Какая терминология. Рассказываю решение задачи. Могу построить ряд, являющийся решением уравнения Пфаффа и удовлетворяющий уравнениям характеристик. В каком смысле удовлетворяющий уравнениям характеристик. Мне проще привести решение, чем обосновывать постановку задачи, потому, что когда я абстрактно обосновываю, Вы понимаете совсем по другому.
Уравнения характеристик имеют решение
![$x_l(t)=x_l^0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^n x_l^0}{dt^n}\frac{(t-t_0)^n}{n!}$ $x_l(t)=x_l^0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^n x_l^0}{dt^n}\frac{(t-t_0)^n}{n!}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/e/e6e19682e055aef00a63cb0a89b95b2b82.png)
(1)
Откуда, разрешая это уравнение, получим
![$t-t_0=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ $t-t_0=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/e/2bed7975824e8fe8cc1e80813d43ee7282.png)
Тогда дифференциал
![$dU_l=A_ldx_l$ $dU_l=A_ldx_l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/2/a42df92ac4a1b12fe592aaf6569b8cb982.png)
вдоль уравнения характеристики можно представить в виде, подставив формулу (1)
![$dU_l=(\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n)(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}dt$ $dU_l=(\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n)(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}dt$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/1/0f1b027eb6065a7eb62f51e8a9d5f63e82.png)
перемножив эти два ряда и проинтегрировав, получим решение, в которое подставим значение
![$t-t_0=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ $t-t_0=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/e/2bed7975824e8fe8cc1e80813d43ee7282.png)
В результате получим
![$U_l=\sum_{n=0}^{\infty}b_{nl}[f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)]^{n+1}+const$ $U_l=\sum_{n=0}^{\infty}b_{nl}[f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)]^{n+1}+const$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/6/3b677984a2d125146b16f75f0d17413f82.png)
Cуммируя вклады от разных членов первого уравнения (оно имеет вид уравнений Пфаффа), получим потенциал, вычисленный вдоль решения системы уравнений характеристик.
![$U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ $U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/f/c5f521875126ad75327d9bf04faefed782.png)
Теперь докажем, что вычислив частную производную от величины потенциала по аргументу
![$x_l$ $x_l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86e3a64938b34725c419cfcb9e07009582.png)
, получим величину проекции градиента потенциала, т.е.
![$A_l$ $A_l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/1/ea19dc8be8c411c09c7006542e28cd4782.png)
![$\frac{\partial U}{\partial x_l}=(\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n)(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}\frac{dt}{dx_l}=\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n$=A_l(x_1,...,x_N) $\frac{\partial U}{\partial x_l}=(\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n)(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}\frac{dt}{dx_l}=\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n$=A_l(x_1,...,x_N)](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/3/67373a4843c1308e3a7618174cac5fa982.png)
Это справедливо в силу равенства
![$\frac{dx_l}{dt}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}$ $\frac{dx_l}{dt}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/3/6f36c63fd035ba7a44c136f1bfd96eda82.png)
т.е. использовав коэффициенты решения уравнений характеристик, можно построить ряд, являющийся решением уравнения Пфаффа вдоль уравнений характеристик. При этом это решение всегда существует при произвольных регулярных функциях
![$A_l(x_1,...,x_N),F_l(x_1,...,x_N)$ $A_l(x_1,...,x_N),F_l(x_1,...,x_N)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/9/849d0c8c0b59d8f4a2e73d99ca1db8a482.png)
без дополнительных условий.