Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[vpb]

irod в сообщении #1324574 писал(а):

Вторая тема (по-сложнее) - это модуль и его свойства. Я не знаю почему, но у меня с этими модулями какие-то сложности. Над доказательством свойств типа $|a-b|\geq|a|-|b|$ (задача 16.09 из Звавича, и начале Демидовича тоже есть задачи на модуль) я сидел и продолжаю сидеть непростительно долго (относительно других школьных задач). В качестве доп.источника использую книгу Зеленского и Панфилова "Решение уравнений и неравенств с модулем", но как-то все равно не могу доказательства этих свойств до автоматизма довести, каждый новый раз приходится на них какое-то время тратить. Есть советы как эту тему раз и навсегда побороть чтобы больше к ней не возвращаться?

Есть совет: не предпринимать по этому поводу никаких специальных усилий. (В частности, Зеленского и Панфилова закрыть и не открывать более). Будете решать много неравенств и др. задач из задачника --- всё само собой в голове уложится. И про модуль, и прочее.

Зеленский-Панфилов --- из серии "пособие для абитуриентов", их цель --- не знание, а дрессировка.

Возможно, Вы хотите не того "автоматизма". Всякие задачи с модулем всегда относительно трудоемкие, потому что надо перебирать разные случаи.

Упомянутое же неравенство --- это просто основное неравенство для расстояния (неравенство треугольника), с другой стороны. Если от Кузькино до Крюково 70 км, а от Крюково до Сидоровки 30 км, то ясно, что от Кузькино до Сидоровки не более 100 км и не менее 40. $AC\geq AB-BC$, ибо $AB\leq AC+CB=AC+BC$. Геометрию Вам повторять надо будет...

-- 28.07.2018, 03:27 --

ЗЫ.

Munin в сообщении #1329203 писал(а):

Кажется, всё это задавали другому человеку...

Я думаю, то, что kotenok gav стал решать контрольную по Зельдовичу, никому не мешает.

-- 28.07.2018, 03:33 --

irod в сообщении #1322869 писал(а):

Штольц кстати очень полезным оказался - многие задачи из Демидовича элементарно доказываются с его помощью. Как же я раньше без него жил.

Как ни странно, я всю жизнь без него прожил.

-- 28.07.2018, 03:57 --

irod в сообщении #1324574 писал(а):

Ничего нового, разве что теорему Виета вспомнил (она вообще нужна в высшей математике

Да !!!

[Munin]

vpb в сообщении #1329232 писал(а):

Я думаю, то, что kotenok gav стал решать контрольную по Зельдовичу, никому не мешает.

Да нет, само по себе это не плохо. Но плох соблазн ТС-у не решать её самому. В таких случаях можно завести новую тему со своими ответами, или отправить их в ЛС. Впрочем, и выкладывание решений в этой же теме - тоже бывает.

Не принимайте моего замечания слишком всерьёз. (И kotenok gav тоже.)

[irod]

vpb Спасибо за контрольную по Зельдовичу и советы! На следующей неделе я возвращаюсь домой и приступаю к работе.

[irod]

vpb в сообщении #1329066 писал(а):

Хочу уточнить: так Вы задачи на предел с арктангенсом и сходимость рядов тоже решали без понимания смысла ? Т.е. Вы, когда решали, не смогли бы доказать, пусть нестрого, что те ряды сходятся, а предел существует ?

Тогда решал без понимания сути. Сейчас существование предела с арктангенсом уже смог бы доказать, наверное (могу попробовать, надо посидеть подумать, сходу сложно сказать), а вот сходимость рядов доказать навряд ли смогу.

-- 31.07.2018, 15:55 --

Отвечу на интересные вопросы mmm99rus с 17-й страницы.

mmm99rus в сообщении #1327161 писал(а):

Вы выбрали довольно сложный путь, решив стать математиком для того, чтобы потом стать программистом. Почему вы так сконцентрировались на ШАД? Он же предназначен для "доучивания" математиков, которые затем будут заниматься программированием (а точнее - data science). При этом выше вы писали, что рассматриваете вариант после ШАДа заниматься "теоретической математикой" (видимо, имелась в виду не прикладная математика) - тогда вам нужно полноценное математическое образование, или, например НМУ (про него - позже).

Я уже писал ранее:

irod в сообщении #1320104 писал(а):

ШАД для меня - это компромис между тем чем я бы в идеале хотел заниматься (теоретической математикой), тем что будет приносить деньги и тем что я уже умею неплохо делать (программировать), чтобы не начинать совсем уж с нуля.

(Оффтоп)

Жалко, кстати, что мне тогда Munin не ответил

irod в сообщении #1320128 писал(а):

Munin в сообщении #1320115 писал(а):

Тогда, извините, это очень хреновый компромисс.

Почему Вы так считаете, не развернете мысль?

Может быть все-таки ответите?

Выражусь теперь иначе: ШАД для меня - это промежуточный этап. Я просто следую идеологии MVP: имея своей великой целью занятие исследованиями в (около-)математической области, я решил постепенно, этапами, набирать недостающие мне компетенции. Так, чтобы после каждого этапа уже были какие-то результаты, которые можно сразу в жизни применить.
Программировать я имею. Надо это использовать, не хочется такой опыт зря терять. Выбрал компьютерно-математическую область по интересу и перспективам - машинное обучение и анализ данных. Этому учат в ШАДе. После ШАДа можно уже просто начать работать в этой области на производстве, решать проблемы бизнеса - применять уже готовые алгоритмы машинного обучения. Ну и потом уже можно будет дальше подтягивать недостающую математику и уходить в исследования.
Короче, путь такой: подготовка к ШАДу -> ШАД -> дальнейшая математическая подготовка -> исследования.

vpb в сообщении #1328254 писал(а):

А кто сам занимается исследованиями в анализе данных, тому может быть нужна математика всякая разная, и много. И уж, конечно, Зорича действительно надо знать корки до корки. Или во всяком случае когда-то раньше его (или эквивалентные книжки) пройти полностью. Но это, так сказать, другой уровень, такие люди в ШАДе, наверное, редко учатся, разве что преподают...

-- 22.07.2018, 22:00 --

В общем, резюмируя, так: для оригинальных исследований по той науке действительно очень полезны обширные знания математики, тут я с Вами согласен; но для учебы в ШАД, считаю, достаточно более ограниченных.

Да, в итоге мне хотелось бы оказаться именно там - в исследовательской деятельности.

mmm99rus в сообщении #1327161 писал(а):

Если же вы хотите заниматься программированием

Нет, просто программировать (формошлепствовать) полный рабочий день я не хочу, мне это занятие уже давно обрыдло. Пусть программирование будет моим полезным вспомогательным навыком, а главным же инструментом пусть будет математика.

-- 31.07.2018, 15:57 --

vpb
по поводу модулей понял, спасибо.

[Munin]

irod в сообщении #1329778 писал(а):

Может быть все-таки ответите?

Отвечаю.

Чтобы заниматься теоретической математикой, надо иметь базовое математическое образование. Его у вас нет. В ШАД его вам не дадут. Минус.

Анализ данных - это вообще не теоретическая математика, а совсем другая область. Прикладная донельзя, как минимум. Минус.

Чтобы получать на анализе данных деньги, надо не только пройти ШАД, но и попасть в успешный проект, это очень рисковая область. Минус.

Использование навыков программирования - остро недостаточно для анализа данных, а по вашим замечаниям ("формошлепствовать") - вы и программировать-то толком на профессиональном уровне не умеете. Но самое интересное - это что анализ данных сравнительно мало связан с программированием. Мало вам помогут даже высокие навыки. Минус.

[vpb]

irod в сообщении #1329778 писал(а):

Тогда решал без понимания сути. Сейчас существование предела с арктангенсом уже смог бы доказать, наверное (могу попробовать, надо посидеть подумать, сходу сложно сказать), а вот сходимость рядов доказать навряд ли смогу

Да, попробуйте, только сильно не упорствуйте. Это с $e$ связано. Выше Вы писали, что пропустили в Демидовиче "буквально пяток задач" начиная с 69-й, они тоже про $e$.

Еще вот что. Как дорешаете задачник Звавича, дайте мне знать. Дело в том, что Звавич 8 и Звавич 9 по разному, по моему впечатлению, устроены, и прорешивать их тоже по разному надо. Если всё подряд, времени не хватит. Там скорее надо случайно выбирать. Я еще посмотрю получше.

[irod]

Munin
спасибо за ответ.

vpb
ок

[abiturient]

чего-то смотрю я на это с небольшой иронией. Когда мне надо было поступать в СПБГУ, правда, студентом на 1 курс, мне месяц хватило на все экзамены--(физика, математика и русский). Зачем разводить такой кипешь в нете, я не понимаю совсем. Есть же программы шад, что требуют. Это какое-то перекладывание ответственности на "другого". Научите!
Да никто вас не научит, надо все это пройти. Я так думаю. Нельзя просто так прыгнуть, от непонимания школьной математики до шад. Если хотите учиться, идёте учиться. А потом уже и шад.

[irod]

Начинаю выкладывать что сделал из контрольной по Зельдовичу.
Ничего пока сложного, просто времени почти нет сейчас, поэтому так долго.

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

1) Пусть $V$ --- объем куба, $S$ --- площадь его поверхности. Выразить $V$ как функцию от $S$, а $S$ --- как функцию от $V$. Выразить зависимость между $S$ и $V$ полиномиальным уравнением: $F(S,V)=0$, где $F$ --- некоторый многочлен от двух переменных.

(Оффтоп)

Пусть $a$ -- сторона куба. Тогда $S=6a^2,V=a^3$. Выразим $a=\sqrt{\frac{S}{6}}=\sqrt[3]{V}$. Отсюда $S=6V^{\frac{2}{3}},V=(\frac{S}{6})^{\frac{3}{2}},S^3-216V^2=0$.

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

2) Найти производные следующих функций :
(а) $y=\frac{2x}{x^2+3}$

(Оффтоп)

$$ y'=\frac{2(x^2+3)-2x\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{3-2x^2}{(x^2+3)^2} $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

(б) $y=(x+1)\sqrt{ax^2+bx+c}$

(Оффтоп)

$$ y'=\sqrt{ax^2+bx+c}+\frac{(x+1)(2ax+b)}{2\sqrt{ax^2+bx+c}} $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

(в) $y=\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x}}$

(Оффтоп)

$$ y'=\frac{(x^2+\sqrt[3]{x})'}{2\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x}}}=\frac{2x+\frac{1}{3}x^{-2/3}}{2\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x}}} $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

(г) $y=\cos(x^2)$

(Оффтоп)

$$ y'=-2x\sin(x^2) $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

(е) $y=\arctg(e^{\sqrt x})$

(Оффтоп)

$$ y'=\frac{(e^{\sqrt{x}})'}{1+e^{2\sqrt x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(1+e^{2\sqrt x})} $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

3) Найти следующие интегралы (вручную, а не с помощью таблиц), неопределенные и определенный.

(а) $\int\frac{dx}{x^2+2x-3}$

(Оффтоп)

$$ \int\frac{dx}{x^2+2x-3}= \int\frac{dx}{(x-1)(x+3)}= \int\bigg(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}\bigg)dx. $$

$A(x+3)+B(x-1)=1$, отсюда $A=-B,4A=1,A=\frac{1}{4},B=-\frac{1}{4}$.
Подставляем в интеграл:

$$ \frac{1}{4}\int\bigg(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+3}\bigg)dx= \frac{1}{4}(\ln|x-1|-\ln|x+3|)+C= \frac{1}{4}\ln|\frac{x-1}{x+3}|+C. $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

(б) $\int\frac{dx}{x^2+2x+10}$

(Оффтоп)

Тут $D<0$, так что предыдущий способ с разложением на множители не подойдет.
Выделим полный квадрат:
$x^2+2x+10=(x+1)^2+9$.

Выполним замены переменной под знаком интеграла $z=\frac{x+1}{3},z=\tg\theta$ и используем формулу $1+\tg^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}$:

$$ \int\frac{dx}{x^2+2x+10}= \int\frac{dx}{(x+1)^2+9}= \frac{1}{9}\int\frac{dz}{z^2+1}= \frac{1}{9}\int d\theta= $$

$$ =\frac{\theta}{9}+C= \frac{1}{9}\arctg(\frac{x+1}{3})+C. $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

(в) $\int x^2\ln x\,dx$

(Оффтоп)

Применим формулу интегрирования по частям:

$$ \int hdg=gh-\int gdh, $$

где $h=\ln x,dh=\frac{dx}{x},dg=x^2dx,g=\int x^2dx=\frac{x^3}{3}$. Имеем:

$$ \int x^2\ln xdx=\frac{x^2\ln x}{3}-\frac{1}{3}\int x^2dx=\frac{x^2\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+C. $$

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

4) Найти наименьшее значение функции $f(x)=x\ln x$ при $x\in(0,+\infty)$.

(Оффтоп)

Найдем точки экстремума:
$f'(x)=1+\ln x=0\Rightarrow x=e^{-1}$,
$f(e^{-1})=-e^{-1}$.

Определим, максимум это или минимум, по знаку второй производной:
$f''(x)=\frac{1}{x},f''(e^{-1})=e>0$ -- значит, это минимум.

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

5) Найти площадь сегмента параболы $y=x^2-2x$, который от нее отсекает прямая $y=2x$.

(Оффтоп)

Найдем точки пересечения прямой и параболы:
$x^2-2x=2x\Rightarrow x(x-4)=0\Rightarrow x_1=0,x_2=4$.

Если нарисовать график, то видно что нужный участок можно для удобства вычисления разделить на несколько:
1) участок от нуля до $2$, ограниченный осью $x$ сверху и параболой снизу; его площадь равна $|\int\limits_0^2(x^2-2x)dx|=\frac{2}{3}$.
2) участок от нуля до $4$, ограниченный прямой $2x$ сверху и осью $x$ снизу (площадь равна $2\int\limits_0^4xdx=16$) за вычетом участка от $2$ до $4$, ограниченного сверху параболой, а снизу осью $x$ (площадь равна $\int\limits_2^4(x^2-2x)dx=\frac{20}{3}$).

Итак, полная площадь $S=\frac{2}{3}+16-\frac{20}{3}=10$.

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

6) (а) Доказать, что если $y(x)$ --- многочлен степени $\leq2$, $\overline y$ --- его среднее значение на отрезке $[a,b]$, то

$$ \overline y= \frac16 (y(a)+y(b)+4y(\frac{a+b}2) ).$$

(Оффтоп)

Что такое среднее значение: $\overline y=\frac{\int\limits_{a}^by(x)\ dx}{b-a}$

Пусть $y(x)=px^2+qx+r$, тогда

$$ \int\limits_{a}^by(x)\ dx= (\frac{px^3}{3}+\frac{qx^2}{2}+rx)\vert_a^b= $$

$$ =\frac{pb^3}{3}+\frac{qb^2}{2}+rb-\frac{pa^3}{3}-\frac{qa^2}{2}-ra= $$

$$ =\frac{1}{6}(2p(b^3-a^3)+3q(b^2-a^2)+6r(b-a)). $$

Далее, разделив результат выше на $(b-a)$, получим

$$ \overline{y}= \frac{1}{6}(2p(a^2+ab+b^2)+3q(b+a)+6r)= $$

$$ =\frac{1}{6}[p(a^2+b^2+(a+b)^2)+q(a+b+2a+2b)+6r]= $$

$$ =\frac{1}{6}[(pa^2+qa+r)+(pb^2+qb+r)+4(p\frac{a+b}{4}^2+q\frac{a+b}{2}+r)]= $$

$$ =\frac{1}{6}[y(a)+y(b)+4y(\frac{a+b}2)]. $$

-- 07.08.2018, 17:56 --

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

7) Найти ряд Маклорена функции $y=\tg(\frac\pi4+x)$ до членов порядка $x^2$ включительно.

(Оффтоп)

Формула ряда Маклорена: $y(x)\approx y(0)+xy'(0)+\frac{x^2}{2}y''(0)$.
Вычисляем:
$y(0)=1$,
$y'(x)=\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4}+x)},y'(0)=2$,
$y''(x)=-\frac{2}{\cos^3(\frac{\pi}{4}+x)}\cdot(-\sin(\frac{\pi}{4}+x))=\frac{2\tg(\frac{\pi}{4}+x)}{\cos^2(\frac{\pi}{4}+x)},y''(0)=1$.
Подставляем:
$y(x)\approx 1+2x+\frac{x^2}{2}$.

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

16) Доказать, что $(\arctg x)'=\frac1{1+x^2}$ (с разумной аккуратностью и не глядя в книгу).

(Оффтоп)

Найдем производную обратной функции - тангенса - по правилу дифференцирования дроби:

$$ x(y)=(\tg y)'= (\frac{\sin y}{\cos y})'= \frac{(\sin y)'\cos y-(\cos y)'\sin y}{\cos^2 y}=1+\tg^2 y. $$

Теперь найдем производную арктангенса по правилу дифференцирования обратной функции:
$y(x)=(\arctg x)'=\frac{1}{(\tg y)'}=\frac{1}{1+\tg^2(\arctg x)}=\frac{1}{1+x^2}$.

-- 07.08.2018, 17:58 --

Остальное позже.

[irod]

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

9) Найти первые 4 ненулевых члена разложения в ряд Маклорена для функции $f(x)=1/(2\sqrt{2+x^2})$.

(Оффтоп)

Ох и муторная задача, много расчетов.
Рассчитываем члены ряда:
$f(0)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$,
$f'(x)=-\frac{x}{2(2+x^2)^{3/2}},f'(0)=0$,
$f''(x)=\frac{x^2-1}{(2+x^2)^{5/2}},f''(0)=-\frac{1}{4\sqrt{2}}$,
$f'''(x)=\frac{9x-3x^3}{(2+x^2)^{7/2}},f'''(0)=0$,
$f^{IV}(x)=\frac{12x^4-72x^2+18}{(2+x^2)^{9/2}},f^{IV}(0)=\frac{9}{8\sqrt{2}}$,
$f^{V}(x)=-\frac{30x(2x^4-20x^2+15)}{(x^2+2)^{11/2}},f^{V}(0)=0$,
$f^{VI}(x)=\frac{180(2x^6-30x^4+45x^2-5)}{(x^2+2)^{13/2}},f^{VI}(0)=-\frac{900}{64\sqrt{2}}$.

Подставляем:

$$ f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{x^2}{8\sqrt{2}}+\frac{3x^4}{64\sqrt{2}}-\frac{5x^6}{256\sqrt{2}}+\ldots. $$

[irod]

vpb в сообщении #1328192 писал(а):

10) С точностью до членов порядка $x^2$ включительно $f(x)=2x+x^2+\ldots$ и $g(x)=2+3x+5x^2+\ldots$, в окрестности нуля. Найти разложения (до $x^2$ включительно) для $h_1(x)=f(x)+g(x)$, $h_2(x)=f(x)g(x)$ и $h_3(x)=f(x)/g(x)$.

(Оффтоп)

Рассчитываем:
$h_1(x)=2+5x+6x^2$,
$h_1(0)=2$,
$h_1'(x)=5+12x$,
$h_1'(0)=5$,
$h_1''(x)=12$,
$h_1''(0)=12$.
Подставляем:
$h_1(x)\approx 2+5x+6x^2$.

Рассчитываем:
$h_2(x)=4x+8x^2+13x^3+5x^4$,
$h_2(0)=0$,
$h_2'(x)=4+16x+39x^2+20x^3$,
$h_2'(0)=4$,
$h_2''(x)=16+78x+60x^2$,
$h_2''(0)=16$.
Подставляем:
$h_2(x)\approx 4x+8x^2$.

Рассчитываем:
$h_3(x)=\frac{2x+x^2}{2+3x+5x^2}$,
$h_3(0)=0$,
$h_3'(x)=\frac{(2x+x^2)'(2+3x+5x^2)-(2x+x^2)(2+3x+5x^2)'}{(2+3x+5x^2)^2}=\frac{(2+2x)(2+3x+5x^2)-(2x+x^2)(3+10x)}{(2+3x+5x^2)^2}=\frac{4+4x-7x^2}{(2+3x+5x^2)^2}$,
$h_3'(0)=1$,
$h_3''(x)=\frac{(4+4x-7x^2)'(2+3x+5x^2)^2-(4+4x-7x^2)((2+3x+5x^2)^2)'}{(2+3x+5x^2)^4}=\frac{4-14x}{(2+3x+5x^2)^2}-\frac{2(4+4x-7x^2)(3+10x)}{(2+3x+5x^2)^3}$,
$h_3''(0)=1-3=-2$,
Подставляем:
$h_3(x)\approx x-x^2$.

[Otta]

irod в сообщении #1331185 писал(а):

Найти первые 4 ненулевых члена разложения в ряд Маклорена для функции $f(x)=1/(2\sqrt{2+x^2})$. (Оффтоп)

Конечно, муторная. Не надо так считать, в таких случаях стандартными разложениями пользуются.

-- 17.08.2018, 18:21 --

irod в сообщении #1333115 писал(а):

Рассчитываем:

Ну и опять. С рядами умеете работать? Вот и тут так же, только от рядов огрызки. Остаточный член там какой-то. Неважно какой.