Стандартная модель арифметики и все, все, все

[Xaositect]

tori
Если мы добавим к арифметике аксиому $\exists x \forall n (x>n)$, то такая арифметика по теореме компактности будет иметь модель. В этой модели будут существовать "бесконечные" числа. Такие модели называются нестандартными моделями арифметики Пеано, есть такой термин.

[Sashamandra]

tori в сообщении #279858 писал(а):

Так вот, что вам "стандартнее" будет: та модель которая называется стандартной, или эта бредовая?

Нет, проблема совсем в другом месте. Дело в том, что теория натуральных чисел или арифметика типа Пеано имеет множество неизоморфных моделей. А с другой стороны, у нас есть определенная интуиция, что есть натуральное число и натуральный ряд. Считается или верится, что нашей интуиции соответствует минимальная модель из всех возможных нестандартных моделей теории. Но делать подобные утверждения осмысленно, если есть какая-то определенность в том, что такое эта минимальная или стандартная модель. А этого как бы нет. То есть как бы есть, и как бы нет. По крайней мере у меня создается такое впечатление. Поэтому я и поднял этот вопрос, чтобы выяснить, как сами математики переживают эту проблему.

[vek88]

В каждый момент у нас конечное число палочек, но мы всегда можем настрогать еще.

И все-таки, стандартная модель арифметики, если не мудрить, - это:
- обычно понимаемые натуральные числа, если хотите, палочки;
- замкнутые арифметические формулы, построенные обычным образом (операции сложения и умножения, логические связки и кванторы);
- каждой из этих формул приписано значение истина/ложь в соответствии с ее содержательным смыслом.

И все.

На всякий случай надо отметить, что множество всех формул арифметики рекурсивно перечислимо, т. е. мы можем эффективно построить все формулы арифметики и эффективно проверить любую формулу на предмет принадлежности ее к формулам нашей арифметики (например, с помощью некоторого алгоритма).

А вот эффективно определить истиность/ложность арифметических формул - это невозможно. Но это наши трудности, а не стандартной модели арифметики.

[tori]

Xaositect в сообщении #279859 писал(а):

tori
Если мы добавим к арифметике аксиому $\exists x \forall n (x>n)$, то такая арифметика по теореме компактности будет иметь модель. В этой модели будут существовать "бесконечные" числа. Такие модели называются нестандартными моделями арифметики Пеано, есть такой термин.

1. Оно то может быть да. Но понятие просто стандартной\нестандартной модели(не конкретно арифметики) я не знаю, я вот об этом говорил.
2. Честно сказать про это систему я не слышал. И мне, по правде, сказать это определение не нравиться. Есть понятие формальная арифметика - 4 аксиомы логические, 7 - собственных, 5 правил вывода. Как можно добавлять/убирать аксиомы, и говорить о той же формальной арифметике. Я бы назвал
это не "нестандартной моделью",а сужением некоторой теории первого порядка, похожей на Формальную Арифметику. В общем дайте линк где можно почитать про это, и где и вводиться это понятие.

[Sashamandra]

vek88 в сообщении #279866 писал(а):

В каждый момент у нас конечное число палочек, но мы всегда можем настрогать еще.

И получим конечное число палочек.

vek88 в сообщении #279866 писал(а):

И все-таки, стандартная модель арифметики, если не мудрить, - это:
- обычно понимаемые натуральные числа, если хотите, палочки;
- замкнутые арифметические формулы, построенные обычным образом (операции сложения и умножения, логические связки и кванторы);
- каждой из этих формул приписано значение истина/ложь в соответствии с ее содержательным смыслом.
И все.

И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают" бесконечные множества? И как вам это удается?
Вы прекрасно знаете, что конечной модели арифметики не существует. Поэтому поиск помощи у палочек тщетен.

[tori]

Sashamandra в сообщении #279864 писал(а):

tori в сообщении #279858 писал(а):

Так вот, что вам "стандартнее" будет: та модель которая называется стандартной, или эта бредовая?

Нет, проблема совсем в другом месте. Дело в том, что теория натуральных чисел или арифметика типа Пеано имеет множество неизоморфных моделей. А с другой стороны, у нас есть определенная интуиция, что есть натуральное число и натуральный ряд. Считается или верится, что нашей интуиции соответствует минимальная модель из всех возможных нестандартных моделей теории. Но делать подобные утверждения осмысленно, если есть какая-то определенность в том, что такое эта минимальная или стандартная модель. А этого как бы нет. То есть как бы есть, и как бы нет. По крайней мере у меня создается такое впечатление. Поэтому я и поднял этот вопрос, чтобы выяснить, как сами математики переживают эту проблему.

1.Я вижу вы разбираетесь в логике по-лучше среднестатистического второкурсника), а говорили физик.
2. С этого надо было начинать, вам ясно определение, но неясны философские аспекты выбора конкретного названия.
3. В философии не силён, да и проблемы не вижу.

Цитата:

И формулам с кванторами всеобщности вы приписываете значение истинности и когда переменные "пробегают" бесконечные множества?

Это нормально, просто есть 2 подхода, формалисткий(это Гильберт например), и констктивный(Брауер, Гейтинг, А. А.Марков), так вот у вас подход как раз конструктивисткий, вы затронули совсем другую логику, интуиционниской кстати называеться ,а также схожая с ней конструктивная логик .

[Sashamandra]

tori в сообщении #279880 писал(а):

1.Я вижу вы разбираетесь в логике по-лучше среднестатистического второкурсника), а говорили физик.

Какой смысл мне обманывать? К математике у меня личное отношение.

tori в сообщении #279880 писал(а):

2. С этого надо было начинать, вам ясно определение

Определение мне как раз неясно. Даже неясны интуиции, на которые здесь математики опираются

tori в сообщении #279880 писал(а):

3. В философии не силён, да и проблемы не вижу.

Наверно, в этом все дело. Можно не задумываться и называть это философской проблемой. Но на мой взгляд, здесь просто отсутствие самого предмета исследования: натурального ряда чисел.

tori в сообщении #279880 писал(а):

Это нормально, просто есть 2 подхода, формалисткий(это Гильберт например), и констктивный(Брауер, Гейтинг, А. А.Марков)

Формализм можно было бы принять, если бы существовала единственная модель теории.
Интуиционизм можно было бы принять, если бы он смог построить математику хотя бы в той мере, в какой ей пользуются физики.

[tori]

Куда вы копаете я снова запутался. Давай те скажем как "рафинированные" математики. И всех моделей арифметики, такая что (уже говорили - тройка $\{N,+,*\}$, где $+ *$ - операции в обычном смысле над натуральными числами ) НАЗОВЁМ стандартной моделью арифметики(определение такое, чего его обсуждать). Как я говорил нет определений/критериев что бы сказать - вот та модель стандартна, эта нестандартна. Так обозвали только для арифметики.
И в конце-концов, когда придумали называть СМА, то я думаю не собирались, что б слово станадартная в термине СМА как-то перекликалась с неким философским тезисом, а именно

Цитата:

Считается или верится, что нашей интуиции соответствует минимальная модель из всех возможных нестандартных моделей теории.

[Ales]

Sashamandra в сообщении #279816 писал(а):

Ales в сообщении #279812 писал(а):

«стандартная модель арифметики» Думаю, что не все математики знакомы с таким выражением.

Что вы хотите этим сказать? Мне не совсем ясно.

Я, например, с таким выражением раньше не сталкивался (или игнорировал). Ваш вопрос лучше адресовать к узким специалистам, а не ко всем математикам. Обидно, понимаешь.

[Xaositect]

Sashamandra в сообщении #279884 писал(а):

Интуиционизм можно было бы принять, если бы он смог построить математику хотя бы в той мере, в какой ей пользуются физики.

А чего не хватает для физики?

[Sashamandra]

Xaositect в сообщении #279891 писал(а):

А чего не хватает для физики?

Физике нужна вся классическая математика, построенная в ZF. За исключением абстрактных разделов теории множеств, основанных на общей аксиоме выбора. Типа полного упорядочения любых множеств и шкалы кардиналов.

[Xaositect]

Sashamandra в сообщении #279898 писал(а):

Xaositect в сообщении #279891 писал(а):

А чего не хватает для физики?

Физике нужна вся классическая математика, построенная в ZF. За исключением абстрактных разделов теории множеств, основанных на общей аксиоме выбора. Типа полного упорядочения любых множеств и шкалы кардиналов.

Я, честно говоря, думал, что физике будет достаточно вместо, скажем, $f\in C[a,b], f(a)>0, f(b)<0 \Rightarrow \exists x\in[a,b]: f(x)=0$ конструктивной версии $f\text{ - конструктивна}, f(a)>\varepsilon, f(b)<-\varepsilon \Rightarrow \exists x\in [a,b]: |f(x)|<\varepsilon$

[Ales]

Странно, что физики вообще могут интересоваться обоснованием математики. Если формулы и теории работают на практике, то этого должно быть достаточно. Все надо проверять на опыте. Ваши действия приводят к успеху - значит все нормально, нет - ищите что-то другое.

В самой физике никогда не рассматривают альтернативные гипотезы, всегда доказывают свою гипотезу. К чему говорить о разной математической экзотике, когда разные физические модели принимаются или отвергаются только на основании личного вкуса (относительность, эфир, атомы, кванты, струны и т.п.).

[Sashamandra]

Xaositect в сообщении #279901 писал(а):

Я, честно говоря, думал, что физике будет достаточно вместо, скажем, $f\in C[a,b], f(a)>0, f(b)<0 \Rightarrow \exists x\in[a,b]: f(x)=0$ конструктивной версии $f\text{ - конструктивна}, f(a)>\varepsilon, f(b)<-\varepsilon \Rightarrow \exists x\in [a,b]: |f(x)|<\varepsilon$

Не могу сказать за всю физику, но думаю, что для 19-го века этого было бы недостаточно. В 20-ом же веке математическая физика это прежде всего функциональный анализ. Ведь вы не могил не слышать про квантовую теорию поля. А в ОТО полностью используется топология. А ОТО относится еще к классической, а не квантовой физике

[Ales]

Что толку от обоснований математики, если физическая модель не верна. А если модель верна, то ее математику можно считать частью этой модели. И работу модели надо проверять на опыте, как учил Роберт Бойль - в расчетах всегда могут быть ошибки.