Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[shwedka]

evgeniy в сообщении #368784 писал(а):

Т.е. у l и l+k пары существует интегрирующий множитель. $.

Не вижу доказательства этого факта! вы говорите, что есть интегрирующий множитель для ЧЕТРЫРЕХ переменных. Доказательства ЭТОГО не приведено. Вы пишете какуие-то системы, их решаете, меняете переменные.. Интегрирующий множитель не наблюдается. Какое отношение Ваши решения имеют к интегрирующему множителю?

evgeniy в сообщении #368784 писал(а):

для $\tilde A_l$ справедлива формула ${\tilde A}_l=\sum_{n=1}^{2N-1}A_n \frac{\partial q_n^0}{\partial q_l}$ и значит величина $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ единственна.

Из этой формулы независимость от $l$ не видна.
Ваше значит не доказано.по-честному, поделите на $A_l$ и покажите.

[evgeniy]

Приведу пример решения уравнения Пфаффа с четырьмя координатами градиента
$\frac{dx_1}{dx_1^2}+\frac{dx_2}{dx_2}-\frac{dx_3}{dx_3^3}-\frac{dx_4}{dx_4}=0$
записываем его в виде, когда условие интригруемости не выполняется умножив на величину $x_1^2x_2x_3^3x_4$
$x_2x_3^3x_4dx_1+x_1^2x_3^3x_4dx_2-x_1^2x_2x_4dx_3-x_1^2x_2x_3^3dx_4=0$
запишем характеристическое уравнение
$\frac{dx_1}{dt}=x_1^2x_2x_4$(1)
$\frac{dx_2}{dt}=x_1^2x_2x_3^3$(2)
$\frac{dx_3}{dt}=x_2x_3^3x_4$(3)
$\frac{dx_4}{dt}=x_1^2x_3^3x_4$(4)
разделим первое уравнение на третье уравнение, получим
$\frac{dx_1}{x_1^2}=\frac{dx_3}{x_3^3}$
получим интеграл
$\frac{1}{x_1]}-\frac{1}{2x_3^2}=c_1$
разделим второе уравнение на четвертое, получим
$\frac{dx_2}{dx_4}=\frac{x_2}{x_4}$
откуда получаем первые интегралы
$lnx_2=lnx_4+c_2$
складывая два решения парного уравнения, получим
$\frac{1}{x_1}+lnx_2-\frac{1}{2x_3^2}-lnx_4=U(x_1,x_2,x_3,x_4)$
Вообще то, надо было разрешать это уравнение относительно начальных условий, добиться зависимости от трех начальных условий, вместо четырех, и подставить в уравнение Пфаффа $x_1^0,x_2^0,x_3^0$, тогда получаем интегрируемые уравнения Пфаффа с учетом зависимости $x_l=x_l(x_4,x_1^0,x_2^0,x_3^0),l=1,...,3$
Дополнительное соотношение $x_4=x_4$ не влияет на зависимость $x_l=x_l(x_4,x_1^0,x_2^0,x_3^0),l=1,...,3$
так как переменные $x_l,l=1,...,3$ являются функциями от 4 переменных $x_4,x_1^0,x_2^0,x_3^0$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #368800 писал(а):

$\frac{dx_1}{dx_1^2}+\frac{dx_2}{dx_2}-\frac{dx_3}{dx_3^3}-\frac{dx_4}{dx_4}=0$

Непонятное уравнение.
Но если отбросить $d$ в знаменателе, то, очевидным образом, условие наличия интегр. множителя выполнено $d\omega\wedge\omega=0$!
Здесь даже по-простому $d\omega=0$.Так что обманываете!!
Здесь даже интегрирующий множитель и не нужен никакой!
Ваши уравнения Пфаффа интегрируемы безо всякого интегрирующего множителя, так что никакие Ваши методы не нужны.
А попробуйте лучше проинтегрировать
$x_2 dx_1+2x_3dx_2+3x_4 dx_3+4x_1dx_4=0$
или, если трудно, отбросьте одну переменную.можете знак поменять.

[evgeniy]

Конечно же уравнение
$\frac{dx_1}{x_1^2}+\frac{dx_2}{x_2}-\frac{dx_3}{x_3^3}-\frac{dx_4}{x_4}=0$
следующее уравнение следует из него. Ваше уравнение попробую проинтегрировать, хотя оно не имеет явного вида первого интеграла и проверка сложна.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #368827 писал(а):

оно не имеет явного вида первого интеграла и проверка сложна.

А кому нужен 'новый метод' интегрирования уравнений, которые уже имеют вид первого интеграла?

[evgeniy]

Я должен подумать, во всяком случае характиристические дифференциальные уравнения интегрируются, и при подстановке решения каждое каждое парное уравнение определяет тождество. Получение первых интегралов, разрешенных относительно начальных условий сложная задача.
Кроме того, выяснилось, что пары жестко связаны, и есди разбить на другие пары, то характеристическая система дифференциальных уравнений будет другая.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #368892 писал(а):

что пары жестко связаны, и есди разбить на другие пары, то характеристическая система дифференциальных уравнений будет другая.

В этом-то все и дело. При другом разбитии на пары получается другая характеристическая система, и ее решение дает ДРУГИЕ интегрирующие множители для пар, а не один и тот же, как Вам казалось. Вот этого обстоятельства Вы в своем рассуждении не заметили.

[moscwicz]

evgeniy в сообщении #363281 писал(а):

Определение функции по ее градиенту зависит от пути интегрирования и только в частных случаях эта задача решается. Оказывается решение зависит от произвольной функции и при выборе этой функции становится однозначным. Ситуация аналогична обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые зависят от начальных условий. Допустим, заданы градиенты функции $\frac{\partial \phi}{\partial x_l}=A_l(x_1,...,x_{2N}),l=1,...,2N$. т.е. имеется четное значение функции. При этом уравнение нормали к поверхности $\phi=const$, будет
$\sum_{l=1}^{2N}A_l(x_1,...,x_{2N})dx_l=0$
Составим уравнения характеристик
$\frac{dx_l}{ds_1}=-A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})$
$\frac{dx_{l+N}}{ds_1}=A_{l}(x_1,...,x_{2N}),l=1,...,N$
выбираем начальные условия $x_l=x_l(s_1^0,s_2,...,s_{2N})$
Причем решение уравнений характеристик должно покрыть все пространство $x_l=x_l(s_1,s_2,...,s_{2N})$, при этом имеем и обратную функцию при не равенстве нулю соответствующего определителя.
Подставляя в уравнение нормали, уравнение характеристик, получим
$d\phi=\sum_{l=1}^{N}[A_l(x_1,...,x_{2N})-A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})+A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})A_{l}(x_1,...,x_{2N})]ds_1=0$
Т.е. вдоль характеристик уравнение удовлетворяется. Значит величина $\phi=\phi(s_1,...,s_{2N})$ является решением уравнения Пфаффа. Подставляя вместо $s_l$ значения аргументов функции градиента, получим $\phi=\phi(x_1,...,x_{2N})$, которая является решением уравнения Пфаффа и удовлетворяет условию $\frac{\partial \phi}{\partial x_l}=A_l(x_1,...,x_{2N})$

по модулю всяких странных вещей, которые там написаны, можно заметить следующее. Система уравнений Пфаффа (это хорошо известно) эквивалентна в определенном смысле системе Майера-Фробениуса т.е. системе вида
$\frac{\partial u^i}{\partial x^j}=f^i_j(x,u)$

[evgeniy]

Спасибо за помощь, но это ничего не дает для решения уравнения Пфаффа, так как просто получается многомерная задача с многими неизвестными потенциалами, причем с частными производными по аргументам $x^j$
$\frac{\partial u^i}{\partial x^j}=f_j^i(x,u)$

[moscwicz]

evgeniy в сообщении #368940 писал(а):

Спасибо за помощь, но это ничего не дает для решения уравнения Пфаффа, так как просто получается многомерная задача с многими неизвестными потенциалами, причем с частными производными по аргументам $x^j$
$\frac{\partial u^i}{\partial x^j}=f_j^i(x,u)$

С Вами не дискутируют, да и дискутировать здесь нечего, Вам указывают на ошибки и учат. Вот я Вам прозрачно намекнул, что то что Вы с полным отсутствием минимальной математической грамотности, пытаетесь изобрести , известно в нормальных формулировках уже лет сто. Если Вы адекватный человек то примете все сказанное в этой ветке к сведению и сядите за учебники

[evgeniy]

Вы думаете, что я не знаю критерия существования интегрирующего множителя или критерий интегрирования уравнения Пфаффа. ПРекрасно знаю, но у меня есть идея как решать уравнения Пфаффа, которую как вЫ сами говорите, Вы не поняли, и пока я ее не измусолю, я не уступлю. В частности, я получил локальное решение уравнения Пфаффа в виде ряда, правда пока только первые два члена. Если Вы действительно хотите мне помочь, то разберитесь с тем, что я пишу, и если Вы такой умный найдите ошибку. Я иногда получаю результаты, которые никто не ждет.

[evgeniy]

Shwedka я получил локальное решение уравнения Пфаффа. ОНо получается записью уравнений характеристик в виде конечных разностей и решением двух парных уравнений
$A_l(x_1,...,x_{2N})dx_l-A_{l+N}(x_1,...,x{2N})dx_{l+N}=0.$
Уравнение характеристик
$\frac{dx_l}{dt}=A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})$
решение в окрестности нулевой точки имеет вид
$dU_l=A_l(x_1,...,x_{2N})dx_l=d[A_l^0(x_l-x_l^0)+A_{l+N}^0\frac{\partial A_l^0}{\partial x_k}A_k^0\frac{(x_l-x_l^0)^2}{2A_{l+N}^{02}}]=(A_l^0+\frac{\partial A_l^0}{\partial x_k}A_k\frac{x_l-x_l^0}{A_{l+N}^0})dx_l=[A_l^0+\frac{dA_l^0}{dt}(t-t_0)+0(t-t_0)^2]dx_l$,
что является тождеством c точностью $(t-t_0)^2$, так как $t-t_0=(x_l-x_l^0)/A_{l+N}^0$
Т.е. показываю, что производная от потенциала $u_l$ по переменной $x_l$ равна проекции градиента $A_l$ . Вывод довольно громоздкий, но результат таков. Я сейчас не буду его приводить, когда результат будет для произвольного количества членов ряда, я его приведу.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #369261 писал(а):

Т.е. показываю, что производная от потенциала $u_l$ по переменной $x_l$ равна проекции градиента $A_l$

Здесь точное силовое попадание в открытую дверь. Построить функцию, у которой в одной данной точке заданные производные, можно без Ваших выкрутасов.

Вы можете объяснить, куда стремитесь? Есть известное условие, необходимое и достаточное, для разрешимости уравнения Пфаффа, или, на другом языке, существования интегрирующего множителя. В любой размерности, начиная с 3, условие, действительно, ограничительное.
То есть, если оно нарушено, то решения НЕТ. И это НЕТ не меняется от замены переменных, как их ни крути. Как строить локальное решение при выполнении этого условия давно известно. Поясняю, что локальное решение-это не решение в одной точке, а решение в некоторой окрестности заданной точки. Так что все Ваши манипуляции с рядами-в пользу бедных.
Утверждаете ли Вы, что эта теорема неверна, и локальное решение можно построить при нарушении этого условия? Если не так, то что же Вы утверждаете?

[evgeniy]

После долгих усилий я пришел к тревиальному следствию. ВСе существующие теоремы о существования решения верны. Можно построить решение уравнения Пфаффа
$\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_N)dx_l=0$
вдоль уравнения характеристик
$\frac{dx_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N)$
причем разные, при разных начальных условиях. Можно получить формулы решения в виде ряда вдоль этих характеристик, зависящие от начальных условий и уравнений характеристик.
К сожалению нового в этом нет. Т.е. каждая характеристика соответствует разным путям интегрирования, и при разных путях получаются разные решения.
Единственный результат моих усилий, это я могу доказать факт, эквивалентный следующему. Вернее обобщающий следующий.
Интегрируя вдоль характеристик, или произвольного пути получим следующую систему дифференциальных уравнений
$\frac{dU}{dt}=\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_N)F_l(x_1,...,x_N)$
$\frac{dx_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N)$
При это, зависимости $U(x_1(t),...,x_N(t))$ построить невозможно. Можно получить зависимость $U(t),x_l(t),l=1,...,N$.
и значит нельзя проверить условие $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$, где все величины зависят от t.
Если это устроит, я могу получить зависимость в виде $U[x_1(t),...,x_N(t)]$, которая при изменении вдоль характеристик удовлетворяет уравнению Пфаффа. Т.е. решить задачу с учетом пути интегрирования. Этот материал я могу изложить, если это имеет смысл.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #370533 писал(а):

Т.е. каждая характеристика соответствует разным путям интегрирования, и при разных путях получаются разные решения.

В вольном переводе это значит, что единой функции, решения уравнения у Вас нет. И не удивительно! Я так и писала все время. Новые трюки не дадут решения, если теорема говорит, что решения нет.

evgeniy в сообщении #370533 писал(а):

если это имеет смысл.

На мой взгляд, смысла не имеет.