Уважаемый Time, так вы нам разъясните тот смысл который вы вкладываете в логарифм в комплексном случае?
Разрешите, поправлю.. Не в комплексном (тут общепринятый смысл логарифма давно определился - это точечный источник не принципиально важно чего: идеальной жидкости, теплоты или электрического поля, естественно, только в двух измерениях), а в гиперболически комплексном случае, или от двойной переменной.
Не знаю почему, но физики предпочли интерпретировать h-аналитические функции двойной переменной не по образу и подобию обычных аналитических функций, то есть, как комплексных потенциалов идеальных векторных полей двумерного пространства (вернее, пространства-времени, так как метрика у двойных чисел с иной сигнатурой), а в смысле пары плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях со световой скоростью. Эта интерпретация следует из того математического факта, что произвольную h-аналитическую функцию можно представить в изотропном (состоящем из делителей нуля) базисе, как комплекс вида:
где
и
- произвольные аналитические функции от одной вещественной переменной каждая (которые и задают почти произвольный профиль волн), а
и
- вектора изотропного базиса, или иными словами, два канонических вектора светового конуса псевдоевклидовой плоскости.
Спору нет, такая интерпретация вполне возможна и именно о ней пытаетесь говорить вы, но она не дает максимально полного представления, ни о самой h-аналитической функции, ни о явлении, которое всегда можно за ней видеть. Существенно более интересна полевая интерпретация h-аналитических функций, практически один в один повторяющая полевую интерпретацию обычных аналитических функций комплексной переменной.
Вспомним, как было в комплексном случае.. Логарифм раскладывался на комплекс из двух скалярных функций:
Придание различных постоянных значений первой из функций
давало семейство линий уровня (линии постоянного потенциала), а второй -
- семейство линий тока. Вместе эта пара семейств образовывала векторные линии двух взаимноортогональных полей, обладающих потенциальностью и соленоидальностью, что интерпретировалось как отсутствие точечных (двумерных) источников и точечных (также двумерных) вихрей в областях, где исходная комплексная функция аналитична. Не трудно убедиться, что семейство линий уровня для логарифма это концентрические окружности, а семейство линий тока - радиальные линии пересекающиеся в их общем центре. Собственно, именно этот факт и приводит к пониманию, что перед нами точечный источник.
Но этого мало. Мы легко можем "вытащить" из функции
существенно больше информации. Например функция, являющаяся производной от исходной:
,
вернее, комплексно сопряженная к ней, задает поле комплексной скорости, то есть, ее скалярные компоненты могут интерпретироваться как проекции на координатные оси скорости идеальной жидкости в каждой точке исходного векторного поля (ну, или компоненты напряженностей поля, при электромагнитной интерпретации).
Ни что не мешает вычислить следующую производную:
и понимать под получающейся новой комплекснозначной функцией комплексное ускорение. И так далее до бесконечности. То есть, с заданием одной единственной аналитической функции нам становятся известными все характеристики связываемого с нею физического явления.
Но и этого мало. СтОит положить константу
не вещественной, а комплексной величиной:
,
как связанное с новой функцией поле из поля точечного источника превращается в поле точечного вихреисточника с источником мощности
и вихрем мощности
, находящимися в одной точке, в данном случае, в начале координат.
Но и этого мало. Мы теперь можем размещать источники и вихри с различными мощностями, зависящими от точки, в различных местах плоскости, хоть с дискретным законом распределения, хоть с непрерывным и получать в результате суммирования (или интегрирования при непрерывных распределениях) аналитические функции, описывающие новые потенциальные и соленоидальные поля с новыми точками и областями, где аналитичность нарушается.
Все это банальные и давно известные вещи. Именно их вы назвали академической стариной, которая хоть и уважаема, но давно отодвинута на задворки, оставшись, в лучшем случае, в качестве классических учебных примеров. Одной из причин досрочной "отправки на пенсию" аналитических функций является математический факт, что построить трех- (четырех-, пяти- и более) многомерное обобщение аналитических функций комплексной переменной в евклидовой (а в скобках отмечу, что и в многомерной псевдоевклидовой) геометрии - принципиально невозможно. На то давно доказана теорема Фробениуса, по сути гласящая, что поле комплексных чисел - последняя возможность оперировать с аналитическими функциями в евклидовых пространствах.
Однако вот тут - самое время вспомнить про двойные числа. Ни формально, ни фактически они под запрет теоремы Фробениуса не попадают. Главным образом потому, что им соответствует хоть и двумерная, но неевклидова геометрия, основная особенность которой оказывается в наличии светового конуса, а на языке математики - делителей нуля, желательное отсутствие которых во многих теоремах (в том числе и Фробениуса) оговаривается особо. Не знаю как математикам, а физикам световой конус (а, значит, и делители нуля) не то что не портят жизни, наоборот, они сами без него жизни не представляют. Казалось бы, тут-то и стОит развернуться, дав аналогичную интерпретацию как было в комплексном случае h-аналитическим функциям двойной переменной. Однако, не тут-то и было. Увидав, что таким функциям соответствует пара волн, этим почти
ВСЕ физики и ограничились. Я еще не встречал полевой их интерпретации, хотя она не только элементарна, она один в один повторяет полевую интерпретацию аналитических функций комплексной переменной, ну, разве что, с естественным своеобразием наличия в пространстве-времени светового конуса. Извините, но не могу удержаться и не напомнить про студентов первокурсников, а то и старшеклассников, которым вполне под силу подобные элементарные построения
Давайте здесь немного помечтаем и представим, что полевая интерпретация h-аналитических функций двойной переменной ровно ничем не хуже аналогичной интерпретации функций от обычной комплексной переменной. Но в отличие от последней, для которой есть запрет на увеличение размерности евклидова пространства, в данном случае подобной запрещающей теоремы, вроде как, нет. Более того, давно известно, какие многокомпонентные числа обобщают h-комплексный анализ. Фактически это означает, что хотя прямое расширение самой красивой и лаконичной области математики под названием ТФКП на несколько пространственных измерений и не возможно, это не запрещено сделать на три и более пространственно-временных измерений, перейдя от комплексных чисел к гиперкомплексным, у которых также есть h-анализ. Единственная неприятность - для трех-, четырех-, и т.д. измерений это будет уже не старое-доброе псевдоевклидово пространство-время (как было в случае двух компонент и двойных чисел), а
ДРУГОЕ пространство-время, с метрикой, которая задается самими гиперчислами, и которая, как вы уже догадались, окажется финслеровой с n-арностью метрической формы равной числу измерений пространства-времени.
Вернемся к нашему логарифму от двойных чисел (замечу, что на его месте могла бы быть любая другая h-аналитическая функция, причем не только от двумерных но и n-мерных гиперчисел, обладающих h-аналитичностью). Ее, как и в комплексном случае, в
ортонормированном базисе можно представить в виде комплекса из двух скалярных функций:
Далее поступим по аналогии с комплексным случаем и положим, что с
связаны линии уровня, а с
- линии тока особого векторного поля в двумерном пространстве-времени, координатами которого являются
и
. Не сложно видеть, что
дает семейство концентрических гипербол с центром в начале отсчета, а
- семейство радиальных линий с общей точкой также в начале отсчета. Надеюсь, не сложно увидеть, что перед нами "портрет" точно такого же точечного источника, что и в случае обычного комплексного логарифма, только не в двумерном пространстве, а в двумерном пространстве-времени, ну, или другими словами, если на комплексной плоскости был эллиптический точечный источник, то тут гиперболический.
Не сложно проверить, что для всех h-аналитических функций, во всех точках пространства-времени где она определена, сопоставляемое ей векторное поле обладает потенциальностью и соленоидальностью, но только также не эллиптической, а гиперболической. Ровным счетом не составляет никакого труда выписать и выражения, являющиеся гиперболическими аналогами ротора и дивергенции. Отличия проявляются лишь в знаках перед некоторыми частными производными, но смысл тот же: гиперболически потенциальным поле будет в тех точках пространства-времени, где отсутствуют гиперболические вихри, а соленоидальным - где отсутствуют гиперболические источники. Ну и потенциально-соленоидальным - там, где нет ни гиперболических источников, ни вихрей.
Как и на комплексной плоскости мы элементарным образом можем перейти от h-комплексного потенциала точечного гиперболического источника к потенциалу точечного гиперболического вихря. Для этого достаточно взять не вещественную, а чисто мнимую величину множителя, то есть:
Понятно, что линии уровня и линии тока тут просто меняются местами (кстати, точно также как и на комплексной плоскости, только ортогональность тут гиперболического типа).
Ну и, естественно, можно взять смешанный случай вихреисточника, положив константу
гиперболически комплексной:
.
В итоге получим двумерное векторное поле гиперболического вихреисточника.
Аналогия с комплексными числами продолжается и дальше. Точно также как там, можно рассмотреть комплекснозначную функцию, являющуюся производной от комплексносопряженной к исходной. Эта производная будет задавать поле h-комплексной 2-скорости (или комплексной напряженности, если так проще мыслить) в каждой точке исходного векторного поля.
Можно рассмотреть и следующие производные. Все они также будут иметь простой и красивый физический смысл. (Тут, правда, есть определенные засады, связанные с тем, что модуль двускорости может отличаться от единицы, а направление 2-ускорения от ортогонального касательной к линии тока, но они мгновенно и красиво испаряются, если подойти к ним не догматически, и разрешить расширить обычную двумерную СТО с линейных изометрических на нелинейные конформные преобразования, которые, как мы видели раньше, образуют не трех-, а бесконечнопараметрическую группу.)
Также, как и на комплексной плоскости, на плоскости двойной переменной, то есть в двумерном пространстве-времени, нет проблем построить векторные поля, связанные с множествами и даже с континуумами гиперболических вихрей и источников. Все они будут гиперболически потенциальны и соленоидальны в областях аналитичности своих функций.
Однако это все цветочки, так как двумерие, как ни крути, слишком бедно для полноценных физических приложений. И, не смотря на бесконечное разнообразие h-аналитических функций двойной переменной, даже вместе взятые, они не дадут сколь ни будь интересного выхода. Ну разве что, так же как и их комплексные аналоги могут служить примерами для студентов в простых двумерных задачках. Настоящее разнообразие и содержательность появляются при переходе к трех- и четырехмерию. Причем не столько из-за того, что в h-аналитических функциях соответствующих трех- и четырехкомпонентным поличислам появляются дополнительные измерения, сколько из-за того, что тут, кроме h-аналитических, естественным образом возникают
дополнительные бесконечномерные множества функций, что связано с финслеровыми особенностями расширения группы конформных преобразований. То есть, я говорю о том, что финслерова природа геометрии, кроме длин и углов, допускает наличие дополнительных фундаментальных инвариантов, что приводит к расширению списка изометрических и конформных преобразований на новые, еще более интересные группы нелинейных непрерывных симметрий.
К этому еще следует добавить то, что выше мы обсуждали касательно алгебраических фракталов. Если они оказываются нетривиальными уже в случае двойной переменной (а именно этот результат уже получен и доложен на конференциях и семинарах), то тем более интересные фракталы должны возникать на трех- и четырехмерных поличислах. А что такое алгебраические фракталы на языке теории вероятностей? Псевдослучайность. Так как за внешним хаосом стоит железная закономерность задающей фрактал функции. Вот вам и вариант совмещения предмета, который вне рамок аналитических и h-аналитических функций был сугубо епархией квантовой механики c ее абсолютной случайностью, с предметом жестко детерминированной теории классического поля, тем более, что для многих финслеровых пространств последняя в общих чертах построена тем же Гарасько и имеется в книге, которую вы взялись изучать.. Как говорится, остается лишь немного подправить базовые принципы КМ, что бы h-аналитические функции оказались бы в их основе.. Чем, собственно, и мотивирована основная идея темы, в которой мы сейчас находимся.
Пока все. Надеюсь, не станете сетовать, что опять "много слов". Коротко я пробовал. Не получается
P.S. Добавлю для наглядности три рисунка, иллюстрирующие как выглядят поля соответствующие источнику
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-81.jpgвихрю
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-82.jpgи вихреисточнику
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-83.jpgобычной аналитической функции логарифм на комплексной плоскости (слева) и такой же h-аналитической функции на плоскости двойной переменной (справа). Подобные пары можно указать для любой аналитической и h-аналитической функции, причем последние не обязаны ограничиваться случаем двух измерений.