану хотя бы? Все-таки до следующего набора в ШАД (на который я нацеливаюсь - в 2019 г.) осталось меньше года, и мне хочется понимать как надо рассчитывать свои силы. Наверное, нужен какой-то компромисс между качеством изучения и временем.

-- 06.07.2018, 09:14 --

nya
попробую, ок. Правда я не знаю что такое "гладко зависят" (хотя и догадываюсь), не подскажете где это определение прочитать?

[vpb]

irod
Вот список номеров из параграфа 5 Демидовича, которые я вам рекомендую прорешать.

381--389, 392--428, 430, 31, 33, 35--39, 43-44, 47,48, 52--55, 57, 58, 64, 65, 68--84, 86, 88, 90,91, 93--95, 99, 501-502, 505, дальше не смотрел. То есть, это большая часть задач, но некоторые особенно заковыристые номера удалены. Вообще говоря, этот список был составлен для другого человека, но в первом приближении он и Вам подойдет.

Есть еще два параграфа на общее понятие функции, области определения, графики и т.д., но они очень скучные, и, поскольку Вы и так одновременно читаете-решаете Мордковича и Звавича, которые тоже скучны, эти два параграфа можно пока отложить.

irod в сообщении #1324788 писал(а):

Наверное, нужен какой-то компромисс между качеством изучения и временем.

То, что я некоторые номера из списка выкинул, можете рассматривать как шаг в направлении такого компромисса.

[Munin]

Как насчёт всё-таки честно сказать, что нацеливаться на 2019 год - наивно?

[eugensk]

Munin
Не-не, надежда на кумулятивный эффект, как откроется видение, всё ускорится неимоверно. Но надо в этом сидеть, а не решать время от времени.

[Munin]

Угу, и гениальность прорежется, и открытия попрут, и нобелевки столпятся у порога.

[nya]

Значит, что частично-определенное отображение $f : \mathbb{R}^n \to \{(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1 < x_2 < ... < x_n\}$, которое коэффициентам $(a_1,...,a_n)$ многочлена $x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n$ сопоставляет набор упорядоченных корней $x_1 < ... < x_n$ (при условии что вещественных корней ровно $n$ и они все различные, в ином случае $f$ не определено) является гладким (и даже диффеоморфизмом) будучи ограниченным на свою область определения.

-- 07.07.2018, 03:06 --

В некотором смысле задача довольно-таки в стиле Яндекса (в смысле решается довольно просто при свободном владении материалом, но не решается при поверхностном), советовал бы решить. Я не следил за темой, вы уже немного знаете анализ многих перменных? Если нет, то можете не решать наверное. Или узнать о теореме об обратной функции и решить.

[iifat]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1324862 писал(а):

нацеливаться на 2019 год - наивно

Мой наивнометр давно пылится в кладовке... А вы, смотрю, регулярно смазываете и калибруете?