Литтлвуд доказал ,
что разность функции
и интегрального логарифма - меняет знак бесконечное количество раз.
(в зависимости от растущего параметра).
Но первое число , больше которого начинаются т.н. "литтвудовы нарушения", очень большое (изначально оно называлось
"число Скьюза", потом было уменьшено). Т.е. до доказательства Литтвуда, некоторые считали, что т.к. неравенство
выполняется для всех известных чисел, то возможно, так оно всегда и происходит (для всех чисел).
Некоторые приводят этот аргумент, как факт в пользу того что и ГР может быть неверна.
Если рассмотреть дзета-функцию, как функцию от
, где
- действительная переменная,
то можно видеть её график. Функция принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение.
График такой функции был бы - некая 1-мерная кривая в 3-мерном пространстве. Где 2 оси - выделены для комплексного значения функции,
и 1 ось - для действительного аргумента функции. На рисунке, можно представить, что мы наблюдаем график, с 3-й осью
направленной прямо
по лучу нашего зрения. Реально это некая спираль в пространстве, типа штопора.
Эта проекция никогда не заполнит собой всю плоскость, т.к. площадь всех этих линий - нулевая (т.е. "толщина" равна нулю).
По какой то причине, этот график пройдёт бесконечное количество раз - через 0 (это доказал Харди в 1914 году),
но если взять функцию с действительной частью не равной
, тогда график вообще не попадёт никогда в 0.
И уже проверено более
10 триллионов первых нулей.
Так что здесь более веские причины думать, что ГР всё таки скорее верна, чем были причины Литтлвуду полагать что
не меняет знак.
Если же вы рассмотрим функцию, которая наоборот, принимает комплексный аргумент, но возвращает - действительное значение
тогда графиком была бы некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве.
Рассмотрим 2 функции -
1) функция принимает действительный аргумент, возвращает комплексное число,
2) функция принимает комплексный аргумент, возвращает действительное число,
Выходит что,
эти функции не имеют своей обратной функции ? (следует из суждения выше, что графики разной "мощности" как бы ) -
в первом случае это кривая 1-мерная линия в пространстве, а во 2-м случае - поверхность 2-мерная в 3-мерном пространстве.
Возникает вопрос, как можно наглядно представить себе действительный интеграл от этих функций и связан ли он с комплексным?
Во 2-м случае это понятно - некий объем заключенный под этой поверхностью , т.е. между поверхностью и нулевой плоскостью .
А как можно наглядно представить себе что такое интеграл и как он выглядит для 1-й функции -
которая - принимает действительный аргумент, и возвращает комплексное число ?
Это могло бы помочь для получения идей, для нахождения доказательства ГР.
Я видел в одной лекции посвященной ГР, такое определение дзета-функции через несобственный интеграл -
Здесь пределы инегрирования, для
- принимают значения от
до
,
значит
-
действительное, а не комплексное (не смысла применять форулировку
для комплексных,
т.е.
здесь лишний был бы) , но затем возводится в
комлексную степень.
а потому значит, для нахождения чему равен интеграл, мы и должны рассматривать функции от действительного
аргумента, но которые возвращают комплексное число. (об этих функциях я выше и писал).
И как можно наглядно себе геометрически себе представить, что это за интеграл такой, как выглядит?
(аналогично, как для обычного интеграла от функций которые и принимают и возвращают действительное значение -
рисуют площадь под криволинейной трапецией ) .
Спасибо.
PS И надеюсь, я правильно понял, именно с этим одна из трудностей, почему не удаётся доказать ГР?
И какие еще есть причины, трудности нахождения этого доказательства?
Чтобы доказать, главное понять - что именно нам мешает , т.е. найти "камень преткновения".
-- Пн окт 01, 2018 14:43:55 --Коротко - главный вопрос -
как можно представить себе интеграл от функции которая принимает
действительный аргумент, а возвращает
комплексное значение ?
Геометрическим (каким-либо) образом. Тогда будет понятно, в каких случаях этот интеграл обращается в
.
И второе - есть ли возможность, свести этот интеграл к некоторому эквивалентному интегралу, от фунции которая
возвращает тоже действительное значение.