Гипотеза Римана

[mihaild]

Skipper в сообщении #1343225 писал(а):

И что, множество возможных значений функии - заполнит всю плоскость? Т.е. для каждоого комплексного числа, которое выводит функция, найдётся определенный вещественный аргумент t ?

Для какой функции?
Существует (даже непрерывная) функция $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, такая что для любого вещественного $r$ и комплексного $z$ существует вещественное $t$, такое что $f(r + it) = z$. Аналитической такой функции не существует.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1343230 писал(а):

Skipper в сообщении #1343225 писал(а):

И что, множество возможных значений функии - заполнит всю плоскость? Т.е. для каждоого комплексного числа, которое выводит функция, найдётся определенный вещественный аргумент t ?

Для какой функции?
Существует (даже непрерывная) функция $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, такая что для любого вещественного $r$ и комплексного $z$ существует вещественное $t$, такое что $f(r + it) = z$.

Интересно бы пример такой функции увидеть.

Цитата:

Аналитической такой функции не существует.

Почему?

mihaild в сообщении #1343013 писал(а):

Рекомендую Шабат, "Введение в комплексный анализ".

Почитал, по крайней мере начало книги - понятно.
Есть правда, минус - задачи в книге приводятся, а решений и ответов к ним (хотя бы где нибудь в конце книги) - нет. Сам то автор прорешал эти задачи, если написал их в книге? Нехорошо, для закрепления материала придётся решать эти задачи, и если какую то решить не смогу, то как её решать, так и останется пробелом.
А вообще первое впечатление - хорошее, много картинок для лучшего понимания.

-- Чт окт 04, 2018 10:17:46 --

mihaild в сообщении #1343217 писал(а):

в свободном полете

Интересно, какие конкретные причины не позволяют уже 160 лет найти доказательство гипотезы Римана?
Говоря простыми словами. Т.е. где камень преткновения?
Я думаю, что есть некая причина, почему ТФКП здесь бессильна, возможно, надо чтобы гипотезой занимался специалист из смежной области, типа функционального анализа, теории меры и т.д. И "свободный полёт" тоже не помешает.

-- Чт окт 04, 2018 10:21:59 --

mihaild в сообщении #1343217 писал(а):

начните с Рудина, "Основы математического анализа".

Рудин - написал самую простую для понимая книгу по анализу, или она лучше других по каким то другим причинам?
Спасибо.

-- Чт окт 04, 2018 10:33:43 --

Я хочу позже прочитать и понять книгу Титчмарша "Теория функций", которая несмотря на такое короткое название, на самом деле, по сути, является книгой о теории функций комплексного переменного. Видимо, книга Шабата, "Введение в комплексный анализ" - более простая, и если сначала прочитать её, тогда и книга Титчмарша будет понятной.
И этих двух книг будет достаточно, чтобы полностью хорошо понимать комплексный анализ?
На том уровне чтобы дальше к примеру, понять и 1) теорему ТРПЧ Адамара, и 2) доказательство Харди 1914 г. о том, что на критической прямой дзета функции лежит бесконечное количество нулей. А так - посмотрел эти доказательства - вообще непонятно.

Для начала - хочу чётко понять эти две теоремы. Что до этого нужно изучить, чтобы и на лишнее много время не тратить.. Может и книгу Шабата полностью читать необязательно. В конце там у него "Мероморфные функции и проблемы Кузена" и т.п.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1343573 писал(а):

Интересно бы пример такой функции увидеть.

Кривая Пеано.

Skipper в сообщении #1343573 писал(а):

Почему?

Самостоятельные попытки решения? (подсказка: производная аналитической функции на любом отрезке ограничена по модулю)

Skipper в сообщении #1343573 писал(а):

и если какую то решить не смогу, то как её решать, так и останется пробелом

А вот с этим как раз вполне можно приходить на форум. Создаете тему, приводите условия и свои попытки решения, и вам почти наверняка помогут.

Skipper в сообщении #1343573 писал(а):

Т.е. где камень преткновения?

Неизвестно. Возможно, и правда нужны какие-то новые методы. Скорее всего вообще не существующие сейчас - про гипотезу Римана знают специалисты из самых разных областей.
А возможно человечество просто 150 лет не замечает какого-то элементарного рассуждения, такие случаи тоже были (хотя и с менее известными проблемами).

Skipper в сообщении #1343573 писал(а):

Рудин - написал самую простую для понимая книгу по анализу, или она лучше других по каким то другим причинам?

Это вкусовщина. Лично мне эта книга очень помогла на первом курсе. В ней мало наглядности и рукомашества, но зато всё расписано строго, и гораздо меньше рассуждений на пальцах, чем в остальных известных мне книгах. В данном случае я ее посоветовал именно потому что у Рудина хорошие образцы для подражания в смысле строгости. Рассуждения типа "пересечение плоскости с графиком - это некоторая кривая линия" можно проводить только после того, как научитесь их формализовывать:)

Skipper в сообщении #1343573 писал(а):

И этих двух книг будет достаточно, чтобы полностью хорошо понимать комплексный анализ?

Про Титчмарша ничего не знаю. Шабата достаточно для ТЧ в объеме основного курса мехмата (довольно небольшой, откровенно говоря).
Про конкретные теоремы лучше спросить у кого-то знающего ТЧ в объеме больше семестра:) (shwedka?)

[Skipper]

Red_Herring в сообщении #1341417 писал(а):

Я думаю, если Международный математический конгресс (ICM ) признает что доказательство верное Это как? Провести голосование участников? Только заметьте, подавляющее большинство их никто не приглашал--вот вы, к примеру, могли бы зарегистрироваться, внести плату за участие, прилететь и вас бы внесли в список, выдали бы бейджик с вашей фамилией и все голосуйте (если б голосование проводилось).

Провести не голосование, а проверку - профессорами, и докторами наук, и с условием, что хотя бы ~ 20 человек в своей области проверили доказательство и ошибок не нашли - можно признать что доказательство верное.
Один-два человека могут ошибиться, но если 20 математиков добросовестно проверят доказательство, то далее уже вероятность что оно неверное, скорее всего, стремится к нулю. Можно тогда и официально, на основании этих данных, признать что проблема доказана.

Если же кто-то находит ошибку, то её изучают другие (может он сам ошибается). Короче, было бы желание. Чем больше человек задействовать тем более вероятно, правильно признают доказательство, или же найдут ошибку.
Ну а если доказательство очень трудное (как у Мотидзуки на 500 страниц) - значит, может оно и верное, но не будет признано еще 50 лет.

[Red_Herring]

Skipper в сообщении #1343612 писал(а):

Провести не голосование, а проверку - профессорами, и докторами наук, и с условием, что хотя бы ~ 20 человек в своей области проверили доказательство и ошибок не нашли - можно признать что доказательство верное.

Вот сейчас никакого ICM нет. Был он, да закончился. Следующий через 4 года будет. И будет Конгресс, и приедет туда куча народу (в СПб), заплатив нехилые бабки за регистрацию и за гостиницу. И вот вместо того, чтобы посещать доклады и общаться, и гулять по городу, 20 профессоров-докторов будут проверять работу. Вы их как заставить собрались?

А сколько профессоров-докторов нужно, чтобы убедить вас, что вы пытаетесь писать о вещах, в которых понимаете гораздо меньше, чем ничего?

[Skipper]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1343597 писал(а):

Это вкусовщина. Лично мне эта книга очень помогла на первом курсе.

Я читал книгу Фихтенгольца "Основы математического анализа", первые 350 страниц 1-го тома (всё до главы "Определённый интеграл" включительно).
Абсолютно всё там было понятно.
А задачи решал по книге Демидовича.

Но это было давно и многое подзабылось. Правда не всё - недавно двоюродная племянница попросила прорешать ей к экзамену задачи по ВМ (а там и интегралы и дифференциальные уравнения были, и исследования рядов на сходимость). Всё я ей прорешал, с "разжёвыванием" на пальцах, чтобы поняла. Но вряд ли она захотела понимать - просто списала мои решения и так сдала экзамен.

Вот через 3 месяца у неё будет новая сессия после семестра, и я предупрежаю, что если не будет изучать чтобы понять, то может не сдать экзамен даже если спишет.
Т.к. преподаватель может понять что списала - если будет задавать доп. вопросы, а она ничего не сможет ответить.

-- Пт окт 05, 2018 04:44:36 --

Red_Herring в сообщении #1343617 писал(а):

20 профессоров-докторов будут проверять работу.

1) необязательно это делать во время конгресса.
2) Математику, увлекающимся своим делом, будет самому интересно проверить доказательство, разве не так? Тогда и заставлять никого не надо будет.

Я например,хоть и не математик (точнее - математик уровня студента 2-го курса универа), но вот , мечтаю понять многие - и доказательства Харди о нулях, и Адамара и Пуссена - ТРПЧ, и доказательства Виноградова - слабой гипотезы Гольдбаха.
И таких интересующихся, должно быть достаточно; если появится новое докательство, то его возможно проверят. И к очередному конгрессу, уже будут достаточные данные - что новое в математике доказано.

А рассуждения и понятия "официально признали" доказательство или не признали - я считаю, нужны для СМИ, и широких масс населения.

-- Пт окт 05, 2018 05:10:44 --

Dan B-Yallay в сообщении #1342013 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1342012 писал(а):

Безусловно. Однако вполне допустима такая условная

Теорема Если функция, обладающая такими-то свойствами, существует, то Гипотеза Римана верна.

Да, такая формулировка возможна, и тогда это не "доказательство Гипотезы Римана".

Ясно короче, ничего нового не удалось доказать.

[Skipper]

Теренс Тао дал некоторые комментарии, о проблемах доказательства ГР. Не знаю как точно на русский перевести, но в общем, идея понята.

Given the situation, I believe it would not be particularly constructive or appropriate for me to comment directly on this recent announcement of Atiyah. However, regarding the more general question of evaluating proposed attacks on RH (or GRH), I can refer readers to the recent talk of Peter Sarnak (slides available here) entitled “Commentary and comparisons of some approaches to GRH”. A sample quote: “99% of the ‘proofs’ of RH that are submitted to the Annals … can be rejected on the basis that they only use the functional equation [amongst the known properties of \zeta, excluding basic properties such as analytic continuation and growth bounds]”. The reason for this is (as has been known since the work of Davenport and Heilbronn) that there are many examples of zeta-like functions (e.g., linear combinations of L-functions) which enjoy a functional equation and similar analyticity and growth properties to zeta, but which have zeroes off of the critical line. Thus, any proof of RH must somehow use a property of zeta which has no usable analogue for the Davenport-Heilbronn examples.

Another “barrier” to proofs of RH that was mentioned in Sarnak’s talk is also worth stating explicitly here. Many analysis-based attacks on RH would, if they were successful, not only establish that all the non-trivial zeroes lie on the critical line, but would also force them to be simple. This is because analytic methods tend to be robust with respect to perturbations, and one can infinitesimally perturb a meromorphic function with a repeated zero on the critical line to have zeroes off the critical line (cf. the “dynamics of zeroes” discussions in this Polymath15 project). However, while the zeroes of zeta are believed to be simple, there are many examples of L-functions with a repeated zero at 1/2 (particularly if one believes in BSD and related conjectures). So any proof of RH must either fail to generalise to L-functions, or be non-robust with respect to infinitesimal perturbations of the zeta function. (For instance, in Deligne’s proof of the RH for function fields, the main way this barrier is evaded is through the use of the tensor power trick, which is not robust with respect to infinitesimal perturbations.

[Red_Herring]

Skipper в сообщении #1343739 писал(а):

Теренс Тао дал некоторые комментарии, о проблемах доказательства ГР.

Естественно, на своем блоге, но "спрятал" в виде комментария (и в отличие от копий здесь есть реальная ссылка на слайды П. Сарнака)
https://terrytao.wordpress.com/2018/09/06/polymath15-tenth-thread-numerics-update/#comment-505250

[Евгений Машеров]

Dan B-Yallay в сообщении #1173479 писал(а):

Вы, этаааа.... как появится время, сначала найдите "Арифметику" Диофанта спец-издания, c широченными полями. Чтоб когда будете писать доказательство, всё обязательно вместилось.

И пошейте нобелевскийабелевский фрак с очень длинными рукавами. Чтобы на спине удобнее завязывать...

[Skipper]

А как это сообщение Теренса Тао можно наиболее точно на русский перевести? Я недопонял, что он имел насчёт простых и кратных нулей дзета-функции Римана.
Если функция имеет кратные нули, то скорее всего, гипотеза может оказаться неверной ?

Напрашивается некий "аналог", как, функция
$f(x) = x^3 + px + q $

может иметь
1) все три действительных корня,
2) может иметь один действительный - простой корень, и еще два - которые по сути один - кратнй (2) действительный корень,
3) если функцию во 2-м примере бесконечно мало "сдвинуть" в нужную сторону по слагаемому $q$, то она уже будет иметь по прежнему один действительный корень, а остальные два - станут комплексными корнями.

Мнимая часть нулей дзета-функции Римана лежит на действительной прямой некой другой функции (эквивалентной). И ГР верна тогда и только тогда когда, все нули этой эквивалентной функции - действительны.

[alcoholist]

Лазая по архиву наткнулся на статью. На другом ресурсе работа того же автора собрала больше 6000 просмотров. Я, конечно, не специалист в этой области, но что-то не слышал никакого упоминания. И гугл молчит.

[Soul Friend]

alcoholist в сообщении #1365862 писал(а):

наткнулся на статью
.

Из этой статьи понял только что они выразили $b$, из $s=0.5+bi$ , так: $b=\frac{2P \pi i}{\ln P}$. Если это так для всех нетривиальных нулей, то это действительно продвижение в математике, а если будут встречатся нули отличные от такого представления $b$ ?
Доказательство на 12-ти страницах, тоже хотел бы узнать от ЗУ какого качества доказательство ГР?

[Soul Friend]

Если довериться каналу Numberphile:
https://youtu.be/d6c6uIyieoo?t=14m40s
то вот несколько значений $s$ для нетривиальных нулей:

$$0.5+14.134725i$$

$$0.5+21.022040i$$

$$0.5+25.010858i$$

что не соответствует, заявленным в статье, значениям.

Upd: Где можно найти список значений $s$ для нетривиальных нулей?

[Aritaborian]

Soul Friend в сообщении #1366292 писал(а):

Где можно найти список значений $s$ для нетривиальных нулей?

В Wolfram Language есть функция ZetaZero[n]. Устанавливать Mathematica необязательно, можете воспользоваться их облачным сервисом. Не гарантирую, правда, что на бесплатном тарифном плане всё будет считаться быстро, но уж как есть. Хотите быстро, устанавливайте Математику себе на комп.
Хотя, честно сказать, вопрос странный. Я вот абсолютно заранее уверен (потому что доподлинно знаю, что этих нулей вычислен уже как минимум триллион и это знание не запатентовано), что где-то в Сети в открытом доступе лежат файлы со списком нулей, найти которые за две минуты с помощью, к примеру, гуглопоиска проблемы не составляет. Но вы почему-то спрашиваете на форуме.
UPD.Чёрт возьми, я даже не поленился. Открыл google.com, вбил в строку поиска «list of zeta zeros» и первой же ссылкой получил сайт под названием LMFDB - The L-functions and Modular Forms Database. Содержащий, в том числе, и список нулей дзета-функции.

[lek]

alcoholist в сообщении #1365862 писал(а):

Лазая по архиву наткнулся на статью ... гугл молчит.

Небрежно написанная статья, содержащая ряд весьма спорных утверждений и даже ошибок, имхо. Например, утверждение после фразы "Let b be a fixed number ..." (8-я строка сверху на стр. 7) верно только для $b=0$, а формула (27) на той же странице не является следствием (26) и требует разъяснений.

Soul Friend в сообщении #1366292 писал(а):

$b=\frac{2P \pi i}{\ln P}$ ... что не соответствует, заявленным в статье, значениям.

Откуда вы это взяли? В статье используется совсем иное (причем вещественное) выражение $b=2\pi n/\ln q$ (см. формулу (58)), найденное ранее Conrey and Ghosh’s.