Стандартная модель арифметики и все, все, все

[Sashamandra]

Ales в сообщении #279902 писал(а):

Странно, что физики вообще могут интересоваться обоснованием математики.

Это, конечно, перебор. Но книга Мизнера, Торна, Уилера, Гравитация заканчивается параграфом Предгеометрия как исчисление высказываний.
Но я лично интересуюсь основаниями математики с математической, хотя и непрофессиональной точки зрения.

[vek88]

Sashamandra в сообщении #279873 писал(а):

vek88 в сообщении #279866 писал(а):

И все-таки, стандартная модель арифметики, если не мудрить, - это:
- обычно понимаемые натуральные числа, если хотите, палочки;
- замкнутые арифметические формулы, построенные обычным образом (операции сложения и умножения, логические связки и кванторы);
- каждой из этих формул приписано значение истина/ложь в соответствии с ее содержательным смыслом.
И все.

И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают" бесконечные множества? И как вам это удается?
Вы прекрасно знаете, что конечной модели арифметики не существует. Поэтому поиск помощи у палочек тщетен.

Все понятно - еще не отошли от тех праздников, а тут грядет старый новый год. Ладно, что друг с другом не можем договориться - уже сами с собой впадаем в противоречие. Примеры? Пожалуйста:

- Вы пишете "И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают" бесконечные множества?" Т.е. Вы признали, что я работаю с бесконечными множествами.

- И тут же "конечной модели арифметики не существует". Но вот про это я нигде и не говорил - это Вы приписали мне такую гадость.

Что касается палочек, я хотел Вам напомнить, что можно вместо актуальной бесконечности исповедовать потенциальную. В последнем случае мы можем ограничиваться количеством палочек, необходимым в каждый момент, но при этом понимаем, что это количество может быть сколь угодно большим. При этом наша стандартная модель выглядит так:

1. Перечисляющий алгоритм перечисляет замкнутые арифметические формулы - например, по одной формуле в секунду.

2. А на выходе Вы приписываете каждой новой формуле значение ИСТИНА/ЛОЖЬ. И пожалуйста не ошибайтесь, а то нам тут потом расхлебывать.

Вот Вам конкретная реализация стандартной модели арифметики. Кстати вполне реализуемая на физическом уровне. Правда, видимо, вместо одной секунды надо задать такт 1 год, или даже 100 лет - ведь установление истинностного значения некоторых формул, например, об исинности Теоремы Ферма, потребует от Вас много времени. Но за 100 лет, думаю, справитесь.

А с кванторами на бесконечных множествах - я ж написал, что это не может быть сделано эффективно. Поэтому я и даю Вам по 100 лет на одну формулу.

Или Вы сомневаетесь в непротиворечивости стандартной модели арифметики? Не сомневайтесь - существует достаточно конструктивная (на уровне $\Pi_1^1$-множеств) непротиворечивая интерпретация стандартной модели.

[Ales]

Sashamandra в сообщении #279907 писал(а):

математическая физика это прежде всего функциональный анализ

Обычно физические модели используют дифференциальные уравнения. Их иногда решают с помощью разложения величин в степенные или тригонометрические ряды. Чтобы обосновать применение этих методов и были придуманы разные хитрости, в том числе и функциональный анализ. Но особого смысла в этом конечно не было, поскольку все величины могут быть измерены и посчитаны лишь с некоторой точностью, причем считают только несколько первых членов ряда. Поэтому все величины (функции): кусочно-гладкие и представимы многочленами. Так работали в 17, 18 и 19 веках. Да и сейчас так все работают. А эти обоснования ничего нового и интересного не дают.

[Sashamandra]

vek88 в сообщении #279914 писал(а):

Вы пишете "И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают" бесконечные множества?" Т.е. Вы признали, что я работаю с бесконечными множествами.

Я бы не хотел переходить на взаимные упреки и указывать на различие между вопросом и утверждением. При желании вы меня легко поймете, что я обращаю ваше внимание на проблемы, которые следует прояснить, а вовсе не пытаюсь что-то вам приписывать. Если вы говорите о палочках - это одно. Если вы говорите о бесконечной модели арифметики - это другое. Если вы говорите о потенциально бесконечности работы алгоритма - это уже третье.

vek88 в сообщении #279914 писал(а):

При этом наша стандартная модель выглядит так:
1. Перечисляющий алгоритм перечисляет замкнутые арифметические формулы - например, по одной формуле в секунду.
2. А на выходе Вы приписываете каждой новой формуле значение ИСТИНА/ЛОЖЬ. И пожалуйста не ошибайтесь, а то нам тут потом расхлебывать.

На основании чего я приписываю? Монетку подбрасываю? Получу противоречивую систему. Доказываю? Аксиоматика неполна. Делаю эксперименты? Не могу с бесконечными множествами.

vek88 в сообщении #279914 писал(а):

А с кванторами на бесконечных множествах - я ж написал, что это не может быть сделано эффективно. Поэтому я и даю Вам по 100 лет на одну формулу.

А что 100 лет больше года, если мы их сравниваем с бесконечностью?

vek88 в сообщении #279914 писал(а):

Или Вы сомневаетесь в непротиворечивости стандартной модели арифметики?

Не понимаю, о чем вы говорите. Противоречивыми могут быть теории, а не модели.

[vek88]

Ales в сообщении #279918 писал(а):

Sashamandra в сообщении #279907 писал(а):

математическая физика это прежде всего функциональный анализ

Обычно физические модели используют дифференциальные уравнения. Их иногда решают с помощью разложения величин в степенные или тригонометрические ряды. Чтобы обосновать применение этих методов и были придуманы разные хитрости, в том числе и функциональный анализ. Но особого смысла в этом конечно не было, поскольку все величины могут быть измерены и посчитаны лишь с некоторой точностью, причем считают только несколько первых членов ряда. Поэтому все величины (функции): кусочно-гладкие и представимы многочленами. Так работали в 17, 18 и 19 веках. Да и сейчас так все работают. А эти обоснования ничего нового и интересного не дают.

А ну-ка проверим, как Вы с тремя членами ряда и без оснований решите две задачи.

Задача 1. У Вас на руках акции компании ХХХ. Каждый день эти акции растут на 0,1%. На сколько процентов вырастут Ваши акции за 1000 дней. Решение должно быть устным! Точность - разумная. На эту задачу даю Вам 1 час.

Задача 2. Вы сделали заземление: закопали в землю (достаточно глубоко) металлический шар диаметром 20 см. От шара идет кабель к земле на электрощите Вашего коттеджика. Определите сопротивление этого заземления. Необходимые константы (удельную проводимость грунта) найдите в Интернете (тип грунта возьмите какой у Вас, или какой Вам нравится). На эту задачу даю Вам сутки.

Итак, время пошло. Сейчас 22:00 12 января 2010 г.

[Sashamandra]

Ales в сообщении #279918 писал(а):

Обычно физические модели используют дифференциальные уравнения. Их иногда решают с помощью разложения величин в степенные или тригонометрические ряды. Чтобы обосновать применение этих методов и были придуманы разные хитрости, в том числе и функциональный анализ.

Не люблю выступать в роли разрушителя чужих иллюзий. В нерелятивистской квантовой механике состояние связанной системы описывается вектором в бесконечномерном комплексном гильбертвом пространстве. Свободное состояние описывается как линейный функционал, заданный на этом гильбертовом пространстве.
Давайте не будем превращать математический форум в физический.

[Xaositect]

vek88 в сообщении #279924 писал(а):

Задача 1. У Вас на руках акции компании ХХХ. Каждый день эти акции растут на 0,1%. На сколько процентов вырастут Ваши акции за 1000 дней. Решение должно быть устным! Точность - разумная. На эту задачу даю Вам 1 час.

Примерно в $e$ раз, то бишь на 172 процента.

-- Вт янв 12, 2010 22:18:08 --

Sashamandra в сообщении #279925 писал(а):

Не люблю выступать в роли разрушителя чужих иллюзий. В нерелятивистской квантовой механике состояние связанной системы описывается вектором в бесконечномерном комплексном гильбертвом пространстве. Свободное состояние описывается как линейный функционал, заданный на этом гильбертовом пространстве.

Это все хорошо и нужно, но молекулы моделируют все равно на конечных автоматах, пусть у них и 8000 процессоров по миллиарду транзисторов в каждом и 50Тб оперативной памяти.

[vek88]

Sashamandra в сообщении #279925 писал(а):

В нерелятивистской квантовой механике состояние связанной системы описывается вектором в бесконечно мерном комплексном гильбертвом пространстве. Свободное состояние описывается сложнее.
Давайте не будем превращать математический форум в физический.

А в квантовой теории поля положение еще хуже. К примеру, пространство Фока (бесконечный вектор, $n$-я компонента которого - прямое произведение $n$ бесконечномерных гильбертовых простанств) вообще не поймешь, если обходиться тремя членами ряда.

Как физик, я здесь солидарен с Вами. И давайте дадим время Ales на решение задач. Одна из задач относится к физике, но она очень хорошо показывает, что трех членов ряда недостаточно.

Sashamandra в сообщении #279922 писал(а):

vek88 в сообщении #279914 писал(а):

При этом наша стандартная модель выглядит так:
1. Перечисляющий алгоритм перечисляет замкнутые арифметические формулы - например, по одной формуле в секунду.
2. А на выходе Вы приписываете каждой новой формуле значение ИСТИНА/ЛОЖЬ. И пожалуйста не ошибайтесь, а то нам тут потом расхлебывать.

На основании чего я приписываю? Монетку подбрасываю? Получу противоречивую систему. Доказываю? Аксиоматика неполна. Делаю эксперименты? Не могу с бесконечными множествами.

Это не мои проблемы - главное, что я знаю, арифметика непротиворечива и полна.

Sashamandra в сообщении #279922 писал(а):

vek88 в сообщении #279914 писал(а):

Или Вы сомневаетесь в непротиворечивости стандартной модели арифметики?

Не понимаю, о чем вы говорите. Противоречивыми могут быть теории, а не модели.

Да, Вы правы - я ошибся. Я имел в виду непротиворечивость арифметики.

[Ales]

vek88 в сообщении #279924 писал(а):

Задача 1. У Вас на руках акции компании ХХХ. Каждый день эти акции растут на 0,1%. На сколько процентов вырастут Ваши акции за 1000 дней. Решение должно быть устным! Точность - разумная. На эту задачу даю Вам 1 час.

Бином Ньютона с точностью до процента, достаточно первых шести членов (5!=120): $(1+\frac1 {1000})^{1000}=1+1+0.5+0.17+0.04+0.01=2.72$

[Sashamandra]

vek88 в сообщении #279932 писал(а):

Это не мои проблемы - главное, что я знаю, арифметика непротиворечива и полна.

Проблема, которая обсуждается в этой теме, непосредственно связана с теоремой Геделя о неполноте арифметики первого порядка. Если бы она была полна, то ее модель была бы единственной, то есть стандартной. Тогда в качестве определения стандартной модели выступала бы сама арифметика, то есть теория. А сейчас арифметика не может выступать в качестве определения натурального ряда.

[vek88]

Xaositect в сообщении #279927 писал(а):

vek88 в сообщении #279924 писал(а):

Задача 1. У Вас на руках акции компании ХХХ. Каждый день эти акции растут на 0,1%. На сколько процентов вырастут Ваши акции за 1000 дней. Решение должно быть устным! Точность - разумная. На эту задачу даю Вам 1 час.

Примерно в $e$ раз, то бишь на 172 процента.

Вообще-то задача была не для Вас. Но, поскольку Ales не выполнил требование устности решения, спасибо Вам за искомое устное решение.

Ales в сообщении #279934 писал(а):

Бином Ньютона с точностью до процента, достаточно первых шести членов (5!=120): $(1+\frac1 {1000})^{1000}=1+1+0.5+0.17+0.04+0.01=2.72$

Ваше решение не является устным! За эту задачу Вам двойка. Вы же не Вольф Мессинг, чтобы проделать эти вычисления устно.

А вот уважаемый Xaositect дал устное решение. И он также устно сможет решить эту задачу при условии, что каждый день акции растут на 10% - и мгновенно даст ответ $e^{10}$, что примерно равно ста тысячам. А у Вас будет еще больше членов ряда.

Все потому, что уважаемый Xaositect знает основы.

-- Ср янв 13, 2010 00:00:12 --

Sashamandra в сообщении #279938 писал(а):

vek88 в сообщении #279932 писал(а):

Это не мои проблемы - главное, что я знаю, арифметика непротиворечива и полна.

Проблема, которая обсуждается в этой теме, непосредственно связана с теоремой Геделя о неполноте арифметики первого порядка. Если бы она была полна, то ее модель была бы единственной, то есть стандартной. Тогда в качестве определения стандартной модели выступала бы сама арифметика, то есть теория. А сейчас арифметика не может выступать в качестве определения натурального ряда.

Теорема Геделя говорит о финитных формализациях арифметики. И возникает она только из-того, что арифметика неформализума финитно.

А я говорю о стандартной модели арифметики, а не о ее какой-либо (естественно, неполной) финитной формализации.

[Xaositect]

vek88 в сообщении #279939 писал(а):

Ваше решение не является устным! За эту задачу Вам двойка. Вы же не Вольф Мессинг, чтобы проделать эти вычисления устно.

Ну, справедливости ради, на втором курсе я в уме считал число $e$ до 3 знаков после запятой. Это сейчас я обленился, и компьютер интегралы за меня берет, но это вычисление в уме за пару минут проделать можно, здесь сложного ничего нет.

[Ales]

vek88 в сообщении #279924 писал(а):

Задача 2. Вы сделали заземление: закопали в землю (достаточно глубоко) металлический шар диаметром 20 см. От шара идет кабель к земле на электрощите Вашего коттеджика. Определите сопротивление этого заземления. Необходимые константы (удельную проводимость грунта) найдите в Интернете (тип грунта возьмите какой у Вас, или какой Вам нравится). На эту задачу даю Вам сутки.

Эту задачу я решать не буду. Она на мой взгляд некорректно поставлена: нужны специальные знания.
На практике такие конструкции должны подвергаться испытаниям, сопротивление находится эмпирически.
Если же Вы представите свой способ решения, я его разложу в ряд.

Да и как можно спорить с тем, что все величины получены из натуральных чисел конечным числом операций?

[vek88]

Ales в сообщении #279942 писал(а):

vek88 в сообщении #279924 писал(а):

Задача 2. Вы сделали заземление: закопали в землю (достаточно глубоко) металлический шар диаметром 20 см. От шара идет кабель к земле на электрощите Вашего коттеджика. Определите сопротивление этого заземления. Необходимые константы (удельную проводимость грунта) найдите в Интернете (тип грунта возьмите какой у Вас, или какой Вам нравится). На эту задачу даю Вам сутки.

Эту задачу я решать не буду. Она на мой взгляд некорректно поставлена: нужны специальные знания.
На практике такие конструкции должны подвергаться испытаниям, сопротивление находится эмпирически.
Если же Вы представите свой способ решения, я его разложу в ряд.

Да и как можно спорить с тем, что все величины получены из натуральных чисел конечным числом операций?

Задача 1. Исправляю Вам на тройку. Только благодаря заступничеству Xaositect.

По Задаче 2. Задача сформулирована корректно. Специальные знания (электротехнические, на уровне справочников) здесь могут помочь, но не обязательны. А вот некоторые основы урматов (уравнений математической физики) действительно пригодятся. А аппроксимировать отрезком ряда Тейлора найденное кем-то решение дифуров - так это и ежик сможет.

[Ales]

vek88 в сообщении #279939 писал(а):

Ваше решение не является устным! За эту задачу Вам двойка. Вы же не Вольф Мессинг, чтобы проделать эти вычисления устно.

Извините, Вы должны были проинформировать чему равен предел $(1+ \frac 1 n)^n$ и сообщить первые цифры основания натурального логарифма.