2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ... 42  След.
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение03.05.2019, 14:36 


23/02/12
2012
Skipper в сообщении #1390586 писал(а):
а уже май 2019, за год ничего и не изменилось? За год ничего нового не насчитали?
Ничего удивительного, для этого нужны новые идеи, а их пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.05.2019, 18:18 


07/05/19
34
Интересно, а кто-нибудь задавал вопрос, почему дзета-функция Римана имеет нетривиальные нули?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.05.2019, 19:54 


07/05/19
34
Skipper в сообщении #1343201 писал(а):
А по той же причине, функция дзета от $(0.6  + it) $ - не содержит нулей, в отличии от функции дзета от $(0.5  + it) $ .
У неё нет на это каких-то причин, попадать в точку $0$ .

Очень правильный ход мысли, именно нет причин и искать необходимо именно причины, почему при $\sigma \ne 1/2$ дзета-функция Римана не имеет нетривиальных нулей.
Этому есть достаточно простое объяснение, выходящее за рамки аналитической теории чисел и комплексного анализа.
Харди и Литлвуд в своей работе The Zeros of Riemann’s Zeta Function on the Critical Line зарезервировали доказательство леммы 14 ("approximate functional equation"): $$\zeta(s)=\sum_{n\le x}{\frac{1}{n^s}}+\chi(s)\sum_{n\le y}{\frac{1}{n^{1-s}}}+\mathcal{O}(x^{-\sigma})+\mathcal{O}(|t|^{1/2-\sigma}y^{\sigma-1}); $$
$$0<\sigma <1; 2\pi xy=|t| $$ Зигель опубликовал аналогичное уравнение, которое вывел Риман: $$\zeta(s)=\sum_{l=1}^{m}{l^{-s}}+\frac{(2\pi)^s}{2\Gamma(s)\cos(\large\frac{\pi s}{2})}\sum_{l=1}^{m}{l^{s-1}}+(-1)^{m-1}\frac{(2\pi) ^{\large\frac{s+1}{2}}}{\Gamma(s)}t^{\large\frac{s-1}{2}}e^{\large \frac{\pi is}{2}-\large \frac{ti}{2}-\large \frac{\pi i}{8}}\mathcal{S};$$ $$\mathcal{S}=\sum_{0\le 2r\le k\le n-1}{\frac{2^{-k}i^{r-k}k!}{r!(k-2r)!}a_kF^{(k-2r)}(\delta)}+\mathcal{O}\Big(\big(\frac{3n}{t}\big)^{\frac{n}{6}}\Big);$$
$$n\le 2\cdot 10^{-8}t, m=\Big[\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\Big], \delta=\sqrt{t}-(m+\frac{1}{2})\sqrt{2\pi}, F(u) =\frac{\cos{(u^2+\frac{3\pi}{8})}}{\cos{(\sqrt{2\pi}u)}}$$
Легко заметить, что у Римана это уравнение обладает симметрией, т.к. обе суммы содержат $m$ слагаемых.
Теперь выйдем за рамки методов аналитической теории чисел и представим каждое слагаемое вектором, для этого достаточно записать комлексное число в показательной или тригонометрической форме.
(при желании могу привести формулы, они очень громоздкие, поэтому я их пока не привожу)
В результате стенет видно, что при $\sigma = 1/2$ вектора образуют вместе с остаточным членом симметричную систему (можно показать, что $|\chi(s)|=1$ и остаточный член перпендикулярен оси симметрии), а при $\sigma \ne 1/2$ эти же вектора образуют конформную симметричную систему, т.к. $|\chi(s)| \ne 1$ и нарушается симметрия отрезков, но сохраняется симметрия углов, далее можно показать, что даже не смотря на незначительное отклонение остаточного члена от нормали к оси симметрии, эта система векторов не может образовывать многоугольник, а как известно сумма векторов равна нулю только если вектора образуют замкнутую ломанную линию, т.е. многоугольник.
В то время как при $\sigma = 1/2$ эти вектора могут образовывать многоугольник причем симметричный со всеми вытекающими последствиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.05.2019, 15:03 


23/02/12
2012
Лемма была доказана Харди и Литтлвудом в общем случае. Вы берёте частный и говорите, что этим методом может быть ее можно доказать в данном частном случае. Что Вы хотели этим сказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.05.2019, 17:33 


07/05/19
34
vicvolf в сообщении #1391685 писал(а):
Лемма была доказана Харди и Литтлвудом в общем случае. Вы берёте частный и говорите, что этим методом может быть ее можно доказать в данном частном случае. Что Вы хотели этим сказать?

Не совсем понимаю про какой частный случай идет речь про $\sigma = 1/2$ или про $x=y$? Теорема доказана для диапазона $0<\sigma <1$ и для $x \ge y$ (у Титчмарша теорема 4.15, издание на английском языке 1988), кроме того, там же теорема 4.16 доказательство формулы Римана для $m=\Big[\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\Big]$.
Ничего доказывать не надо, теорема доказана для критической полосы $0<\sigma <1$, я предлагаю только рассмотреть вектора, которые соответствуют слагаемым этого уравнения, и выполнить анализ этой системы векторов, которые дадут ноль только в случае многоугольника, т.е. замкнутой ломаной линии.
Мне кажется, логично использовать это свойство векторов, чтобы понять, почему дзета-функция Римана имеет нули (ровно как и не имеет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.05.2019, 20:56 


07/05/19
34
О, да, я понял, когда посмотрел свои записи, конечно, Вы имели в виду, что промежутков $[2\pi m^2;2\pi (m+1)^2)$ бесконечное число, но можно показать, что на каждом из них условие образования многоугольника при $\sigma \ne 1/2$ не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.05.2019, 22:03 


23/02/12
2012
kkapitonets в сообщении #1391792 писал(а):
О, да, я понял, когда посмотрел свои записи, конечно, Вы имели в виду, что промежутков $[2\pi m^2;2\pi (m+1)^2)$ бесконечное число, но можно показать, что на каждом из них условие образования многоугольника при $\sigma \ne 1/2$ не выполняется.
Идею Вашего доказательства ГР я понял. Однако идеи не достаточно. Обычно ошибки в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение27.05.2019, 05:53 


26/12/18
31
какой будет оценка следующей переводной статьи?
https://habr.com/ru/post/452964/

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение27.05.2019, 07:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2487
СПб
Sycamore в сообщении #1395576 писал(а):
какой будет оценка

Научно-популярная статья. Ряд опечаток вызовет недоумение. Тут и правда, Дербшира лучше прочесть:))

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение27.05.2019, 10:15 


07/05/19
34
Пожалуй, самое главное в этой статье:

"Посвящается памяти Джона Форбса Нэша-младшего"

PS в WiKi есть заметка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение27.05.2019, 17:13 


26/12/18
31
Дербшира читал давным-давно, далеко до перевода на русском и безусловно многое забыл :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение28.05.2019, 15:36 


26/12/18
31
что будет с аппроксимацией плотности простых, если нули дзеты начнут встревать в сторону от вертикали 1/2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.05.2019, 14:21 


23/02/12
2012
Sycamore в сообщении #1395928 писал(а):
что будет с аппроксимацией плотности простых, если нули дзеты начнут встревать в сторону от вертикали 1/2?
Гипотеза Римана (ГР) эквивалентна формулировке об асимптотической оценке отклонения количества простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)$ от интегрального логарифма $Li(x)$: $\pi(x)-Li(x)=O(x^{1/2} logx)$. Для плотности простых чисел $p(x)=\pi(x)/x$ данная оценка запишется в виде: $p(x)-Li(x)/x=O(x^{-1/2}logx)$. Так вот, если ГР не будет выполняться, то оценка данного отклонения изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.05.2019, 16:16 


26/12/18
31
... может, в лучшую сторону? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.05.2019, 16:32 


13/11/15
27
Если не ошибаюсь, из отсутствия нулей с $\sigma>c$ следует оценка $\pi(x)-Li(x)=O(x^{c+\varepsilon})$ для любого $\varepsilon>0$. При этом из наличия нуля с $\sigma=c$ вытекает, что оценка $\pi(x)-Li(x)=O(x^c)$ неверна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 630 ]  На страницу Пред.  1 ... 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ... 42  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group