И все-таки, стандартная модель арифметики, если не мудрить, - это:
- обычно понимаемые натуральные числа, если хотите, палочки;
- замкнутые арифметические формулы, построенные обычным образом (операции сложения и умножения, логические связки и кванторы);
- каждой из этих формул приписано значение истина/ложь в соответствии с ее содержательным смыслом.
И все.
И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают" бесконечные множества? И как вам это удается?
Вы прекрасно знаете, что конечной модели арифметики не существует. Поэтому поиск помощи у палочек тщетен.
Все понятно - еще не отошли от тех праздников, а тут грядет старый новый год. Ладно, что друг с другом не можем договориться - уже сами с собой впадаем в противоречие. Примеры? Пожалуйста:
- Вы пишете "И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают"
бесконечные множества?" Т.е. Вы признали, что я работаю с
бесконечными множествами.
- И тут же "конечной модели арифметики не существует". Но вот про это я нигде и не говорил - это Вы приписали мне такую гадость.
Что касается палочек, я хотел Вам напомнить, что можно вместо актуальной бесконечности исповедовать
потенциальную. В последнем случае мы можем ограничиваться количеством палочек, необходимым в каждый момент, но при этом понимаем, что это количество может быть сколь угодно большим. При этом наша стандартная модель выглядит так:
1. Перечисляющий алгоритм перечисляет замкнутые арифметические формулы - например, по одной формуле в секунду.
2. А на выходе Вы приписываете каждой новой формуле значение ИСТИНА/ЛОЖЬ. И пожалуйста не ошибайтесь, а то нам тут потом расхлебывать.
Вот Вам конкретная реализация стандартной модели арифметики. Кстати вполне реализуемая на физическом уровне. Правда, видимо, вместо одной секунды надо задать такт 1 год, или даже 100 лет - ведь установление истинностного значения некоторых формул, например, об исинности Теоремы Ферма, потребует от Вас много времени. Но за 100 лет, думаю, справитесь.
А с кванторами на бесконечных множествах - я ж написал, что это не может быть сделано эффективно. Поэтому я и даю Вам по 100 лет на одну формулу.
Или Вы сомневаетесь в непротиворечивости стандартной модели арифметики? Не сомневайтесь - существует достаточно конструктивная (на уровне
-множеств) непротиворечивая интерпретация стандартной модели.