Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[shwedka]

evgeniy в сообщении #372380 писал(а):

Это решение у меня записано, повторяю
$x_l(t)=x_l^0+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^n x_l^0}{dt}\frac{(t-t_0)^n}{n!}$(1)

Нет, вы упорно не хотите дать определение. Можете написать такое?

Решением УП, использующим решение уравнения характеристик называется функция
$\Phi(x)$ такая, что поверхности уровня$\Phi(x)=C$ удовлетворяют УП, а также.....

Напишите четко!!!

evgeniy в сообщении #372380 писал(а):

Нужно доказать формулу $t-t_0=g(x_1,...,x_N)$.

Что значит 'нужно?' Кому и для чего нужно? Кто такой $g(x_1,...,x_N)$?

Цитата:

Это решение у меня записано, повторяю
$x_l(t)=x_l^0+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^n x_l^0}{dt}\frac{(t-t_0)^n}{n!}$(1)

это решение ЧЕГО? УП или какой-то системы ОУ? Какой-то ряд, который неизвестно сходится ли.

[evgeniy]

Решением уравнения Пфаффа и уравнения характеристик является функция $U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Которая построена в ходе доказательства теоремы, о существовании решения уравнения Пфаффа и уравнения характеристик. При этом эта функция имеет вид ряда и удовлетворяет уравнению Пфаффа и использует решение уравнения характеристик.
Вы этого от меня хотели?

[shwedka]

Нет, попробуйте продолжить мой текст.


Tак все же. Является то, что Вы 'построили', решением УП или нет? По-прямому ответьте, да или нет.
Если нет, то разговор пустой. Если да, то считаете Вы необходимое условие разрешимости выполненным, или нет.

[evgeniy]

Решение уравнение Пфаффа с учетом уравнений характеристик построено без дополнительных условий, таких как в трехмерном случае ротор проекций градиента равен нулю. Грубо говоря уравнения характеристик определяют пути интегрирования и поэтому получается однозначное решение, вместо многозначного, в отсутствии характеристик. Повторяю, почитайте построение решения.

[shwedka]

Ответа не получила.Определения нет как нет!

Повторяю
Нет, попробуйте продолжить мой текст.

Решением УП, использующим решение уравнения характеристик называется функция
$\Phi(x)$ такая, что поверхности уровня$\Phi(x)=C$ удовлетворяют УП, а также.....
Tак все же. Является то, что Вы 'построили', решением УП или нет? По-прямому ответьте, да или нет.
Если нет, то разговор пустой. Если да, то считаете Вы необходимое условие разрешимости выполненным, или нет.

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #372430 писал(а):

Решением уравнения Пфаффа и уравнения характеристик является функция $U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Которая построена в ходе доказательства теоремы, о существовании решения уравнения Пфаффа и уравнения характеристик. При этом эта функция имеет вид ряда и удовлетворяет уравнению Пфаффа и использует решение уравнения характеристик.

Это мой ответ, и он уже был дан. Чем он Вас не удовлетворяет. Показано какая функция является решением, и в чем состоит решение - при подстановке этой функции в уравнение Пфаффа получается тождество. При построении этой функции используется уравнение характеристик. Что еще требуется и чего не хватает. Подробнее описать эту функцию невозможно, ее описание смотрите в построении алгоритма. Я Вас не понимаю. Обычно ВЫ очень логичны.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #372506 писал(а):

при подстановке этой функции в уравнение Пфаффа получается тождество.

Вот этого я от Вас дожидалась!
Не так важно, как Вы эту функцию строили. важно, что это решение!
Теперь об условиях. Утверждаете ли Вы, что Вы, как бы то ни было, с помощью характеристик или по-другому, построили решение УП без выполнения
стандартных необходимых условий локальной разрешимости?

[evgeniy]

Да утверждаю.
При доказательстве того, что это решение уравнения Пфаффа, обращающего его в тождество, существенно используется уравнение характеристики.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #372517 писал(а):

Да утверждаю.
При доказательстве того, что это решение уравнения Пфаффа, обращающего его в тождество, существенно используется уравнение характеристики.

Да неважно что там используется! Тем самым, Вы утверждаете, что классические теоремы о необходимых условиях локальной разрешимости неверны? То есть теормы говорят, что решения НЕТ, никакого,
а Вы говорите, что если в построении использовать характеристики, то решение все же есть? То есть, козлотуров нет, а желтые все же есть?

[evgeniy]

Если условия теоремы о глобальном решении не выполнены, то удовлетворяется решение вдоль характеристик, определяемое по формуле
$U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$(1)
причем это решение построено с использованием характеристик.
ВЫполняется
$dU=\sum_{l=1}^N A_l(x_1,...,x_N)dx_l=0$
При выполнении уравнения характеристик, выполняется (1), причем (1) удовлетворяет условию $A_l(x_1,...,x_N)=\frac{\partial U(x_1,...,x_N)}{\partial x_l}$(2) причем это равенство (2) доказано с использованием характеристик.
Когда же условия теоремы о глобальном решении выполнено, получаем, связь
$x_l^0=x_l^0(x_1,...,x_N),l=1,...,N$ причем эта зависимость зависит от значения характеристик. В результате использования этой зависимости и в случае существования глобального решения получаем глобальное решение задачи.
Где здесь противоречия?
Я не утверждаю, что классические теоремы не верны. Говорю, что с использованием дополнительной информации, уравнения характеристик, можно построить другое решение, причем почти всегда. НЕобходима сходимость полученных рядов.
Решения нет существующего всегда, если не использовать дополнительной информации.
Недаром решение в общем случае отличается от глобального. И при других уравнениях характеристик, решение будет другим. Это совершенно другое решение уравнения Пфаффа, использующее уравнения характеристик.

-- Вт ноя 09, 2010 18:24:13 --

Если в теореме добавить какое-либо условие, изменится ли теорема. МНе кажется, что добавка условия в корне меняет теорему. Пример пока привести не могу, но подумаю.

[evgeniy]

Разве изменение определения скалярного произведения в Гильбертовом пространстве не меняет определение этого пространства (пространство непрерывных функций, пространство обобщенных функций и т.д.). Это пример, когда изменение условий определения, приводит к изменению свойств решений. Аналогично и в теоремах.

[CowboyHugges]

evgeniy, ничего с теоремами не аналогично. Если в какой-либо теореме достаточно чтобы пространство было гильбертовым (например в теореме Рисса), то хоть какое скалярное произведение не задай теорема будет верна, сможете привести скалярное произведение чтобы теорема Рисса не выполнялась?

Тоже и у вас, единственным случаем когда ваши рассуждения не заведомо ошибочны, если ваше "решение вдоль характеристик" не является классическим. Поэтому от вас и просили четкого определения.

ЗЫ: Кстати не затруднит ли вас дать формулу скалярного произведения в пространстве непрерывных и особливо в пространстве обобщенных функций, очень любопытно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #372798 писал(а):

Я не утверждаю, что классические теоремы не верны. Говорю, что с использованием дополнительной информации, уравнения характеристик, можно построить другое решение, причем почти всегда.

Приходится повторять, как для совсем непонимающего.

Не нужно аналогий. Они не к месту, если нет глубокого понимания.

Теорема о необходимости условий Фробениуса для локальной разрешимости абсолютна. В том смысле, что если условия Фробениуса нарушены. То есть решения нет. Никакого. Совсем никакого. Построенного с помощью характеристик, топора с пилой, гильбертова пространства или черта лысого. НИКАКОГО!!! Нет, никогда не было и не будет. Таковы все математические теоремы о необходимых условиях. До одиной.

Может быть, у Вас другое понятие решения. Я мучительно старалась из Вас Ваше определение решения выдавить. Наконец, получила. Цитирую.

evgeniy в сообщении #372506 писал(а):

при подстановке этой функции в уравнение Пфаффа получается тождество

Вы от этого отказываетесь?

Давайте я напишу, как я понимаю определение решения.
Решенем уравнения Пфаффа $\omega=\sum A_k(x)dx_k=0$
называется любая функция $U(x)$ такая, что на ее поверхностях уровня
$U(x)=c$ форма $\omega$ равна нулю.

Еще раз спрашиваю, что ВЫ называете решением.
И теперь я не приму ответ
сообщении #372506"]при подстановке этой функции в уравнение Пфаффа получается тождество[/quote]
В уравнение Пфаффа никакая функция $U(x)$ не входит. Не подставить!! Вот поверхности уровня, да, годятся. Так что придется писать что-то поточнее.
И поймите, наконец, что если Вы станете к правильному определению добавлять Ваши любимые слова
''и построенная с помощью характеристик'',
то такое дополнение НЕ УВЕЛИЧИВАЕТ множество решений, а его УМЕНЬШАЕТ! То есть новых функций, которые можно назвать решением, оно не дсобавляет. Как их не было, так и не будет.

Я подозреваю, что у Вас случилось. Вы строите функцию в виде формального ряда. Вот, поставляете в уравнение, приравниваете коэффициенты, и один за другим вычисляете.
Попробовали с коэффициентами при членах первого порядка-- получилось, ура. Теперь, с коэффициентами при членах второго порядка. Писать много, лень, похоже, что получается. Ура, про остальное-- аналогично.
А, оказывается, для членов второго порядка уравнений получится больше, чем коэффициентов. Переопределенная система. Ну, не заметили Вы этого. А переопределенная система, вообще говоря, неразрешима. Как раз условия Фробениуса обеспечивает ее разрешимость.

[evgeniy]

Я погорячился, надо было сказать норма. Но можно определить скалярное произведение в пространстве непрерывных функций как норму
(x,y)=max(x,y)
В пространстве обобщенных функций
$(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}[x(t)y(t)]^2dt$
тогда норма в пространстве непрерывных чисел
$||x-x_0||=max|x-x_0|^2$
А норма в пространстве обобщенных функций
$||x-x_0||=\int_{-\infty}^{\infty}[x(t)-x_0(t)]^2dt$
Я посмотрел материал, также как и Вы, от меня просили дать четкое определение, но чего не указывали. Чего надо дать четкое определение, решения задачи? Мне твердили, что надо дать четкое определение решения вдоль характеристики, а о формулировке о решении задачи я догадался, только тогда, когда была приведена ее начальная формулировка.
Но это все сложности письменного общения.
Дело в принципиальном решении новой задачи, изменение условий теоремы приводит к другому решению.
Да формулировка теоремы со скалярным произведением везде будет формулировкой со скалярным произведением при любом его определении. Но изменение условий теоремы может изменить и ход решение и ее смысл, так рассмотрение в пространстве непрерывных функций действительного переменного отличается от рассмотрения в пространстве обобщенных функций или аналитических функций комплексного переменного.

-- Вт ноя 09, 2010 22:54:11 --

Да нет в общем виде получается доказательство, что имеется равенство $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$, причем это доказательство использует уравнение характеристики. Физика тут такова, вычисляется решение вдоль кривой линии. В глобальной постановке таких решений бесконечное множество. Я сужаю класс этих решений, вводя уравнение характеристики. При этом хотя уравнение получается вдоль характеристики, удается получить зависимость $\sum_{l=1}^N U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$, которая при дифференцировании вдоль характеристики точно определяет решение, т.е. члены $A_l$ , а не первый или второй член. Это выделение из множества решений единственное, а не частный случай одного.

[shwedka]

Много слов. А где Ваше определение решения системы Пфаффа? Так и не дождусь?
По-моему, в пятый раз прошу. Дайте Ваше определение решения системы Пфаффа!

evgeniy в сообщении #372919 писал(а):

это доказательство использует уравнение характеристики.

Доказательства пока никто не видел.

evgeniy в сообщении #372919 писал(а):

удается получить зависимость $\sum_{l=1}^N U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$, которая при дифференцировании вдоль характеристики точно определяет решение

Смысла у словосочетания нет. В будущем. Буду Вас осмеивать, если будете употреблять слово'решение' без указания какой задачи.

-- Вт ноя 09, 2010 22:31:57 --

evgeniy в сообщении #372919 писал(а):

Я посмотрел материал, также как и Вы, от меня просили дать четкое определение, но чего не указывали.

Ну, уж неправда.

shwedka в сообщении #372397 писал(а):

Нет, вы упорно не хотите дать определение. Можете написать такое?

Решением УП, использующим решение уравнения характеристик называется функция
$\Phi(x)$ такая, что поверхности уровня$\Phi(x)=C$ удовлетворяют УП, а также.....

shwedka в сообщении #372491 писал(а):

Tак все же. Является то, что Вы 'построили', решением УП или нет? По-прямому ответьте, да или нет.

shwedka в сообщении #372496 писал(а):

Нет, попробуйте продолжить мой текст.

Решением УП, использующим решение уравнения характеристик называется функция
$\Phi(x)$ такая, что поверхности уровня$\Phi(x)=C$ удовлетворяют УП, а также.....

И все время так.
Так что не требовала я решения 'неизвестно чего'. Это у ВАс все время решение... решение...
По-Вашему, 'по определению', решение УП это функция, которую Вы 'построили'.
Не годится!!
Это теорему такую Вам доказывать надо, что построенное Вами решает задачу Пфаффа.
A так-- совсем простой пример. Хватит трепа, что у Вас, мол, метод есть. Решите Вашим 'методом'
$dx_1+dx_2+x_2dx_3=0$
Предъявите функцию $U$.