Стандартная модель арифметики и все, все, все

[Sashamandra]

Xaositect в сообщении #280180 писал(а):

Можно определить сложение, умножение и возведение в степень как примитивно рекурсивные функции.

Вы хотите сказать, что рекурсивные определения не используют понятий натурального числа и натурального ряда?

[Xaositect]

Sashamandra в сообщении #280185 писал(а):

Xaositect в сообщении #280180 писал(а):

Можно определить сложение, умножение и возведение в степень как примитивно рекурсивные функции.

Вы хотите сказать, что рекурсивные определения не используют понятий натурального числа и натурального ряда?

Вот сложение: выводимость "$Px-y-z$" означает, что $x+y=z$
$Nx\vdash Px--x$
$Nx,Ny,Nz,Px-y-z\vdash Px-y|-z|$

Еще можно задать алгоритмом.

[vek88]

Sashamandra в сообщении #280177 писал(а):

Вы даже не представляется, как много меня не устраивает. Есть принципиальные возражения, есть, так сказать, стилистические. Буду перечислять по порядку.
Во-первых. Я не приемлю использование переменный независимо от области ее определения. Другими словами, переменной можно пользоваться только в том случае, если область ее определения (или изменения, как хотите) задана.
Во-вторых. Вспомогательный знак $N$ я бы предпочел исключить как несущественный. Хотя не настаиваю.
В-третьих. Ваше выражение "Аксиома $N$" я просто не понял. Что это значит?
В-четвертых. Я знаю, что пустые слова широко используют в теории алгоритмов. Но я бы предпочел начинать с некого знака, например, 0 или 1 как исходного.
Пожалуй лишь к правилу вывода у меня нет замечаний.
В результате мы не определили ни одного числа. Разве что 0 или 1, которых у вас не было.
Согласен, что если есть число, мы можем эффективно в этом убедиться.
Вот такие мы разные. Что прикажете делать?

1. Про переменную Вам уже ответил уважаемый Xaositect. Данная переменная определена на множестве всех слов в рассматриваемом алфавите, состоящем из единственного знака /. Добавлю, что это, строго говоря, схема правил вывода. Т.е. совокупность всех правил вывода, получаемых подстановкой вместо $x$ слов в рассматриваемом алфавите.
2. Вспомогательный знак $N$ можно исключить, но я вставил его для дальнейшего использования.
3,4. Пожалуйста, по просьбам трудящихся вводим еще один знак (основного) алфавита - пусть это будет 0 (ноль). Тогда аксиома примет вид: $N0$. Разумеется теперь вместо $x$ можно подставлять любые слова в алфавите {0, /}.

Так лучше?

[Sashamandra]

Xaositect в сообщении #280188 писал(а):

Вот сложение

А вы сами в каком смысле используете переменные?

-- Ср янв 13, 2010 19:40:16 --

vek88 в сообщении #280191 писал(а):

Данная переменная определена на множестве всех слов в рассматриваемом алфавите, состоящем из единственного знака /.

Раз так, раз в основании стандартной модели арифметики или натурального ряда лежит понятие "множество всех слов в рассматриваемом алфавите" можно все опять оставить и сконцентрироваться на этом понятии. Ведь ясно, что оно не проще и не сложнее натурального ряда.

[vek88]

Sashamandra в сообщении #280192 писал(а):

Xaositect в сообщении #280188 писал(а):

Вот сложение

А вы сами в каком смысле используете переменные?

-- Ср янв 13, 2010 19:40:16 --

vek88 в сообщении #280191 писал(а):

Данная переменная определена на множестве всех слов в рассматриваемом алфавите, состоящем из единственного знака /.

Раз так, раз в основании стандартной модели арифметики или натурального ряда лежит понятие "множество всех слов в рассматриваемом алфавите" можно все опять оставить и сконцентрироваться на этом понятии. Ведь ясно, что оно не проще и не сложнее натурального ряда.

Уважаемый Sashamandra!

Вы начали со стандартной модели арифметики. И успешно поправляли меня, когда я ошибался. Вы нас успешно запутали в том смысле, что убедили нас в Вашем знании основ аксиоматизации, теорий, моделей. Мы думали, что Вы отличаете арифметику от "голенького" множества $N$. А для Вас это одно и то же. Мы думали, что Вы понимаете, что такое пустое слово, и опять мы лопухнулись. И т. д.

Мы глубоко ошиблись - приняли Вас не за того - виноваты.

Осознав нашу ошибку, я (за других не отвечаю) прекращаю обсуждение данной темы с Вами.

А Вас отсылаю ... к изучению азов. Например, посмотрите книгу, которую я упоминал где-то в другой теме. Это Мартин-Лёф, Очерки по конструктивной математике, глава 1 до раздела 7 включительно. На 30 страницах Вы найдете много полезного - специальные знания при изучении материала Вам не понадобятся.

Еще где-то в другой теме фигурировала тоненькая книжка "Представление в ЭВМ неформальных процедур" (найдите через Яндекс). Там Вы найдете нефинитные формализации, в т.ч. арифметики.

А если уж Вас эти или аналогичные книги не убедят ни в чем по поводу множества $N$ и арифметики - ну это будет абзац - в этом случае я ничем не смогу Вам помочь.

С уважением,
vek88

[Xaositect]

Sashamandra в сообщении #280192 писал(а):

А вы сами в каком смысле используете переменные?

Исключительно для удобства записи алгоритма (правила вывода). По сути запись схемы правил вывода задает алгоритм, основные операции в котором - pattern matching и конкатенация строк.

Sashamandra в сообщении #280192 писал(а):

Раз так, раз в основании стандартной модели арифметики или натурального ряда лежит понятие "множество всех слов в рассматриваемом алфавите" можно все опять оставить и сконцентрироваться на этом понятии. Ведь ясно, что оно не проще и не сложнее натурального ряда.

А нам не нужно множество всех строк, нужны только сами строки (конечные) и простые операции над ними.

Почитайте начало "Теории алгорифмов" Маркова и Нагорного, там это объясняется.

[Sashamandra]

Уважаемый vek88!

Зачем вы сердитесь на меня? Если вы чего-то не поняли, на мой счет, то не по моей вине. Я никого не обманывал и не стремился обмануть. Я был с вами честен. Я не просил ни у кого помощи. Я просил поделиться своими интуициями и пониманиями. Со своей стороны я мог бы предложить свои. За участие в беседе я вам благодарен.

А вот приписывать мне заблуждения это нехорошо. Арифметика - это теория, а N - это предмет теории. Что сложного в понимании пустого слова? Я считаю, что его не следует употреблять не к месту. Почему? Это уже другой вопрос. И не думайте, что я не читал Мартин-Лёфа. Если он для вас авторитет и источник истины, пожалуйста. Я же не возражаю. Я вас попросил только обосновать существование множества слов данного алфавита. Вам нечего ответить? Это не ваша вина. Эта объективная проблема.

Впрочем, всего хорошего.

[AlexDem]

Sashamandra в сообщении #280254 писал(а):

Со своей стороны я мог бы предложить свои.

Sashamandra, ну уж поделились бы уже... Я года три уже голову ломаю, зачем Вам это может понадобиться

[Sashamandra]

Xaositect в сообщении #280250 писал(а):

Почитайте начало "Теории алгорифмов" Маркова и Нагорного, там это объясняется.

Кажется, я понял, в чем проблема. Для вас изложение предмета в авторитетном учебнике является решением вопроса. Кто не согласен, тот просто не в теме.

[Xaositect]

Sashamandra в сообщении #280259 писал(а):

Xaositect в сообщении #280250 писал(а):

Почитайте начало "Теории алгорифмов" Маркова и Нагорного, там это объясняется.

Кажется, я понял, в чем проблема. Для вас изложение предмета в авторитетном учебнике является решением вопроса. Кто не согласен, тот просто не в теме.

Учебники служат в основном не для того, чтобы давать решение вопроса, а чтобы дать понимание некоторой области.
Я советую эту книгу потому, что в ней огромное внимание уделяется именно понятиям символа, строки в алфавите и операций над ними, а также философии конструктивизма.

-- Ср янв 13, 2010 20:37:13 --

Если Вы уж так хотите услышать мою точку зрения, то вот она.
Натуральные числа - это конструктивные объекты, полученные приписыванием символа $|$ к пустому слову.
Это определение дает алгоритм, позволяющий определить, является ли данная строка натуральным числом или нет.
Поскльку множество характеризуется своими элементами, то мы получаем понятие множества натуральных чисел, поскольку можем эффективно отделить строки, принадлежащие ему, от строк, ему не принадлежащих.
Этот алгоритм определяет множество натуральных чисел, он в некотором смысле и есть множество натуральных чисел

[Ales]

vek88 в сообщении #280168 писал(а):

Переменная:
Знак: /
Вспомогательный знак:
Комментарий: для удобства дальнейших ссылок знак маркирует натуральные числа
Аксиома:
Комментарий: пустое слово - это натуральное число.
Правило вывода: если , то
Комментарий: приписывание палочки дает следующее натуральное число.

Хитрые математики прикрываются сложным формализмом, а на самом деле они до сих пор считают с помощью палочек как первоклассники.

-- Чт янв 14, 2010 14:38:00 --

Xaositect в сообщении #280260 писал(а):

Натуральные числа - это конструктивные объекты, полученные приписыванием символа к пустому слову.

Ну если это конструктивные объекты, то должен быть указан также и способ приписывания: например карандашом на листе бумаги. При этом следует также регламентировать длину, толщину, наклон палочки, расстояние между ними и т.п.
Свойства носителя информации не должны игнорироваться, или не так?

-- Чт янв 14, 2010 14:44:32 --

На одних палочках, полагаю, можно построить арифметику малых чисел (например до 12), и то без умножения. Для умножения нужна позиционная запись чисел.

[Xaositect]

Ales в сообщении #280418 писал(а):

Ну если это конструктивные объекты, то должен быть указан также и способ приписывания: например карандашом на листе бумаги. При этом следует также регламентировать длину, толщину, наклон палочки, расстояние между ними и т.п.

Символ - это нечто. Считаем, что для двух символов определено их графическое равенство (т.е. человек может сказать, что это один и тот же символ). Далее, человеку интуитивно понятно, как приписать к слову еще один символ.
Не помню, как у классиков, но я считаю, что символы можно писать хоть вилами на воде (в том числе воображаемыми вилами по воображаемой воде).

Ales в сообщении #280418 писал(а):

Свойства носителя информации не должны игнорироваться, или не так?

Ну мы же математики, зачем нам париться о свойствах носителя информации?

-- Чт янв 14, 2010 14:57:05 --

Ales в сообщении #280418 писал(а):

На одних палочках, полагаю, можно построить арифметику малых чисел (например до 12), и то без умножения. Для умножения нужна позиционная запись чисел.

Умножение задается алгоритмом: приписывать первое число к изначально пустому слову, стирая при каждом переписывании одну палочку у второго, пока они не кончатся.

[Ales]

Позиционная запись позволяет сравнивать довольно большие числа, складывать их, вычитать и с помощью эмпирической таблицы умножения умножать и делить с остатком. Но все равно даже такие большие числа ограничены физическими свойствами способа и носителя записи.

-- Чт янв 14, 2010 15:05:09 --

Xaositect в сообщении #280424 писал(а):

Не помню, как у классиков, но я считаю, что символы можно писать хоть вилами на воде (в том числе воображаемыми вилами по воображаемой воде).

Ну тогда это будут воображаемые символы. Не надежно это.

-- Чт янв 14, 2010 15:07:09 --

Xaositect в сообщении #280424 писал(а):

Умножение задается алгоритмом: приписывать первое число к изначально пустому слову, стирая при каждом переписывании одну палочку у второго, пока они не кончатся.

Но на практике ведь так не делают.

[Xaositect]

Ales в сообщении #280426 писал(а):

Позиционная запись позволяет сравнивать довольно большие числа, складывать их, вычитать и с помощью эмпирической таблицы умножения умножать и делить с остатком. Но все равно даже такие большие числа ограничены физическими свойствами способа и носителя записи.

Разумеется, я только не понимаю. почему таблица умножения эмпирическая? в том смысле, что она получается из скаладывания палочек прямоугольником?

Ales в сообщении #280426 писал(а):

Ну тогда это будут воображаемые символы. Не надежно это.

Достаточно надежно, главное, чтобы можно было скопировать их из "приватной" памяти человека в реальный мир.

Ales в сообщении #280426 писал(а):

Но на практике ведь так не делают.

А кто говорил о практике? Мы говорим об основаниях.

[Ales]

Xaositect в сообщении #280424 писал(а):

Ну мы же математики, зачем нам париться о свойствах носителя информации?

Думаю, что математики должны все предусматривать. Контроль за носителем информации необходим, иначе как гарантировать, что на нем записано именно то, что писалось.