Вопрос про гравитацию и бозон Хиггса

[bayak]

Munin в сообщении #620797 писал(а):

А их, интерпретаций, в физике раз - и обчёлся. Тут-то всё просто.

Собственно, меня интересует геометрия, которая связана со спинорным представлением группы Лоренца. А поскольку алгебру Ли алгебры Клиффорда $Cl_{3.1}(\mathbb{R})$ можно представить как алгебру линейных векторных полей, касательных к псевдосфере пространства $\mathbb{R}_{4,4}$, то почему бы физикам не обратить внимание на этот факт. Кроме того, существует такая геометрическая алгебра, в которой уравнения Дирака имеют простой вид, причём алгебра Ли этой алгебры реализуется как алгебра касательных к произведению сфер $S^{3}\times S^{3}$ векторных полей пространства $\mathbb{R}^{4}\times\mathbb{R}^{4}$.

[Munin]

bayak
Вот если вы $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ сумеете как-то иначе представить (или произведение их на группу Лоренца), это будет занятнее.

[bayak]

Munin в сообщении #622342 писал(а):

bayak
Вот если вы $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ сумеете как-то иначе представить (или произведение их на группу Лоренца), это будет занятнее.

Ну это не сложно сделать. Берём евклидову прямую, евклидову плоскость и евклидово пространство. Компактифицируем их в окружность, тор $S^1\times S^1$ и тор $S^1\times S^1 \times S^1$ соответственно. Затем рассматриваем такие движения каждого компактифицированного объекта, что их прообраз (на прямой, плоскости или в пространстве) состоит из последовательных евклидова поворота, сдвига и ещё одного поворота вокруг нового центра, полученного сдвигом. Тогда группа таких движений и будет искомая $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$.

Что касается группы Лоренца, то тут уже говорилось, что $so_{1,3}(\mathbb{R})\cong su_2(\mathbb{C})\oplus su_2(\mathbb{C})$. С другой стороны, алгебра Ли $su_2(\mathbb{C})$ изоморфна алгебре касательных к сферам $S^3$ линейных векторных полей 4-мерного евклидова пространства. Поэтому наша окружность и торы должны быть натянуты на $S^3$. Тогда в качестве физических объектов можно рассматривать векторные поля в 8-мерном пространстве: вакуум толковать как векторное поле, ортогональное к $S^3\times S^3$, а фермионы и бозоны - как тороидальные векторные поля, касательные к этому произведению сфер.

[lek]

bayak в сообщении #622573 писал(а):

Что касается группы Лоренца, то тут уже говорилось, что $so_{1,3}(\mathbb{R})\cong su_2(\mathbb{C})\oplus su_2(\mathbb{C})$.

Говорилось также, что это не верно. Правильно будет так:

$$ so_{1,3}(\mathbb{R})\simeq sl_2(\mathbb{C})\ncong [su_2(\mathbb{C})\oplus su_2(\mathbb{C})]\simeq so_{4}(\mathbb{R}). $$

[Munin]

bayak в сообщении #622573 писал(а):

Munin в сообщении #622342 писал(а):

bayak
Вот если вы $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ сумеете как-то иначе представить (или произведение их на группу Лоренца), это будет занятнее.

Ну это не сложно сделать. Берём евклидову прямую, евклидову плоскость и евклидово пространство. Компактифицируем их в окружность, тор $S^1\times S^1$ и тор $S^1\times S^1 \times S^1$ соответственно. Затем рассматриваем такие движения каждого компактифицированного объекта, что их прообраз (на прямой, плоскости или в пространстве) состоит из последовательных евклидова поворота, сдвига и ещё одного поворота вокруг нового центра, полученного сдвигом. Тогда группа таких движений и будет искомая $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$.

Не понял, почему.

[type2b]

lek в сообщении #622594 писал(а):

Правильно будет так:

да, только ${\it su}(2)_\mathbb{C}$ -- немного неудачное обозначение, поскольку $su(2)$ -- вещественная алгебра (а если комплексификация -- то это $sl$).

Вообще, смущение тут происходит по следующей причине. Как комплексная алгебра $so(3,1)_\mathbb{C}\equiv so(4)_\mathbb{C}\approx sl(2)_\mathbb{C}\oplus sl(2)_\mathbb{C}$, т.е. не простая; а вещественная форма $so(3,1)_\mathbb{R}\approx sl(2)_\mathbb{C}$ (изоморфизм как вещественных алгебр) уже не разлагается в прямую сумму. Поэтому представления порождаются индексами $\alpha$ и $\dot{\alpha}$, которые можно рассматривать как фундаментальные для двух $sl(2)$ в комплексификации, либо как два сопряженных для $sl(2)_\mathbb{C}$ в вещественной форме. У $sl(2)_\mathbb{C}$ как комплексной алгебры есть одно двумерное над $\mathbb{C}$ -- с индексом $\alpha$, а у нее же как у вещественной -- оно и комплексно сопряженное к нему.

[bayak]

lek в сообщении #622594 писал(а):

bayak в сообщении #622573 писал(а):

Что касается группы Лоренца, то тут уже говорилось, что $so_{1,3}(\mathbb{R})\cong su_2(\mathbb{C})\oplus su_2(\mathbb{C})$.

Говорилось также, что это не верно. Правильно будет так:

$$ so_{1,3}(\mathbb{R})\simeq sl_2(\mathbb{C})\ncong [su_2(\mathbb{C})\oplus su_2(\mathbb{C})]\simeq so_{4}(\mathbb{R}). $$

Там есть одна хитрость,- если одну из компонент прямой суммы умножить на мнимую единицу, то всё будет нормально. По крайней мере тут так и делают.

[lek]

type2b в сообщении #622832 писал(а):

lek в сообщении #622594 писал(а):

Правильно будет так:

да, только ${\it su}(2)_\mathbb{C}$ -- немного неудачное обозначение, поскольку $su(2)$ -- вещественная алгебра (а если комплексификация -- то это $sl$).

Конечно неудачное. Но я уже не знаю как и обозначать, чтобы некоторые форумчане открыли глаза и перестали писать чушь...

[type2b]

lek в сообщении #622849 писал(а):

чтобы некоторые форумчане открыли глаза и перестали писать чушь

для этого, видимо, надо еще раз сказать, что комплексификация Лоренца, а не ${\it so}(3,1)_\mathbb{R}$, изоморфно ${\it su}(2)_\mathbb{C}\oplus {\it su}(2)_\mathbb{C}$, где ${\it su}(2)_\mathbb{C}\equiv {\it sl}(2)_\mathbb{C}$ -- дурацкое обозначение для комплексификации вещественной алгебры ${\is su}(2)$.

[bayak]

bayak в сообщении #622848 писал(а):

Там есть одна хитрость,- если одну из компонент прямой суммы умножить на мнимую единицу, то всё будет нормально. По крайней мере тут так и делают.

Что-то я совсем заврался. Этот приём надо использовать для того, чтобы получить $sl_{\mathbb{C}}(2)$ из $su_{\mathbb{R}}(2)$

[lek]

type2b, по-видимому вы приняли мое замечание в свой адрес Если так, то вы ошиблись. Вас то оно как раз не касается...

Чтобы закрыть дискуссию, еще раз перепишу отмеченные выше изоморфизмы, используя стандартные обозначения:

$$ so(1,3)\simeq sl(2,\mathbb{C})\ncong su(2)\oplus su(2)\simeq so(4). $$

[type2b]

(Оффтоп)

lek в сообщении #622956 писал(а):

по-видимому вы приняли мое замечание в свой адрес

не-не

[bayak]

Munin в сообщении #622644 писал(а):

Не понял, почему.

Наверно это очень абстрактное представление. Попробую дать другое представление этой группы.

Сначала следует понять, что алгебра комплексных чисел может быть представлена алгеброй линейных векторных полей евклидовой плоскости. Действительно,

$$re^{i\varphi}\equiv r(y\partial'_{x}-x\partial'_{y}),$$

где

$$\partial'_{x}=\cos\varphi\partial_x-\sin\varphi\partial_y,$$

$$\partial'_{y}=\sin\varphi\partial_x+\cos\varphi\partial_y.$$

Затем следует понять, что алгебра пар комплексных чисел эквивалентна определённой алгебре линейных векторных полей 4-мерного пространства.

Теперь будет понятно, что, выбрав произвольный набор из $N$ ненулевых элементов алгебры линейных векторных полей 4-мерного пространства, мы сможем преобразовать их с помощью элемента группы $SU(N)$. Для этого достаточно подействовать на эти элементы ортогональным преобразованием из группы $SO(N)$, затем $(N-1)$-параметрической группой таких евклидовых поворотов $(\varphi_1,\ldots,\varphi_N)$, что $\varphi_1+\cdots+\varphi_N=0$, а затем опять подействовать преобразованием из группы $SO(N)$. Тем самым мы получим новую интерпретацию группы калибровочных симметрий стандартной модели.

Но это не всё что можно получить из такого представления алгебры комплексных чисел. Спинорная группа также хорошо представляется алгеброй линейных векторных полей.

[Munin]

bayak в сообщении #624865 писал(а):

Наверно это очень абстрактное представление. Попробую дать другое представление этой группы.

То есть доказать своё предыдущее заявление вы не хотите.

[bayak]

Munin в сообщении #624890 писал(а):

То есть доказать своё предыдущее заявление вы не хотите.

Доказательство (как я думаю) сводится к замечанию, что группа сдвигов $N$-тора эквивалентна группе $\{(e^{i\varphi_{1}},\ldots,e^{i\varphi_{N}})|\varphi_{1}+\cdots +\varphi_{N}=0\}$.