Функции: свойства и графики (Давидович)

[irod]

Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме - листок 14.
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах. Помимо всего прочего, буду благодарен за замечания по стилистике доказательств.

Определение 1.
Пусть $M\subset\mathbb{R}$. Отображение $f:M\to\mathbb{R}$ называется функцией на множестве $M$. Множество $M$ называется областью определения функции $f$. Множество $f(M)$ называется множеством значений
функции $f$.

Определение 2.
Функция $f:M\to\mathbb{R}$ называется ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Задача 1.
Пусть $f,g,h$ -- функции на отрезке $[a,b]$, причем $f$ и $g$ ограничены, $h$ не ограничена, множества значений функций $g$ и $h$ не содержат ноль. Что можно сказать об ограниченности следующих
функций: $f+g,f+h,fg,fh,f/g,f/h$?

Ответ.
$f+g$ ограничена;
$f+h$ не ограничена;
$fg$ ограничена;
$fh$ может быть ограничена (если множество значений $f$ есть ноль) или не ограничена;
$f/g$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $g$ сколь угодно близко приближаются к нулю);
$f/h$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $h$ сколь угодно близко приближаются к нулю).

[svv]

В последних трёх случаях Вы говорите, что функция может обладать таким-то свойством, если ...
Как бы Вы сформулировали, что следует за этим «если»: необходимое условие? достаточное? необходимое и достаточное?

[deep down]

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$fh$ может быть ограничена (если множество значений $f$ есть ноль)

Придумайте пример ограниченной $fh$ при $f$ нигде не обращающейся в ноль.
Остальное правильно.

[irod]

deep down в сообщении #1254369 писал(а):

Придумайте пример ограниченной $fh$ при $f$ нигде не обращающейся в ноль.

$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{h(x)} & \mbox{при } |h(x)|\ge 1, \\ 1 $ \mbox{при } h(x)=0, \\ h(x) & \mbox{иначе.} \end{cases}$
Тогда $fh$ ограничена при любой неограниченной $h$.

-- 19.10.2017, 16:43 --

svv в сообщении #1254320 писал(а):

В последних трёх случаях Вы говорите, что функция может обладать таким-то свойством, если ...
Как бы Вы сформулировали, что следует за этим «если»: необходимое условие? достаточное? необходимое и достаточное?

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$fh$ может быть ограничена (если множество значений $f$ есть ноль) или не ограничена;

достаточное условие

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$f/g$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $g$ сколь угодно близко приближаются к нулю);

необходимое и достаточное

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$f/h$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $h$ сколь угодно близко приближаются к нулю).

необходимое и достаточное

[svv]

Ага, спасибо. Пояснение, в каком именно смысле было «если», явно требовалось, потому что в каждом случае Вы вкладывали свой смысл. Теперь можно предметно покритиковать.

deep down заметил, что тут условие не является необходимым:

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$fh$ может быть ограничена (если множество значений $f$ есть ноль)

Я замечу, что тут условия не являются достаточными:

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$f/g$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $g$ сколь угодно близко приближаются к нулю);
$f/h$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $h$ сколь угодно близко приближаются к нулю)

Для функции $f/g$, где $g$ сколь угодно близко приближается к нулю, рассмотрите случай $f=g$.
Для функции $f/h$, где $h$ сколь угодно близко приближается к нулю, рассмотрите случай
$f(x)= \begin{cases} h(x) & \text{при } |h(x)|\leqslant 1, \\ 1 & \text{иначе}\end{cases}$

[irod]

svv
Вы правы, я слажал.
Иду дальше.

Определение 3.
Функция $f:M\to\mathbb{R}$ называется монотонно возрастающей (неубывающей, невозрастающей, убывающей) на множестве $X\subset M$, если для любых $x_1,x_2\in X$, таких что $x_1<x_2$, выполняется условие $f(x_1)<f(x_2)$ ($f(x_1)\le f(x_2)$, $f(x_1)\ge f(x_2)$, $f(x_1)>f(x_2)$). Функция называется монотонной, если она монотонно неубывающая или монотонно невозрастающая.

Задача 2.
Исследовать на монотонность следующие функции и построить их графики:
а) $ax+b$

При $b=0$ график проходит через начало координат.
Возможны 3 случая:
при $a>0$ функция монотонно возрастающая;
при $a<0$ монотонно убывающая;
при $a=0$ монотонно невозрастающая/неубывающая (график - прямая линия через точку $(0,b)$, параллельная оси $Ox$).

б) $ax^2+bx+c$

При $a=0$ имеем функцию из п.а).
При $a\neq 0$ графиком функции является парабола с началом в точке $(0,c)$. При $a>0$ ветви параболы направлены вверх, при $a<0$ -- вниз.
По графику видно, что функция не является монотонной на всей области определения, но она монотонна отдельно на промежутках $(-\infty,0]$ и $[0,+\infty)$:
при $a>0$ убывает на $(-\infty,0]$ и возрастает на $[0,+\infty)$,
при $a<0$ возрастает на $(-\infty,0]$ и убывает на $[0,+\infty)$.

[ewert]

А перекосились Ваши параболы, видимо, от отвращения?

[kotenok gav]

irod в сообщении #1259199 писал(а):

при $a>0$ убывает на $(-\infty,0]$ и возрастает на $[0,+\infty)$,
при $a<0$ возрастает на $(-\infty,0]$ и убывает на $[0,+\infty)$.

Неверно.

[mihiv]

irod в сообщении #1259199 писал(а):

При $a\neq 0$ графиком функции является парабола с началом в точке $(0,c)$

Вершина параболы в другой точке.

[grizzly]

irod в сообщении #1259199 писал(а):

Исследовать на монотонность следующие функции и построить их графики:

Я думаю, задание всё же предполагает в первую очередь исследовать на монотонность, а потом уже строить графики. (Я не предлагаю это делать для этой задачи -- уж больно это школьный материал, но понимать как делать такое исследование без графика необходимо.)

Дальше будут другие задачи с условием "исследовать и построить график". Если эти задачи слишком просты, я предлагаю выбирать самую сложную функцию из предложенных и исследовать её по полной программе.

-- 26.10.2017, 12:10 --

Да, кстати, -- при нормальном подходе к решению упомянутых выше ошибок не возникло бы.

[svv]

ewert в сообщении #1259206 писал(а):

А перекосились Ваши параболы, видимо, от отвращения?

Нет. Из картинок видно, что автор считает, что при $b=0$ ось симметрии параболы вертикальна, при $b>0$ парабола поворачивается против часовой стрелки, а при $b<0$ — по часовой стрелке. Стройная система получается: $a$ отвечает за растяжение, $b$ за поворот, $c$ за сдвиг по вертикали. Но вершина параболы всегда лежит на оси ординат.

[Sender]

irod, как, по-вашему, будет выглядеть график функции $y(x)=(x-1)^2$?

[ewert]

grizzly в сообщении #1259210 писал(а):

Да, кстати, -- при нормальном подходе к решению упомянутых выше ошибок не возникло бы.

"Нормальный" подход пока что невозможен. Пока что ещё даже пределов функций не было, не то что производных. Пока что предполагается только, что графики квадратичной функции на данный момент известны уже во всех школах и уже давно.

-- Чт окт 26, 2017 13:42:41 --

(Оффтоп)

Sender в сообщении #1259214 писал(а):

как, по-вашему, будет выглядеть график параболы $y=(x-1)^2$?

У парабол не бывает графиков. Они сами графики.

[Sender]

(ewert)

:facepalm: спасибо, поправил.

[grizzly]

ewert в сообщении #1259216 писал(а):

"Нормальный" подход пока что невозможен.

"Нормальный" подход всегда возможен

ewert в сообщении #1259216 писал(а):

Пока что предполагается только, что графики квадратичной функции на данный момент известны уже во всех школах и уже давно.

В этой теме решаются задачи школьного учебника (пусть даже для продвинутых школ) и это самое первое упоминание функции в этом курсе. Так что пока давайте считать, что на данный момент известны только определения функции и монотонности.