Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[evgeniy]

Я изменил алгоритм решения. Попробую решить эту задачу с измененным алгоритмом.
Выбираю путь интегрирования произвольно
$x_1=t+x_1^0$
$x_2=t^2+x_2^0$ (1)
$x_3=t^3+x_3^0$
разрешаю $x_2$ относительно $x_3$.
получаю $x_2-x_2^0=(x_3-x_3^0)^{2/3}$
Подставляю в третий член и интегрирую по $x_3$
$x_2dx_3=[x_2^0+(x_3-x_3^0)^{2/3}]dx_3=x_2^0(x_3-x_3^0)+(x_3-x_3^0)^{5/3}3/5$
Тогда решение уравнения Пфаффа вдоль характеристики (1) будет функция
$U(x_1,x_2,x_3)=x_1-x_1^0+x_2-x_2^0+x_2^0(x_3-x_3^0)+(x_3-x_3^0)^{5/3}3/5$
эта функция удовлетворяет уравнению Пфаффа вдоль характеристики, т.е. $A_l=\frac{\partial U}{dx_l}$
Алгоритм решения таков, Задаем уравнение кривой
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0),l=1,...,N$
разрешаем t из l уравнения, и подставляем t в k уравнение, получаем
$x_k=x_k(x_l,X_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$
Подставляю в уравнение Пфаффа
$dU=\sum_{l=1}^N A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)dx_l$
интегрирую в пространстве от точки $x_l^0,l=1,...,N$ до точки$x_l,l=1,...,N$. Получаем значение потенциала, продифференцировав которое получим $A_l$ вдоль характеристики.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374008 писал(а):

эта функция удовлетворяет уравнению Пфаффа вдоль характеристики, т.е. $A_l=\frac{\partial U}{dx_l}$

не вижу. Подставляю в уравнение и такого не получается. Не выполнено.
$\frac{\partial U}{\partial_{x_3}}=x_2^{0}+(x_3-x_3^0)^{2/3}$

Функция не является решением уравнения Пфаффа. ПОвторяю определение.

shwedka в сообщении #372907 писал(а):

Давайте я напишу, как я (и весь мир) понимаю определение решения.
Решенем уравнения Пфаффа $\omega=\sum A_k(x)dx_k=0$
называется любая функция $U(x)$ такая, что на ее поверхностях уровня
$U(x)=c$ форма $\omega$ равна нулю.

то есть равенство должно выполняться для всех направлений, касательных поверхности уровня, а у Вас оно выполнен о только для ОДНОГО направления. Такое убогое 'решение ' никому не нужно.

[evgeniy]

Считаю
$A_1=\frac{\partial U}{\partial x_1}=1$
$A_2=\frac{\partial U}{\partial x_2}=1$
$A_3=\frac{\partial U}{\partial x_3}=x_2^0+(x_3-x_3^0)^{2/3}=x_2$
Получается решение с учетом уравнения характеристики. Почему Вы говорите, что вдоль одного направления. Вдоль трех направлений. Получается точное решение. Я вам твердил все время, что решение получается с использованием уравнения кривой или характеристики. Это не глобальное решение, а единственное решение с использованием уравнения характеристики. дЛя другой характеристики будет другое решение. И определение задачи я давал точно такое.

-- Пт ноя 12, 2010 18:24:10 --

Метод характеристик, или метод решения вдоль кривых линий может быть применен при решении уравнений в частных производных вдоль кривой линии.
только его необходимо изменить и вдоль кривых линий вместо уравнений в частных производных получаем обыкновенное дифференциальное уравнение.
А насчет того, что весь мир использует определение, которое Вы написали, как Вы могли наверное заметить я делаю все не как весь мир. Иногда из-за этого случаются проколы, но я стараюсь быть оригинальным, вплоть до обвинения в безграмотности. Мои идеи всегда основываются на каком-либо математическом или физическом факте, который я стараюсь развивать. Так что не удивительно, что мое определение решения отличается от общепризнанного. Часто мне не хватает грамотности и я допускаю ошибки, но со временем я осознаю свои ошибки и исправляю их если могу.

[moscwicz]

shwedka в сообщении #372907 писал(а):

Давайте я напишу, как я понимаю определение решения.
Решенем уравнения Пфаффа $\omega=\sum A_k(x)dx_k=0$
называется любая функция $U(x)$ такая, что на ее поверхностях уровня
$U(x)=c$ форма $\omega$ равна нулю.

задача для продвинутых блондинок:
привести пример формы $\omega$, которая анулируется касательным расслоением одной единственной поверхности, а не семейства поверхностей $\{U(x)=c\}$

[shwedka]

moscwicz в сообщении #374091 писал(а):

задача для продвинутых блондинок:
привести пример формы $\omega$, которая анулируется касательным расслоением одной единственной поверхности, а не семейства поверхностей $\{U(x)=c\}$

элементарно, Ватсон!
возьмите форму, аннулирующуюся на поверхности, и продолжите ее так, чтобы для продолженной формы нарушалось условие Фробениуса.

evgeniy в сообщении #374073 писал(а):

Считаю
$A_1=\frac{\partial U}{\partial x_1}=1$
$A_2=\frac{\partial U}{\partial x_2}=1$
$A_3=\frac{\partial U}{\partial x_3}=x_2^0+(x_3-x_3^0)^{2/3}=x_2$
Получается решение с учетом уравнения характеристики. Почему Вы говорите, что вдоль одного направления. Вдоль трех направлений. Получается точное решение. Я вам твердил все время, что решение получается с использованием уравнения кривой или характеристики. Это не глобальное решение, а единственное решение с использованием уравнения характеристики. дЛя другой характеристики будет другое решение. И определение задачи я давал точно такое.

Так, что, ваша функция определена только на кривой?? тогда полный обман. Для функции на кривой определена производная только в направлении кривой, а ни в коем случае не поперек. Вот попробуйте узнать произвоодную по $y$ для функциi, определенной на оси $x$.
Частные производные определены только для функций, заданных в ОБЛАСТИ, посмотрите в любом учебнике. а у Вас функция задана только на кривой. Так что, то, что вы считаете, частными производными не является.

[evgeniy]

Я не возражаю, если тему отправят в карантин.
Но вообще-то, варьируя кривые охватываем все пространство, но вся соль в том, что решение строится вдоль одной кривой.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374129 писал(а):

но вся соль в том, что решение строится вдоль одной кривой.

Все повторяете и повторяете!!
Решение. Решение ЧЕГО???
Неверно, что это решение УП, так как для функции, заданной только на кривой, частные производные по-просту не определены, поэтому бессмысленно говорить о том, что они чему-то равны.

[evgeniy]

Конечно же решение уравнения Пфаффа, но вдоль кривой его не построишь, у меня были сомнения, что кривая задается параметрически и следовательно есть одна производная по параметру.
Shwedka, а как насчет идеи решения уравнения в частных производных. Вроде бы производная перпендикулярно кривой учитывается, если кривая задана параметрически $x_l=x_l(s)$, где используется огибающая вдоль кривой в виде параметра, ведь оператор
$\frac{\partial }{\partial x_l}=\frac{\partial s}{\partial x_l}\frac{d}{ds}$
зависит от поперечной производной. следовательно вдоль кривой можно построить решение, учитывающее прилежащее пространтство.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374167 писал(а):

где используется огибающая вдоль кривой в виде параметра, ведь оператор
$\frac{\partial }{\partial x_l}=\frac{\partial s}{\partial x_l}\frac{d}{ds}$
зависит от поперечной производной.

Нет, никогда! Против природы не пройдете.$\frac{\partial s}{\partial x_l}$ - бессмыслица по все той же причине. Нельзя дифференцировать поперек функцию, заданную только на кривой.

[evgeniy]

Но ведь $ds^2=\sum_{l=1}^N dx_l^2$ и справедлива формула
$\frac{\partial s}{\partial x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N \Delta x_s^2}}{\Delta x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N d x_s^2/ds^2}}{d x_l/ds}$
на основании
$\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N \Delta x_s^2}}{\Delta x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N d x_s^2/ds^2}}{d x_l/ds}$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374195 писал(а):

Но ведь $ds^2=\sum_{l=1}^N dx_l^2$ и справедлива формула
$\frac{\partial s}{\partial x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N \Delta x_s^2}}{\Delta x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N d x_s^2/ds^2}}{d x_l/ds}$

Все это формальные преобразования и они бессмысленны.
Откройте учебник и прочитайте определение частной производной.

[moscwicz]

shwedka в сообщении #374109 писал(а):

элементарно, Ватсон!
возьмите форму, аннулирующуюся на поверхности, и продолжите ее так, чтобы для продолженной формы нарушалось условие Фробениуса.

вот именно это об этом я и говорил несколько выше

[evgeniy]

Но разве, когда определяют кривизну, кручение и третий параметр кривой не пребегают к подобным выкладкам. Кроме того, при решении уравнений в частных производных имеется не одна траектория, а целый поток, поэтому поперечная компонента имеет смысл, хотя рассматривается одна траектория, но имеются прилежащие, т.е. рассматривается бесконечно тонкая трубка.
В уравнениях Пфаффа понятно, там имеется только одна параметрическая зависимость, и все величины $x_l=x_l(t)$ зависят от одного параметра. Поэтому, когда пишем $A_l(x_1,...,x_N)$ переменные зависят от одного параметра, и поэтому частную производную получить невозможно. Здесь же другая ситуация. Ищется производная от огибающей, которая для потока или трубки тока имеет зависимость $s(x_1,...,x_N)$.

[shwedka]

moscwicz
Традиционно с уравнением Пфаффа связывают задачу построения СЕМЕЙСТВА поерхностей, на которых форма аннулируется. См. напр, Эльсгольц, Годбийон или, скажем, Арнольд, дополнительные главы (Хотя Арнольд,имени Пфаффа не упоминает.)
Честно говоря, задача о существовании для данной формы изолированного аннулирующего многообразия мне не встречалась (правда, это не моя область.)

-- Пт ноя 12, 2010 19:16:23 --

evgeniy в сообщении #374233 писал(а):

Но разве, когда определяют кривизну, кручение и третий параметр кривой не пребегают к подобным выкладкам.

Прибегают, когда речь идет о дифференцировании функций вдоль кривой.
Однако не прибегают, когда речь заходит о частных производных. Формальные преобразования могут быть правильными, могут быть ошибочными. Чтобы избежать последнего, нельзя выпускать из вида математическое содержание преобразуемых формул.

в частности,
задумайтесь, что такое $\Delta x_l$ в вашем

evgeniy в сообщении #374195 писал(а):

$\frac{\partial s}{\partial x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N \Delta x_s^2}}{\Delta x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N d x_s^2/ds^2}}{d x_l/ds}$

и почему первое равенство верно?
Прочитайте определение частной производной.

[evgeniy]

Под рукой нет учебника по Высшей математике. Но я и так припоминаю, что частная производная берется при фиксированных остальных аргументах. Т.е. получается, что это отношение равно единице.