Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[shwedka]

evgeniy в сообщении #366407 писал(а):

У каждого парного уравнения общий.

Это утверждение Вами не доказано, тем более, что оно неверно.
Если утверждаете, что доказано, процитируйте доказательство.

[evgeniy]

Дело в том, что в результате решения задачи получим множитель общий у $A_l(q_1,...,q_{2N}) $, где всегда индекс $l=1,...,N$ и у произвольно выбранной одной из функций $A_{l+k}(q_1,...,q_{2N}),k=1,...,N$. Так устроен алгоритм решения, характеристическая система не знает какова пара уравнений и можно образовать любую пару. Причем у пары множители одинаковы. Аналогично по одному из уравнений $A_{l+k}(q_1,...,q_{2N}),k=1,...,N$ совпадают пары и с уравнениями из первой группы $A_l(q_1,...,q_{2N}) $.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #366461 писал(а):

Причем у пары множители одинаковы.

Не доказано, что для разных пар множитель один и тот же.
И не надо говорить... алгоритм такой...
Покажите конкретное доказательство

[evgeniy]

В результате решения характеристического уравнения, система приводится к единому решению с попарно одинаковыми множителями. Так как решение получается из общей для задачи системы дифференциальных уравнений, решение системы дифференциальных уравнений однозначно при общих заданных начальных условиях, где пары не выделены, то получается единственное решение для коэффициентов перед дифференциалами.
На самом деле неизвестные константы и являются теми первыми интегралами, которые определяют данный дифференциал, разрешая относительно которых решение системы характиристических уравнений, получим $c_l^0=f_l(t,q_1,...,q_{2N})$. Можно привести первые интегралы к виду $c_l^0-h_l(q_1,...,q_{2N})=g_l(t)$. ОТкуда получаем
$A_l(q_1,...,q_{2N})=\frac{\partial h_l(q_1,...,q_{2N})}{\partial x_l}$
Вопрос, как получить такой вид первых интегралов, я на него отвечу, если Вы согласитесь, что остальные противоречия сняты. А то я буду рассказывать, а Вы скажите, что есть другие противоречия.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #366493 писал(а):

В результате решения характеристического уравнения, система приводится к единому решению с попарно одинаковыми множителями.

Не считается. Что такое 'система приводится к единому решению'?. Повторяю вопрос. Почему интегрирующие множители для разных пар одинаковы. размахивание руками доказательством не считается. попробуйте с формулами.
'попарно одинаковые множители' не доказано.
попробуйте по-простому. Возьмите систему с 4 функциями, в общем виде, и покажите, что интегрирующий множитель для одной пары и для другой одинаковы.

[evgeniy]

Shwedka, Вы не вникаете, в то, что я говорю. Я даже вычислил вид этого коэффициента, являющего градиентом, правда неправильно записав формулу, приравняв его градиенту, этот вычисленный градиент определяется однозначно и равен $\frac{\partial h_l(q_1,...,q_{2N})}{\partial x_l}$ и следовательно интегрирующий множитель определяется однозначно и каждого члена дифференциала. Мой рабочий день закончился, я появлюсь в субботу.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #366532 писал(а):

Я даже вычислил вид этого коэффициента, являющего градиентом, правда неправильно записав формулу, приравняв его градиенту, этот вычисленный градиент определяется однозначно и равен $\frac{\partial h_l(q_1,...,q_{2N})}{\partial x_l}$

Приведите вычисления, которые Вы считаете правильными.
Разберите пример с четырьмя переменными.

evgeniy в сообщении #366532 писал(а):

являющего градиентом

неверно. Необходимое условие того, что векторное поле является градиентом, не проверено.

-- Вт окт 26, 2010 19:26:47 --

evgeniy в сообщении #366493 писал(а):

На самом деле неизвестные константы и являются теми первыми интегралами, которые определяют данный дифференциал, разрешая относительно которых решение системы характиристических уравнений, получим $c_l^0=f_l(t,q_1,...,q_{2N})$. Можно привести первые интегралы к виду $c_l^0-h_l(q_1,...,q_{2N})=g_l(t)$. ОТкуда получаем
$A_l(q_1,...,q_{2N})=\frac{\partial h_l(q_1,...,q_{2N})}{\partial x_l}$

Вы пишете отрывочные формулы. Напишите связное изложение.

[evgeniy]

Оказывается, можно построить решение с произвольным количеством проекций градиента. Изложу все с самого начала. рассматривается уравнение Пфаффа
$\sum_l P_l(x_1,...,x_N)dx_l=0$
оно приводится к виду
$\sum_l [P_l(x_1,...,x_N)+P_l(-x_1,...,-x_N)]dx_l+[P_l(x_1,...,x_N)-P_l(-x_1,...,-x_N)]dx_l=0$
Вводятся новые переменные $q_l=x_l,q_{l+N}=-x_l$. В этих переменных уравнение Пфаффа записывается в виде
$\sum_l A_l(q_1,...,q_{2N})dq_l-A_{l+N}(q_1,...,q_{2N})dq_{l+N}=0$(1)
решив это более общее уравнение, надо положить $q_{l+N}=-q_l$
записываем характеристическое уравнение
$\frac{dq_l}{dt}=A_l(q_1,...,q_{2N})$
Существует локальная теорема о существовании 2N-1 интеграла для автономной системы дифференциальных уравнений c 2N неизвестными см. Понтрягин., причем эти первые интегралы разрешены относительно начальных условий и имеют вид
$q_l^0=q_l^0(q_1,...,q_{2N})$(2)
это равенство можно записать в виде
$\sum_{n=1}^{2N-1} \frac{\partial q_l^0}{\partial q_n}\frac{dq_n}{dq_{2N}}=-\frac{\partial q_l^0}{\partial q_{2N}}$(2)
откуда получаем глобальное решение
$q_l=q_l(q_{2N},q_1^0,...,q_{2N-1}^0),l=1,...,2N-1$
это решение покрывает определенную область значений неизвестных аргументов $q_l$, в этой области и существует решение уравнения Пфаффа.
Подставляем значение $q_l^0$ из формулы (2) в уравнение (1), получаем уравнение Пфаффа с новыми коэффициентами, равными
$\tilde A_l=\sum_{n=1}^{2N-1} \pm A_n\frac{\partial q_n^0}{\partial q_l},l=1,...,2N $
где знак плюс выбирается, если $n \le N$. Получим значение интегрирующего множителя у парных уравнений. Он равен $\frac{\tilde A_l}{A_l}=\frac{\tilde A_{l+k}}{A_{l+k}},l,k=1,...,N$, т.е. равен у всех членов уравнения Пфаффа.
Теперь нужно перейти от переменных $q_l$ к переменным $x_l$ . Существует теорема, что интегрирующий множитель у уравнения Пфаффа находится при условии $d\omega \land \omega=0$. В трехмерном пространстве это условие запишется в виде $(\vec A,rot \vec A)=0$ Где $\omega $определяется по формуле
$\omega=\sum_l P_l(x_1,...,x_N)dx_l$
Но дело в том, что между неизвестными существует связь, $x_l=x_l(x_N,x_1^0,...,x_{N-1}^0)$ и поэтому эта теорема не применима.
ПРимер с четырьмя переменными я разберу для проверки, но пока представляю доказательство для произвольного числа переменных.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #367903 писал(а):

Получим значение интегрирующего множителя у парных уравнений. Он равен $\frac{\tilde A_l}{A_l}=\frac{\tilde A_{l+k}}{A_{l+k}},l,k=1,...,N$, т.е. равен у всех членов уравнения Пфаффа.

Вы это заявляете в который раз, но доказывать отказываетесь. приведите доказательство

evgeniy в сообщении #367903 писал(а):

Но дело в том, что между неизвестными существует связь, $x_l=x_l(x_N,x_1^0,...,x_{N-1}^0)$ и поэтому эта теорема не применима.

Чепуха. Есть теорема. Доказана. А вдруг Вы заявляете, что неприменима.Почему?
Теорема неверна? Какое-то условие ее нарушено?

[evgeniy]

1. Коэффициенты с индексом l и l+k образуют пару, т.е. парное уравнение, следовательно имеют общий множитель. При этом интегрирующий множитель равен $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ и он общий у парного уравнения. ПРичем единственность интегрирующего множителя доказана его вычислением по формуле $\frac{\tilde A_l}{A_l}$.
2. Нарушено условие независимости переменных $x_1,...,x_N$. Они оказываются связанными. Нарушено условие необходимости этой теоремы. Она утверждает, что при независимых переменных существует связь между коэффициентами уравнения Пфаффа. А при зависимых переменных эта зависимость может быть такова, что эта связь выполняется всегда. Т.е. имеется возможность, что эта связь выполняется. А возможность построения решения уравнения Пфаффа доказывает существование этой связи. При этом решение получается не во всем пространстве.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #367925 писал(а):

При этом интегрирующий множитель равен $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ и он общий у парного уравнения. ПРичем единственность интегрирующего множителя доказана его вычислением по формуле $\frac{\tilde A_l}{A_l}$.

Формулу вижу. Доказательства независимости от $l$ по-прежнему не вижу.

evgeniy в сообщении #367925 писал(а):

Она утверждает, что при независимых переменных существует связь между коэффициентами уравнения

Цитатку, пожалуйста.

-- Сб окт 30, 2010 12:00:44 --

evgeniy в сообщении #367903 писал(а):

Но дело в том, что между неизвестными существует связь, $x_l=x_l(x_N,x_1^0,...,x_{N-1}^0)$ и поэтому эта теорема не применима.

Кроме того, то,что здесь написано, это не связь, а всего лишь замена переменных. А условие $d\omega\wedge\omega=0$
инвариантно относительно замен. Если оно было нарушено в начале, то будет нарушено и в конце.

[evgeniy]

1. Для заданного l получаем множество значений l+k. ПРичем интегрирующий множитель у заданного l единственный, равный $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ Т.е. у множества значений l+k имеется совпадение интегрирующих множителей. Далее обратно, у заданного l+k имеется множество значений l, у которых совпадают интегрирующие множители.
2. ИМенно связь, а не замена переменных. СВязь существует в переменных $x_l$ и в переменных $q_l$. Цитатку привести не могу, так как взял формулировку теоремы из математической энциклопедии. ДЛя трех переменных доказательство знаю, но книга дома, опубликовать цитату не могу. ПРименимость для связанных переменных доказать могу. Вначале получаем уравнение $d\omega \land \omega=0$, для независимых переменных, а потом накладываем связь.

[evgeniy]

Shwedka, я буду в понедельник.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #367946 писал(а):

единственный, равный $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ Т.е. у множества значений l+k имеется совпадение интегрирующих множителей.

опять это провозглашается, но не доказывается

evgeniy в сообщении #367946 писал(а):

. Цитатку привести не могу, так как взял формулировку теоремы из математической энциклопедии.

А там написано про 'независимость?'НЕТ!Тогда Ваше заявление о неприменимости недействительно.

evgeniy в сообщении #367903 писал(а):

Но дело в том, что между неизвестными существует связь, $x_l=x_l(x_N,x_1^0,...,x_{N-1}^0)$

evgeniy в сообщении #367903 писал(а):

Но дело в том, что между неизвестными существует связь, $x_l=x_l(x_N,x_1^0,...,x_{N-1}^0)$

количество переменных слева и справа одинаково. Так что никакая это не связь. Не придумывайте! Это в точности замена переменных.

А если заглянуть раньше, то так у Вас и не видно, почему после Вашего удвоениея переменных получается решение хотя бы преобразованного уравнения. Вы решили систему, нашли интегралы,
а
ГДЕ решение Пфаффа? Не наблюдается.

[evgeniy]

Отношение единственно и равно $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ , так как для $\tilde A_l$ справедлива формула $\tilde \A_l=\sum_{n=1}^{2N-1}A_n \frac{q_n^0}{q_l}$ и значит величина $\frac{\tilde A_l}{A_l}$ единственна. Далее рассматривается парное уравнение, и из существования парного решения у пары имеется интегрирующий множитель. Т.е. у l и l+k пары существует интегрирующий множитель. ОН единственный, так как равен единственному значению $\frac{\tilde A_l}{A_l}$.
В формуле $x_l=x_l(x_N,x_1^0,...,x_{N-1}^0)$ величина l изменяется в пределах l=1,...,N-1, так что это связь.
В тексте предыдущего сообщения есть формула $q_l=q_l(q_{2N},q_1^0,...,q_{2N-1}^0),l=1,...,2N-1$.
Решение уравнения Пфаффа получается как сумма парного решения.