2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 17:48 
Аватара пользователя


01/12/06
129
Москва
Я сам не математик, а физик, поэтому лишен удовольствия от общения с рафинированными математиками. Мой вопрос не из области философии математики и не по поводу оснований математики. Мне хотелось бы узнать интуицию математиков, когда они употребляют выражение «стандартная модель арифметики». Что это такое для вас? Метафора, акт веры, школьное бессознательное или что-то иное. Поделитесь, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 18:40 


05/01/10
18
Ну знаете ли, у физиков не меньше недостатков.
Вопрос не совсем ясен. Есть определение понятия стандартная модель. Как человек, знающий это определение :D , могу вам сказать что оно(название "стандартная модель арифметики ") очень логично. Ведь мы привыкли понимать под арифметикой, натуральные числа и операцию $+$ - как суть плюс, а операцию $ *$ - как суть умножение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 18:45 
Аватара пользователя


01/12/06
129
Москва
tori в сообщении #279809 писал(а):
Есть определение понятия стандартная модель.

Это было бы лучше всего. И как она определяется? И почему это определение нельзя формализовать аксиоматически в теорию арифметики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 18:51 


20/12/09
1527
«стандартная модель арифметики» :?: Думаю, что не все математики знакомы с таким выражением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 18:57 
Аватара пользователя


01/12/06
129
Москва
Ales в сообщении #279812 писал(а):
«стандартная модель арифметики» :?: Думаю, что не все математики знакомы с таким выражением.

Что вы хотите этим сказать? Мне не совсем ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Sashamandra в сообщении #279810 писал(а):
tori в сообщении #279809 писал(а):
Есть определение понятия стандартная модель.

Это было бы лучше всего. И как она определяется? И почему это определение нельзя формализовать аксиоматически в теорию арифметики?

Как $\left<\omega, +, \cdot\right>$ :)
Это определение нельзя формализовать в теории первого порядка. Если разрешить говорить о множествах чисел, то все становится хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:11 
Аватара пользователя


01/12/06
129
Москва
Xaositect в сообщении #279819 писал(а):
Это определение нельзя формализовать в теории первого порядка.

Про теорию второго порядка всякие ужасы рассказывают. Вы ведь о логике говорите?
Xaositect в сообщении #279819 писал(а):
Если разрешить говорить о множествах чисел

Это теория с двумя сортами переменных первого порядка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:17 


05/01/10
18
Xaositect в сообщении #279819 писал(а):
Это определение нельзя формализовать в теории первого порядка. Если разрешить говорить о множествах чисел, то все становится хорошо.

Возможно я вас неправильно понял. Но, по-моему, понятие множества формализуются в логиках первого порядка(например через систему аксиом ZF), а понятие число тоже применять можно это константы или 0-арные ф-и.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:18 


15/10/09
1344
Sashamandra в сообщении #279781 писал(а):
Я сам не математик, а физик, поэтому лишен удовольствия от общения с рафинированными математиками. Мой вопрос не из области философии математики и не по поводу оснований математики. Мне хотелось бы узнать интуицию математиков, когда они употребляют выражение «стандартная модель арифметики». Что это такое для вас? Метафора, акт веры, школьное бессознательное или что-то иное. Поделитесь, пожалуйста.

:lol: А мы сами не местные, стояли на платформе, упали на пути, поездом карман отрезало, в нем были деньги кредитные карты, подайте кто сколько может. Это очень похоже на следующее.

:lol: А мы сами не математики, мы те-, мы -о-, мы -ретики, долбаем арифметики.

:mrgreen: Скажите пожалуйста, как это физик не знает математики?

:? Теперь об арифметике. Есть стандартные аксиоматики стандартной арифметики (аксиомы Пеано и т.д.). И я это все запомнил, но только позабыл. Поэтому скажу проще. Стандартная арифметика рассматривает логические высказывания о натуральных числах (например, Теорему Ферма), построенные с помощью:

- обычно понимаемых операций сложения и умножения;
- обычных логических связок И, ИЛИ;
- обычно понимаемого логического отрицания;
- обычно понимаемых кванторов существования и всеобщности.

:wink: И доказывает истинностить или ложность этих высказываний.

:wink: В принципе, можно сократить список, например, выкинув ИЛИ и квантор всеобщности (они выражаются стандартным образом через остальное). Если что забыл, дополняйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это я про арифметику второго порядка. Ну да, ужасы, ну и что?

Большинство математиков это не будут использовать нигде, кроме подготовки к экзамену по логике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:28 
Аватара пользователя


01/12/06
129
Москва
vek88 в сообщении #279825 писал(а):
Скажите пожалуйста, как это физик не знает математики?

Я не утверждал, что не знаю математики.
vek88 в сообщении #279825 писал(а):
Есть стандартные аксиоматики стандартной арифметики (аксиомы Пеано и т.д.)

Речь идет не о теории, а о модели теории.

-- Вт янв 12, 2010 20:32:49 --

Xaositect в сообщении #279830 писал(а):
Это я про арифметику второго порядка. Ну да, ужасы, ну и что?

Ужасы, но не ужасы-ужасы?
Отлично! Есть первая интуиция стандартной модели арифметики первого порядка. Это то, что определяет арифметика второго порядка.
Есть другие варианты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
tori в сообщении #279824 писал(а):
Возможно я вас неправильно понял. Но, по-моему, понятие множества формализуются в логиках первого порядка(например через систему аксиом ZF), а понятие число тоже применять можно это константы или 0-арные ф-и.

Понятие множества формальзуется по-разному.
Я не уверен, но вроде в ZFC можно придумать два множества $x$ и $y$ такие, что $x\in y$ независимо от ZFC, а в теории типов так не бывает. Пусть специалисты меня поправят.

-- Вт янв 12, 2010 19:36:26 --

Sashamandra в сообщении #279833 писал(а):
Отлично! Есть первая интуиция стандартной модели арифметики первого порядка. Это то, что определяет арифметика второго порядка.
Есть другие варианты?

Конструктивизм, числа из палочек. Мне она как-то ближе все-таки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:38 


05/01/10
18
-- Вт янв 12, 2010 19:39:00 --

Sashamandra в сообщении #279833 писал(а):
vek88 в сообщении #279825 писал(а):
Есть стандартные аксиоматики стандартной арифметики (аксиомы Пеано и т.д.)

Речь идет не о теории, а о модели теории.

:D Вы видимо неправильно поняли. Модель это не какое-то там слово, которое каждый понимает по своему. Это тоже термин из матлогики. Модель - это интерпретация, на которой все собственные аксиомы теории истинны.
П.С. слово интерпитация выше тоже не просто слово, а отдельный термин :D если надо можно и его чётко определить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:39 
Аватара пользователя


01/12/06
129
Москва
tori в сообщении #279824 писал(а):
по-моему, понятие множества формализуются в логиках первого порядка(например через систему аксиом ZF)

Если теория не имеет единственной модели, то она не смогла формализовать тот предмет, за который бралась. С помощью этой теории вы изучаете этот предмет и еще много чего, о чем вы даже не подозреваете.

-- Вт янв 12, 2010 20:48:57 --

Xaositect в сообщении #279838 писал(а):
Конструктивизм, числа из палочек. Мне она как-то ближе все-таки.

Отлично! Есть вторая интуиция стандартной модели арифметики. Но тут сразу большая проблема. Палочек всегда конечно, а модель бесконечна. Как быть? Как из конечных предметов возникает интуиция о бесконечном?

-- Вт янв 12, 2010 20:50:49 --

tori в сообщении #279842 писал(а):
Модель это не какое-то там слово, которое каждый понимает по своему. Это тоже термин из матлогики. Модель - это интерпретация, на которой все собственные аксиомы теории истинны.

Именно так мы и понимаем. Осталось выяснить, что такое стандартная модель арифметики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартная модель арифметики и все, все, все
Сообщение12.01.2010, 19:59 


05/01/10
18
Я попытаюсь пояснить на примере. Давайте придумаем модель арифметики, где например носитель будет не ряд натуральных чисел, а люди. значки $+ *$какие-то невероятные операции, определить по нормальному я даже не знаю как). Так вот, что вам "стандартнее" будет: та модель которая называется стандартной, или эта бредовая?
А вообще Ваш вопрос типа: Вот почему в физике есть понятие консервативные системы - они что старые или что :D . Хотя я может по прежнему вас не понимаю.
ПС: понятие стандартной не стандартной модели нету. Просто как следствие теоремы Гёделя о неполноте получается существование других(в корне других) моделей, видимо, по-этому нашу всем известную арифметьику решили обзывать СМА.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group