Ещё не понял соотношения между группами спина и алгебрами Клиффорда в индефинитных метриках; впрочем, Клиффорд меня интересует, только если про него написано то, что прояснит группы спина.
Несколько лет назад тоже задавал себе этот вопрос. Искал подходящий обзор или книгу, но не нашел. Поэтому собирал материал из разных источников. То, что получилось в результате, выкладываю ниже. Возможно пригодится...
Алгебры Клиффорда, спиноры и их представления.Хорошо известно, что группы
не являются односвязными. При
их фундаментальные группы изоморфны
. Односвязная накрывающая группы
обозначается
и называется спинорной группой. Таким образом, имеется точная последовательность
Каждое линейное представление группы
порождает представление
. Однако у группы
есть и другие представления, которые не получаются таким способом. Эти представления можно рассматривать как двузначные представления
. Их можно легко описать используя конструкцию алгебр Клиффорда.
Рассмотрим конечномерное вещественное пространство
с невырожденной метрикой
сигнатуры
. Выберем в
ортогональный базис
, в котором форма
имеет нормальный вид
Алгеброй Клиффорда
называется вещественная ассоциативная алгебра, порожденная элементами
и определяемая соотношениям
Из этого определения вытекает, что матрицы
могут быть выбраны унитарными, если условия эрмитова сопряжения наложить в виде
Алгебра
имеет размерность
и каждый ее элемент представим в виде линейной комбинации одночленов вида
где
. Очевидно, что множество всех таких одночленов вместе с единицей алгебры
образует ее базис. Обычно такой базис называют каноническим.
Подалгебра алгебры
, порожденная всеми одночленами
, называется четной и обозначается символом
. Поскольку
ее коммутаторная алгебра содержит алгебру Ли
. Имеют место следующие изоморфизмы:
Подгруппа
мультипликативной группы всех обратимых элементов алгебры
, порожденная элементами единичной сферы
, называется группой Клиффорда. Ее подгруппа, состоящая из четных элементов, обозначается символом
и называется спинорной группой. Поскольку эти группы замкнуты в группе всех обратимых элементов алгебры
, они являются группами Ли. Как было отмечено выше, группа
двулистно накрывает группу
. Заметим также, что для определения группы
можно было вместо алгебры
использовать алгебру
. Это утверждение справедливо ввиду изоморфизма четных подалгебр этих двух алгебр.
Комплексифицируя векторное пространство
, получаем комплексную алгебру Клиффорда
, где
. Эта алгебра изоморфна алгебре всех комплексных матриц размера
при
, и прямой сумме таких алгебр при
:
Отсюда следует, что алгебра
имеет единственное неприводимое представление размерности
, которое называется спинорным. Заметим, что в качестве пространства (неприводимого) представления комплексной алгебры Клиффорда можно выбрать ее (минимальный) левый идеал.
Очевидно, что представление алгебры
индуцирует комплексное представление группы
. Такое представление спинорной группы обычно называют представлением Дирака. Если
, то это представление неприводимо. Если
, то оно является суммой двух неприводимых неэквивалентных представлений размерности
, так называемых полуспинорных или вейлевских представлений с положительной и отрицательной киральностью. В том случае, когда группа
допускает вещественное представление, вместо представления Дирака или Вейля говорят о майорановском или майорано-вейлевском представлении.
Неприводимые представления группы
для
легко получить из таблицы 1, если воспользоваться вложением группы
в группу всех обратимых элементов алгебры
.
Таблица 1. Представления алгебры Клиффорда
, первый столбец дает значения
, а первая строка --- значения
.}
Используя эту таблицу легко построить (вещественные) представления спинорных групп. Так спинорное представление группы
принадлежит вещественному типу при
и кватернионному типу, если
. Полуспинорные представления группы
комплексно сопряжены друг другу при
, вещественны при
и принадлежат кватернионному типу при
. Эти два представления дуальны друг другу при нечетном
и автодуальны при четном
. Аналогично строятся представления спинорных групп в иденфинитных метриках.