Вопрос про гравитацию и бозон Хиггса

[bayak]

type2b в сообщении #607687 писал(а):

Почему же? Дираковское представление группы Лоренца приводимо и распадается на сумму двух вейлевских (противоположной киральности), так что бусты ничего не перемешивают.

Да $SL(2,C)$ накрывает собственную группу Лоренца. Но для накрытия всей группы Лоренца требуется уже расширение до $SL(4,C)$. Это хорошо прописано в упомянутой книге Румера и Фета.

[fizeg]

Munin
Раз уж в другой теме про левые-правые речь зашла, все-таки вас упрекну в дезинформации. Для массивных частиц левое (по chirality, т.е. гамма5) и левоспиральное (по helicity, т.е. по проекции спина на импульс, $\gamma_5\gamma^0\gamma_i \frac{p_i}{|\vec{p}|}$) - вещи разные. Слабое цепляется именно к левой компоненте. Для нейтрино понятно это пока что имеет мало значения, но принципиально теперь точно имеет

[Munin]

Объясните поподробнее, пожалуйста. Если я эти вещи путал, то хочу перестать путать.

[fizeg]

Munin
Вы, я полагаю, за это время сами разобрались.

Собственно уже было сказано, что спиральность, определяемая через проекцию спина на импульс лоренц-инвариант только для безмассовых частиц (для которых нельзя перейти в систему покоя и обратить импульс)

Вы можете проверить, что через гамма-матрицы оператор спина запишется как $\gamma_5\gamma^0\gamma^i$ Свернем его с отнормированым импульсом, то мы получим оператор спиральности $\gamma_5\gamma^0\gamma^i\frac{p^i}{|p|}$, ясно что он совсем не гамма5 (оператор киральности) и совсем не скаляр. Если же мы устремим массу в ноль, то хотя бы из уравнения Дирака ясно, что в этом случае $\gamma_5\gamma^0\gamma^i\frac{p^i}{|p|}=\gamma_5(\gamma^0)^2\frac{E}{|p|}=\gamma_5$

[Munin]

fizeg в сообщении #620145 писал(а):

Munin
Вы, я полагаю, за это время сами разобрались.

Не совсем. То есть, дошёл до пояснений в англ. Википедии, подумал слегка, но не стал добивать. Позор мне.

fizeg в сообщении #620145 писал(а):

Собственно уже было сказано, что спиральность, определяемая через проекцию спина на импульс лоренц-инвариант только для безмассовых частиц (для которых нельзя перейти в систему покоя и обратить импульс)

Да, для массивных chirality - это одно, а helicity - это другое. Но вот что такое chirality, остаётся недоумение. Сказано [http://en.wikipedia.org/wiki/Chirality_(physics)#Chirality_and_helicity], что это половина представления группы Пуанкаре. Но топология спинорного представления группы Пуанкаре для меня туманна (я то ли всё забыл, то ли разбирался и недоразобрался). С векторным представлением там всё понятно: есть два листа, в прошлом и в будущем. А у спина 1/2 (спинор Дирака) их, получается, четыре? Где про это почитать, как можно более наглядно и на пальцах?

[bayak]

Munin в сообщении #620206 писал(а):

Где про это почитать, как можно более наглядно и на пальцах?

Наверно тут

[Munin]

Спасибо. Понял, что меня не топология $\mathrm{Spin}(3,1)$ интересует, а её разложение в правую и левую компоненты. Топология, получается, та же, что у $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}),$ а она, в свою очередь, произведение топологий $\mathrm{SU}(2)$ ($S^3$) и 3-мерной плоскости $R^3.$ Замысловато, тшьорт побьери. Шесть измерений? Получается, в правой и левой половине должно быть по три...

-- 18.09.2012 22:34:41 --

А, не всё так просто, абзацем ниже другое говорится...

-- 18.09.2012 22:47:09 --

В общем, понял, там написано, что $\pi_1(\mathrm{Spin}(3,1))=\{0\}.$ И всё? А как же $\pi_0,$ $\pi_2,$ $\pi_3,$ $\pi_4,$ $\pi_5$?

-- 18.09.2012 22:53:34 --

Ещё не понял соотношения между группами спина и алгебрами Клиффорда в индефинитных метриках; впрочем, Клиффорд меня интересует, только если про него написано то, что прояснит группы спина.

[bayak]

Munin
Тут я Вам не помогу, надо у специалистов спрашивать. Но насколько я понял там рассматривается связная компонента спинорной группы, которая в случае сигнатуры Минковского оказывается ещё и односвязной. Впрочем, лично меня болше интересует не топология спинорной группы, а интерпретации спиноров.

[Munin]

А их, интерпретаций, в физике раз - и обчёлся. Тут-то всё просто.

[lek]

Munin в сообщении #620744 писал(а):

Ещё не понял соотношения между группами спина и алгебрами Клиффорда в индефинитных метриках; впрочем, Клиффорд меня интересует, только если про него написано то, что прояснит группы спина.

Несколько лет назад тоже задавал себе этот вопрос. Искал подходящий обзор или книгу, но не нашел. Поэтому собирал материал из разных источников. То, что получилось в результате, выкладываю ниже. Возможно пригодится...

(Оффтоп)

Алгебры Клиффорда, спиноры и их представления.

Хорошо известно, что группы $SO(d)$ не являются односвязными. При $d>2$ их фундаментальные группы изоморфны $\mathbb Z_2$. Односвязная накрывающая группы $SO(d)$ обозначается $Spin(d)$ и называется спинорной группой. Таким образом, имеется точная последовательность

$$ 1\to\mathbb Z_2\to Spin(d)\to SO(d)\to1. $$

Каждое линейное представление группы $SO(d)$ порождает представление $Spin(d)$. Однако у группы $Spin(d)$ есть и другие представления, которые не получаются таким способом. Эти представления можно рассматривать как двузначные представления $SO(d)$. Их можно легко описать используя конструкцию алгебр Клиффорда.

Рассмотрим конечномерное вещественное пространство $\mathbb R^{p,q}$ с невырожденной метрикой $\eta$ сигнатуры $(p,q)$. Выберем в $\mathbb R^{p,q}$ ортогональный базис $\Gamma_1,\dots,\Gamma_{p},\Gamma_{p+1},\dots,\Gamma_{p+q}$, в котором форма $\eta$ имеет нормальный вид

$$ \eta=\text{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1). $$

Алгеброй Клиффорда $Cl_{p,q}(\mathbb R)$ называется вещественная ассоциативная алгебра, порожденная элементами $\mathbb R^{p,q}$ и определяемая соотношениям

$$ \Gamma_{a}\Gamma_{b}+\Gamma_{b}\Gamma_{a}=2\eta_{ab}. $$

Из этого определения вытекает, что матрицы $\Gamma_{a}$ могут быть выбраны унитарными, если условия эрмитова сопряжения наложить в виде

$$ \Gamma_{a}^{\dag}=\Gamma^{a}. $$

Алгебра $Cl_{p,q}(\mathbb R)$ имеет размерность $2^{p+q}$ и каждый ее элемент представим в виде линейной комбинации одночленов вида

$$ \Gamma_{a_{1}a_{2}\dots a_{k}}=\Gamma_{a_{1}}\Gamma_{a_{2}}\dots\Gamma_{a_{k}}, $$

где $1\leqslant a_{1}<a_{2}<\dots<a_{k}\leqslant p+q$. Очевидно, что множество всех таких одночленов вместе с единицей алгебры $Cl_{p,q}(\mathbb R)$ образует ее базис. Обычно такой базис называют каноническим.

Подалгебра алгебры $Cl_{p,q}(\mathbb R)$, порожденная всеми одночленами $\Gamma_{ab}$, называется четной и обозначается символом $Cl^0_{p,q (\mathbb R)$. Поскольку

$$ [\Gamma_{ab},\Gamma_{cd}]=\eta_{ad}\Gamma_{bc}+\eta_{bc}\Gamma_{ad} -\eta_{ac}\Gamma_{bd}-\eta_{bd}\Gamma_{ac}, $$

ее коммутаторная алгебра содержит алгебру Ли $so(p,q)$. Имеют место следующие изоморфизмы:

$$ \begin{align} Cl^0_{p,q}(\mathbb R)&\simeq Cl_{p,q-1}(\mathbb R),\qquad q>0,\\ Cl^0_{p,q}(\mathbb R)&\simeq Cl_{q,p-1}(\mathbb R),\qquad p>0. \end{align} $$

Подгруппа $Pin(d)$ мультипликативной группы всех обратимых элементов алгебры $Cl_{d,0}(\mathbb R)$, порожденная элементами единичной сферы $\mathbb{S}^{d-1}\subset\mathbb{R}^{d}$, называется группой Клиффорда. Ее подгруппа, состоящая из четных элементов, обозначается символом $Spin(d)$ и называется спинорной группой. Поскольку эти группы замкнуты в группе всех обратимых элементов алгебры $Cl_{d,0}(\mathbb{R})$, они являются группами Ли. Как было отмечено выше, группа $Spin(d)$ двулистно накрывает группу $SO(d)$. Заметим также, что для определения группы $Spin(d)$ можно было вместо алгебры $Cl_{d,0}(\mathbb{R})$ использовать алгебру $Cl_{0,d}(\mathbb{R})$. Это утверждение справедливо ввиду изоморфизма четных подалгебр этих двух алгебр.

Комплексифицируя векторное пространство $Cl_{p,q}(\mathbb{R})$, получаем комплексную алгебру Клиффорда $Cl_{d}(\mathbb{C})$, где $d=p+q$. Эта алгебра изоморфна алгебре всех комплексных матриц размера $2^{n}\times 2^{n}$ при $d=2n$, и прямой сумме таких алгебр при $d=2n+1$:

$$ \begin{align} Cl_{2n}(\mathbb C)&\simeq\mathbb C(2^{n}),\\ Cl_{2n+1}(\mathbb C)&\simeq\mathbb C(2^{n})\oplus\mathbb C(2^{n}). \end{align} $$

Отсюда следует, что алгебра $Cl_{d}(\mathbb C)$ имеет единственное неприводимое представление размерности $2^{n}$, которое называется спинорным. Заметим, что в качестве пространства (неприводимого) представления комплексной алгебры Клиффорда можно выбрать ее (минимальный) левый идеал.

Очевидно, что представление алгебры $Cl_{d}(\mathbb C)$ индуцирует комплексное представление группы $Spin(d)$. Такое представление спинорной группы обычно называют представлением Дирака. Если $d=2n+1$, то это представление неприводимо. Если $d=2n$, то оно является суммой двух неприводимых неэквивалентных представлений размерности $2^{n-1}$, так называемых полуспинорных или вейлевских представлений с положительной и отрицательной киральностью. В том случае, когда группа $Spin(d)$ допускает вещественное представление, вместо представления Дирака или Вейля говорят о майорановском или майорано-вейлевском представлении.

Неприводимые представления группы $Spin(d)$ для $d\leqslant8$ легко получить из таблицы 1, если воспользоваться вложением группы $Spin(d)$ в группу всех обратимых элементов алгебры $Cl_{0,d-1}(\mathbb R)$.

Таблица 1. Представления алгебры Клиффорда $Cl_{p,q}(\mathbb R)$

$$ \arraycolsep=0.6mm \begin{array}{p{6mm}lllllllllllllll} \hline &-7&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5&6&7\\ 0&&&&&&&&\mathbb R&&&&&&&\\ 1&&&&&&&\mathbb C&&\mathbb R^2&&&&&&\\ 2&&&&&&\mathbb H&&\mathbb R(2)&&\mathbb R(2)&&&&&\\ 3&&&&&\mathbb H^2&&\mathbb C(2)&&\mathbb R^2(2)&&\mathbb C(2)&&&&\\ 4&&&&\mathbb H(2)&&\mathbb H(2)&&\mathbb R(4)&&\mathbb R(4)&&\mathbb H(2)&&&\\ 5&&&\mathbb C(4)&&\mathbb H^2(2)&&\mathbb C(4)&&\mathbb R^2(4)&&\mathbb C(4)&&\mathbb H^2(2)&&\\ 6&&\mathbb R(8)&&\mathbb H(4)&&\mathbb H(4)&&\mathbb R(8)&&\mathbb R(8)&&\mathbb H(4)&&\mathbb H(4)&\\ 7&\mathbb R^2(8)&&\mathbb C(8)&&\mathbb H^2(4)&&\mathbb C(8)&&\mathbb R^2(8)&&\mathbb C(8)&&\mathbb H^2(4)&&\mathbb C(8)\\ \hline \end{array} $$

$\mathbb A^2\equiv\mathbb A\oplus\mathbb A$, первый столбец дает значения $p+q$, а первая строка --- значения $p-q$.}

Используя эту таблицу легко построить (вещественные) представления спинорных групп. Так спинорное представление группы $Spin(2n+1)$ принадлежит вещественному типу при $n\equiv 0,3\mod 4$ и кватернионному типу, если $n\equiv 1,2\mod 4$. Полуспинорные представления группы $Spin(2n)$ комплексно сопряжены друг другу при $n\equiv 1\mod 2$, вещественны при $n\equiv 0\mod 4$ и принадлежат кватернионному типу при $n\equiv 2\mod 4$. Эти два представления дуальны друг другу при нечетном $n$ и автодуальны при четном $n$. Аналогично строятся представления спинорных групп в иденфинитных метриках.

[Munin]

Вау. Загрузили чтивом. Спасибо за конспект.

-- 19.09.2012 00:57:01 --

Вспомнил, 16 генераторов алгебры Клиффорда - это же матрицы Дирака и их всевозможные произведения, так?

-- 19.09.2012 01:02:53 --

Так, то есть для комплексных алгебр Клиффорда что знакопеременная метрика, что положительно определённая - одно и то же, они не различаются?

-- 19.09.2012 01:08:31 --

Офигенская табличка, так и не увидел в ней закономерность по строкам.

-- 19.09.2012 01:09:47 --

lek в сообщении #620802 писал(а):

Если $d=2n$, то оно является суммой двух неприводимых неэквивалентных представлений размерности $2^{n-1}$, так называемых полуспинорных или вейлевских представлений с положительной и отрицательной киральностью.

Во, вот это меня больше всего в подробностях интересует, и это я как раз нигде найти не могу.

[Xaositect]

Munin в сообщении #620805 писал(а):

Во, вот это меня больше всего в подробностях интересует, и это я как раз нигде найти не могу.

С алгебраической точки зрения это выглядит так:
Алгебра Клиффорда является супералгеброй, причем четная подалгебра $Cl^0_{k}(\mathbb{C})$ изоморфна $Cl_{k-1}(\mathbb{C})$. Поскольку группа $Spin(k)$ является подгруппой мультипликативной группы $Cl^0_{k}$, каждое представление $Cl^0_{k}$ порождает представление $Spin(k)$. Из того, что $Cl_{2n} \cong \mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$ и $Cl_{2n+1} \cong (\mathbb{C}^{2^n\times 2^n})^2$, следует, что у них одно и два неприводимых представления соответственно, и эти представления переносятся с $Cl^0_{2n+1}\cong Cl_{2n}$ на $Spin(2n + 1)$ и c $Cl^0_{2n}\cong Cl_{2(n-1) + 1}$ на $Spin(2n)$.

[fizeg]

Ну на уровне алгебр (общих для накрывающих) можно увидеть левые и правые так.

Алгебру $so(3,1)$ можно рассматривать как вещественную форму $so(4,\mathbb{C})$ а она (если перейти от бустов и поворотов к их "левым" полусуммам и "правым" полуразностям) может быть представлена в виде$ sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$

В результате можно строить представления $so(3,1)$ из вещественных форм сумм представлений этих двух $sl(2,\mathbb{C})$. Они будут (как это легко понять из построения этого разбиения) различаться знаками в представлении бустов/поворотов (в зависимости от определения) и дадут левый и правый вейлевские спиноры

При переходе к представлениям для групп будет важна топология, но в квантах нужны проективные представления, которые можно отождествить с обычными представлениями универсальной накрывающей. А это значит, что работают хорошие теоремки, связывающие представления односвязной группы с представлениями ее алгебр.

[lek]

Munin в сообщении #620805 писал(а):

Вспомнил, 16 генераторов алгебры Клиффорда - это же матрицы Дирака и их всевозможные произведения, так?

Ага.

Munin в сообщении #620805 писал(а):

Так, то есть для комплексных алгебр Клиффорда что знакопеременная метрика, что положительно определённая - одно и то же, они не различаются?

Конечно. Одной комплексной алгебре соответствуют несколько вещественных форм (вспомните, то же самое имеем место для алгебр Ли).

Munin в сообщении #620805 писал(а):

Офигенская табличка, так и не увидел в ней закономерность по строкам.

Закономерность есть, но она по модулю 8 (так называемая переодичность Ботта для вещественных клиффордовых алгебр). В таблице же всего 8 строк, поэтому эта периодичность не видна...

Munin в сообщении #620805 писал(а):

Во, вот это меня больше всего в подробностях интересует, и это я как раз нигде найти не могу.

Для комплексных алгебр Клиффорда и группы $Spin(n)$ информация выложена здесь. Кратко у Xaositect, подробно у lek (двумя постами выше). Представления вещественных алгебр Клиффорда с иденфинитной метрикой и соответствующих спинорных групп $Spin(p,q)$ легко построить, пользуясь таблицей 1 (см. выше). Например, чтобы построить спинорные представления группы Лоренца $SO(p,1)$ рассуждаем следующим образом.

Группу $SO(p,1)$ двулистно накрывает группа $Spin(p,1)$. Поэтому двузначные представления группы Лоренца совпадают со спинорными представлениями группы $Spin(p,1)$. В свою очередь, всякое спинорное представление группы $Spin(p,1)$ совпадает с представлением алгебры Клиффорда $Cl^0_{p,1}(\mathbb{R})$, в которую эта группа вложена. С другой стороны, имеет место изоморфизм $Cl^0_{p,1}(\mathbb{R})&\simeq Cl_{p,0}(\mathbb{R})$. Поэтому всякое спинорное представление группы Лоренца $SO(p,1)$ является представлением алгебры Клиффорда $Cl_{p,0}(\mathbb{R})$ и наоборот.

Теперь обратимся к таблице 1 и будем считать, что $(p+1)$ - четное число (рассмотрим тот случай, который вас интересует). Находим изоморфизмы:

$$ Cl_{1,0}(\mathbb{R})\simeq\mathbb{R}^2,\quad Cl_{3,0}(\mathbb{R})\simeq\mathbb{C}(2),\quad Cl_{5,0}(\mathbb{R})\simeq\mathbb{H}^2(2),\quad Cl_{7,0}(\mathbb{R})\simeq\mathbb{C}(8),\quad Cl_{9,0}(\mathbb{R})\simeq\mathbb{R}(16). $$

Следовательно,
1) пространством представления группы $SO(1,1)$ является множество всех однокомпонентных вещественных левых и правых спиноров (майорано-вейлевское представление);
2) пространством представления группы $SO(1,3)$ является множество всех двухкомпонентных комплексных левых и правых спиноров (вейлевское представление);
3) пространством представления группы $SO(1,5)$ является множество всех двухкомпонентных кватернионных левых и правых спиноров (вейлевское представление);
4) пространством представления группы $SO(1,7)$ является множество всех 8-и компонентных комплексных левых и правых спиноров (вейлевское представление);
5) пространством представления группы $SO(1,9)$ является множество всех 16-и компонентных вещественных левых и правых спиноров (майорано-вейлевское представление).

И так далее...

[Munin]

Получить слишком много ответов может быть страшнее, чем не получить ответов вообще... Господа, всем спасибо, но я отложу до вечера.

Пока такой вопрос: вы говорите, что представления $\mathrm{Spin}(p,1)$ и $\mathrm{C\ell}^0_{p,1}(\mathbb{R})$ соответствуют один-в-один, так? Но сама $\mathrm{Spin}(p,1)$ вложена в $\mathrm{C\ell}^0_{p,1}(\mathbb{R}),$ а не изоморфна ей, так я не понимаю, как при этом представления могут быть один-в-один. Или я вас неправильно понял.

Ещё хотелось бы алгебры с группами не путать. Алгебра Клиффорда $\mathrm{C\ell}^0_{p,1}(\mathbb{R})$ - это группа Ли или алгебра Ли? Если алгебра, то как в неё может быть вложена группа $\mathrm{Spin}(p,1)$? Кроме того, насколько я знаю, алгебры Ли и группы Ли не соответствуют один-в-один, а их представления? Наверное, тоже не должны.