Уважаемый AGu!
Вы мне все мозги разбили на части. А попроще нельзя?
Я просто попытался с упреждением ответить на возможные вопросы. Обычно разговор о том, что такое натуральные числа, углубляется в формализацию и наталкивается на «порочный круг»: понятие натурального числа вводится в метатеории, основные конструкции которой, в свою очередь, так или иначе опираются на понятие натурального числа и т.д. Видать, перестарался. Извините.
Вот в заголовке страницы "Дискуссионные темы" сформулирована теорема Ферма: для любого натурального
уравнение
не имеет натуральных решений a, b, c. Можно это записать очевидным образом с помощью кванторов совершенно формально. Это будет пример замкнутой формулы арифметики.
Разумеется, все замкнутые формулы арифметики можно определить
эффективно, например, посредством алгоритма.
И, разумеется,
любая такая формула обязательно истинна или ложна (хотя это уже алгоритмически неразрешимо).
Тут я все понял и со всем согласен. А дальше — туман.
Так это ли не арифметика?
Что «это»? И что в данном случае понимается под словом «арифметика»? Если наука, то да, это все относится, в том числе, к арифметике (а еще к теории моделей и вычислимости). Если же здесь «арифметика» — математический термин, то нет, так как во фразе «это ли не арифметика» я не вижу математического утверждения. В математическом смысле арифметика — это либо теория (одна из конкретных), либо модель (тоже одна из конкретных).
Неужели нужно что-то еще?
Нужно для чего?
Или Вы сомневаетесь в полноте и непротиворечивости такой арифметики.
Не сомневаюсь. Это легко доказуемо (в метатеории). Почему Вам показалось, что я в этом сомневаюсь?
P.S. Возможно, мое недопонимание вызвано тем, что я не прочитал всю ветку. (Тут, кажется, была какая-то полемика, но я ее пропустил.)