Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[bayak]

Time в сообщении #270832 писал(а):

Ну, и что это дает в физическом плане? Какую пользу можно извлечь из этой конструкции на комплексной плоскости? Что с этим "добром" можно построить?

Кроме того, очень хотелось бы, все же, услышать версию интерпретации логарифма (можно любой другой нелинейной h-аналитической функции) от двойных чисел или, в крайнем случае, "пас"..

Хорошо, логарифм так логарифм. Только я дам интерпретацию не h-аналитического логарифма (как функции на алгебре двойных чисел), а логарифма как функции на псевдоевклидовой плоскости. Полагаю, что функция $\phi(x,ct)=\log(x+ct)$, где переменная $x+ct$ играет роль абсолютного времени, а переменная $x-ct$ - абсолютной протяженности пространства, может быть взята в качестве космологического гравитационного потенциала. Причем в качестве космологического наблюдателя можно взять полосу $x+ct\approx 1$. Как Вы помните гравитационный потенциал в моём понимании это гиперболический угол, который образуется направлением течения некой идеальной жидкости. А теперь хотелось бы услышать Вашу интерпретацию логарифма.

[Time]

Вы хоть понимаете, сколько грубых ошибок наделали в совершенно элементарной ситуации? Я попробую тоже самое сказать, что и Вы, но только применительно к обычной функции логарифм на комплексной плоскости..
" .. я дам интерпретацию не аналитического логарифма (как функции на алгебре комплексных чисел), а логарифма как функции на евклидовой плоскости. Полагаю, что функция $f(x,y)=log(x+y)$, где переменная $x+y$ играет роль абсолютной первой координаты, а $x-y$ - абсолютной второй координаты, может быть взята в качестве некоего фундаментального потенциала.."
Поймите, что h-аналитические функции, вообще, и плоскость двойной переменной, в частности, устроены практически также, как обычные аналитические функции с их комплексной переменной, имея, в общем-то, несущественную разницу между гиперболичностью и эллиптичностью.
Свою интерпретацию логарифма от двойных чисел я обязательно дам и именно в сопоставлении с логарифмом от комплексных чисел, но немного позже. Хочу дождаться соответствующих комментариев от Игоръ'я.

[ИгорЪ]

Someone
Хорошо. Пусть физики изгаляясь при построении своих теорий придумали некую метрику (финслеры или там всякие калаби-яу), которая как и м. минковского плоха в смысле хаусдорфовости. Всегда ли можно, извратившись аналогичным указанному вами способом, построить хаусдорфов вариант? Есть критерий?

-- Пн дек 14, 2009 13:05:31 --

AlexDem
Метрика нужна при квантовании теории поля, например коммутатор операторов пропорционален метрике минковского, отсюда следуют гадкие состояния с отрицательной вероятностью. Про запутанные состояния я что то такое слыхал, но это отдельная большая тема с интерпретацией КМ, "телепортациями" и т.д. . Может попробовать завести её отдельно?

-- Пн дек 14, 2009 13:18:36 --

Time
честно говоря не пойму что за интерпретацию вы хотите. Функция Грина волнового уравнения, что ещё? Ну а метрику мировой поверхности можно преобразовывать как хочешь, какими хочешь функциями, лишь бы это приводило к конформному преобразованию. То что вы привели с двойным и комплексным случаем - ну просто преобразования лоренца и евклида. Ещё раз, ценности у нас разные. Это нормально. Чтобы разговаривать конструктивно нужен точный вопрос, с примером ответа, который вы считаете ценным.

-- Пн дек 14, 2009 13:21:34 --

PS. У нас 43 мороза, все сидят дома, машины не заводятся, до работы дойти - подвиг!

[bayak]

Time в сообщении #271283 писал(а):

Вы хоть понимаете, сколько грубых ошибок наделали в совершенно элементарной ситуации? Я попробую тоже самое сказать, что и Вы, но только применительно к обычной функции логарифм на комплексной плоскости..
" .. я дам интерпретацию не аналитического логарифма (как функции на алгебре комплексных чисел), а логарифма как функции на евклидовой плоскости. Полагаю, что функция $f(x,y)=log(x+y)$, где переменная $x+y$ играет роль абсолютной первой координаты, а $x-y$ - абсолютной второй координаты, может быть взята в качестве некоего фундаментального потенциала.."

Ничего не понял.

[ИгорЪ]

bayak
согласен. Я посмотрел про гравитацию. Очень похоже, на первый взгляд, на обычное тривиальное расслоение дающее электродинамику.

[Time]

bayak в сообщении #271313 писал(а):

Ничего не понял.

Именно это я и хотел продемонстрировать. Мне точно также не понятно Ваше сообщение. Я просто перевел его на язык комплексных чисел, в надежде, что так станет понятнее какой какофонией для меня слышатся Ваши слова... Один-в-один перевел. Ну, разве что, про гравитацию не помянул, которой нет на комплексной плоскости, но вместо нее у меня некое абстрактное "фундаментальное поле".

[bayak]

ИгорЪ в сообщении #271314 писал(а):

bayak
согласен. Я посмотрел про гравитацию. Очень похоже, на первый взгляд, на обычное тривиальное расслоение дающее электродинамику.

Тоже ничего не понял, то ли Вы согласны с чем-то, то ли ждёте от меня пояснений, то ли оправданий.

-- Пн дек 14, 2009 14:48:56 --

Time в сообщении #271318 писал(а):

Именно это я и хотел продемонстрировать. Мне точно также не понятно Ваше сообщение. Я просто перевел его на язык комплексных чисел, в надежде, что так станет понятнее какой какофонией для меня слышатся Ваши слова... Один-в-один перевел. Ну, разве что, про гравитацию не помянул, которой нет на комплексной плоскости, но вместо нее у меня некое абстрактное "фундаментальное поле".

Не согласен, перевод не равноценный, поскольку в одном случае есть изотропный базис, а в другом - нет.

[ИгорЪ]

я согласен с тем что ничего не понял уTime
У вас в "эссе" всё понятно изложено, непонятно, что с этим дальше делать. Таких теорий много и выделенность их дело спорное.

[bayak]

ИгорЪ в сообщении #271326 писал(а):

У вас в "эссе" всё понятно изложено, непонятно, что с этим дальше делать. Таких теорий много и выделенность их дело спорное.

Можно, конечно, уйти в чистую математику и заняться минимальными потоками, но боюсь, что при изучении минимальных потоков семимерной сферы, вдруг, вылезут частицеподобные решения.

[ИгорЪ]

bayak в сообщении #271328 писал(а):

но боюсь, что при изучении минимальных потоков семимерной сферы, вдруг, вылезут частицеподобные решения

это теперь никого не удивит, я вот знаю что с шестимерными многообразиями всё намного лучще чем с другими, может начнёте с 6-сфер?

[bayak]

ИгорЪ в сообщении #271333 писал(а):

это теперь никого не удивит, я вот знаю что с шестимерными многообразиями всё намного лучще чем с другими, может начнёте с 6-сфер?

Разве что по заказу богословов. Однако я материалист и мне больше нравятся нечетномерные сферы, на которых ветер может дуть сам по себе, без участия творца.

[ИгорЪ]

bayak в сообщении #271361 писал(а):

на которых ветер может дуть сам по себе, без участия творца.

Но ведь познать творца материалисту намного интересней!

[bayak]

ИгорЪ в сообщении #271371 писал(а):

Но ведь познать творца материалисту намного интересней!

Что-то мы разболтались, давайте будем строже к себе и серьёзней по отношению к заявленной Time'ом теме!

[ИгорЪ]

Уважаемый Time, так вы нам разъясните тот смысл который вы вкладываете в логарифм в комплексном случае?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #271515 писал(а):

Уважаемый Time, так вы нам разъясните тот смысл который вы вкладываете в логарифм в комплексном случае?

Разрешите, поправлю.. Не в комплексном (тут общепринятый смысл логарифма давно определился - это точечный источник не принципиально важно чего: идеальной жидкости, теплоты или электрического поля, естественно, только в двух измерениях), а в гиперболически комплексном случае, или от двойной переменной.

Не знаю почему, но физики предпочли интерпретировать h-аналитические функции двойной переменной не по образу и подобию обычных аналитических функций, то есть, как комплексных потенциалов идеальных векторных полей двумерного пространства (вернее, пространства-времени, так как метрика у двойных чисел с иной сигнатурой), а в смысле пары плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях со световой скоростью. Эта интерпретация следует из того математического факта, что произвольную h-аналитическую функцию можно представить в изотропном (состоящем из делителей нуля) базисе, как комплекс вида:
$F(h)=f_1(a)e_1+f_2(b)e_2$
где $f_1(a)$ и $f_2(b)$ - произвольные аналитические функции от одной вещественной переменной каждая (которые и задают почти произвольный профиль волн), а $e_1=1+j$ и $e_2=1-j$ - вектора изотропного базиса, или иными словами, два канонических вектора светового конуса псевдоевклидовой плоскости.
Спору нет, такая интерпретация вполне возможна и именно о ней пытаетесь говорить вы, но она не дает максимально полного представления, ни о самой h-аналитической функции, ни о явлении, которое всегда можно за ней видеть. Существенно более интересна полевая интерпретация h-аналитических функций, практически один в один повторяющая полевую интерпретацию обычных аналитических функций комплексной переменной.
Вспомним, как было в комплексном случае.. Логарифм раскладывался на комплекс из двух скалярных функций:
$F(z)=q ln(z)=u(x,y)+i v(x,y)=1/2 q ln(x^2+y^2)+i q arctg(y/x)$
Придание различных постоянных значений первой из функций $u(x,y)=c_1$ давало семейство линий уровня (линии постоянного потенциала), а второй - $v(x,y)=c_2$ - семейство линий тока. Вместе эта пара семейств образовывала векторные линии двух взаимноортогональных полей, обладающих потенциальностью и соленоидальностью, что интерпретировалось как отсутствие точечных (двумерных) источников и точечных (также двумерных) вихрей в областях, где исходная комплексная функция аналитична. Не трудно убедиться, что семейство линий уровня для логарифма это концентрические окружности, а семейство линий тока - радиальные линии пересекающиеся в их общем центре. Собственно, именно этот факт и приводит к пониманию, что перед нами точечный источник.
Но этого мало. Мы легко можем "вытащить" из функции $F(z)$ существенно больше информации. Например функция, являющаяся производной от исходной:
$W(z)=(qln(z))'=qz^{-1}$,
вернее, комплексно сопряженная к ней, задает поле комплексной скорости, то есть, ее скалярные компоненты могут интерпретироваться как проекции на координатные оси скорости идеальной жидкости в каждой точке исходного векторного поля (ну, или компоненты напряженностей поля, при электромагнитной интерпретации).
Ни что не мешает вычислить следующую производную:
$A(z)=(qln(z))''=-qz^{-2}$
и понимать под получающейся новой комплекснозначной функцией комплексное ускорение. И так далее до бесконечности. То есть, с заданием одной единственной аналитической функции нам становятся известными все характеристики связываемого с нею физического явления.
Но и этого мало. СтОит положить константу $q$ не вещественной, а комплексной величиной:
$q=e+im$,
как связанное с новой функцией поле из поля точечного источника превращается в поле точечного вихреисточника с источником мощности $e$ и вихрем мощности $m$, находящимися в одной точке, в данном случае, в начале координат.
Но и этого мало. Мы теперь можем размещать источники и вихри с различными мощностями, зависящими от точки, в различных местах плоскости, хоть с дискретным законом распределения, хоть с непрерывным и получать в результате суммирования (или интегрирования при непрерывных распределениях) аналитические функции, описывающие новые потенциальные и соленоидальные поля с новыми точками и областями, где аналитичность нарушается.
Все это банальные и давно известные вещи. Именно их вы назвали академической стариной, которая хоть и уважаема, но давно отодвинута на задворки, оставшись, в лучшем случае, в качестве классических учебных примеров. Одной из причин досрочной "отправки на пенсию" аналитических функций является математический факт, что построить трех- (четырех-, пяти- и более) многомерное обобщение аналитических функций комплексной переменной в евклидовой (а в скобках отмечу, что и в многомерной псевдоевклидовой) геометрии - принципиально невозможно. На то давно доказана теорема Фробениуса, по сути гласящая, что поле комплексных чисел - последняя возможность оперировать с аналитическими функциями в евклидовых пространствах.
Однако вот тут - самое время вспомнить про двойные числа. Ни формально, ни фактически они под запрет теоремы Фробениуса не попадают. Главным образом потому, что им соответствует хоть и двумерная, но неевклидова геометрия, основная особенность которой оказывается в наличии светового конуса, а на языке математики - делителей нуля, желательное отсутствие которых во многих теоремах (в том числе и Фробениуса) оговаривается особо. Не знаю как математикам, а физикам световой конус (а, значит, и делители нуля) не то что не портят жизни, наоборот, они сами без него жизни не представляют. Казалось бы, тут-то и стОит развернуться, дав аналогичную интерпретацию как было в комплексном случае h-аналитическим функциям двойной переменной. Однако, не тут-то и было. Увидав, что таким функциям соответствует пара волн, этим почти ВСЕ физики и ограничились. Я еще не встречал полевой их интерпретации, хотя она не только элементарна, она один в один повторяет полевую интерпретацию аналитических функций комплексной переменной, ну, разве что, с естественным своеобразием наличия в пространстве-времени светового конуса. Извините, но не могу удержаться и не напомнить про студентов первокурсников, а то и старшеклассников, которым вполне под силу подобные элементарные построения
Давайте здесь немного помечтаем и представим, что полевая интерпретация h-аналитических функций двойной переменной ровно ничем не хуже аналогичной интерпретации функций от обычной комплексной переменной. Но в отличие от последней, для которой есть запрет на увеличение размерности евклидова пространства, в данном случае подобной запрещающей теоремы, вроде как, нет. Более того, давно известно, какие многокомпонентные числа обобщают h-комплексный анализ. Фактически это означает, что хотя прямое расширение самой красивой и лаконичной области математики под названием ТФКП на несколько пространственных измерений и не возможно, это не запрещено сделать на три и более пространственно-временных измерений, перейдя от комплексных чисел к гиперкомплексным, у которых также есть h-анализ. Единственная неприятность - для трех-, четырех-, и т.д. измерений это будет уже не старое-доброе псевдоевклидово пространство-время (как было в случае двух компонент и двойных чисел), а ДРУГОЕ пространство-время, с метрикой, которая задается самими гиперчислами, и которая, как вы уже догадались, окажется финслеровой с n-арностью метрической формы равной числу измерений пространства-времени.
Вернемся к нашему логарифму от двойных чисел (замечу, что на его месте могла бы быть любая другая h-аналитическая функция, причем не только от двумерных но и n-мерных гиперчисел, обладающих h-аналитичностью). Ее, как и в комплексном случае, в
ортонормированном базисе можно представить в виде комплекса из двух скалярных функций:
$F(h)=Q ln(h)=U(ct,x)+jV(ct,x)=1/2 Q ln(c^2t^2+x^2)+j Q arth(x/ct)$
Далее поступим по аналогии с комплексным случаем и положим, что с $U(ct,x)$ связаны линии уровня, а с $V(ct,x)$ - линии тока особого векторного поля в двумерном пространстве-времени, координатами которого являются $ct$ и $x$. Не сложно видеть, что $U(ct,x)=C_1$ дает семейство концентрических гипербол с центром в начале отсчета, а $V(ct,x)=C_2$ - семейство радиальных линий с общей точкой также в начале отсчета. Надеюсь, не сложно увидеть, что перед нами "портрет" точно такого же точечного источника, что и в случае обычного комплексного логарифма, только не в двумерном пространстве, а в двумерном пространстве-времени, ну, или другими словами, если на комплексной плоскости был эллиптический точечный источник, то тут гиперболический.
Не сложно проверить, что для всех h-аналитических функций, во всех точках пространства-времени где она определена, сопоставляемое ей векторное поле обладает потенциальностью и соленоидальностью, но только также не эллиптической, а гиперболической. Ровным счетом не составляет никакого труда выписать и выражения, являющиеся гиперболическими аналогами ротора и дивергенции. Отличия проявляются лишь в знаках перед некоторыми частными производными, но смысл тот же: гиперболически потенциальным поле будет в тех точках пространства-времени, где отсутствуют гиперболические вихри, а соленоидальным - где отсутствуют гиперболические источники. Ну и потенциально-соленоидальным - там, где нет ни гиперболических источников, ни вихрей.
Как и на комплексной плоскости мы элементарным образом можем перейти от h-комплексного потенциала точечного гиперболического источника к потенциалу точечного гиперболического вихря. Для этого достаточно взять не вещественную, а чисто мнимую величину множителя, то есть:
$F(h)=j M ln(h)=U(ct,x)+jV(ct,x)=M arth(x/ct)+1/2 j M ln(c^2t^2+x^2)$
Понятно, что линии уровня и линии тока тут просто меняются местами (кстати, точно также как и на комплексной плоскости, только ортогональность тут гиперболического типа).
Ну и, естественно, можно взять смешанный случай вихреисточника, положив константу $Q$ гиперболически комплексной:
$Q=E+jM$.
В итоге получим двумерное векторное поле гиперболического вихреисточника.
Аналогия с комплексными числами продолжается и дальше. Точно также как там, можно рассмотреть комплекснозначную функцию, являющуюся производной от комплексносопряженной к исходной. Эта производная будет задавать поле h-комплексной 2-скорости (или комплексной напряженности, если так проще мыслить) в каждой точке исходного векторного поля.
Можно рассмотреть и следующие производные. Все они также будут иметь простой и красивый физический смысл. (Тут, правда, есть определенные засады, связанные с тем, что модуль двускорости может отличаться от единицы, а направление 2-ускорения от ортогонального касательной к линии тока, но они мгновенно и красиво испаряются, если подойти к ним не догматически, и разрешить расширить обычную двумерную СТО с линейных изометрических на нелинейные конформные преобразования, которые, как мы видели раньше, образуют не трех-, а бесконечнопараметрическую группу.)
Также, как и на комплексной плоскости, на плоскости двойной переменной, то есть в двумерном пространстве-времени, нет проблем построить векторные поля, связанные с множествами и даже с континуумами гиперболических вихрей и источников. Все они будут гиперболически потенциальны и соленоидальны в областях аналитичности своих функций.
Однако это все цветочки, так как двумерие, как ни крути, слишком бедно для полноценных физических приложений. И, не смотря на бесконечное разнообразие h-аналитических функций двойной переменной, даже вместе взятые, они не дадут сколь ни будь интересного выхода. Ну разве что, так же как и их комплексные аналоги могут служить примерами для студентов в простых двумерных задачках. Настоящее разнообразие и содержательность появляются при переходе к трех- и четырехмерию. Причем не столько из-за того, что в h-аналитических функциях соответствующих трех- и четырехкомпонентным поличислам появляются дополнительные измерения, сколько из-за того, что тут, кроме h-аналитических, естественным образом возникают дополнительные бесконечномерные множества функций, что связано с финслеровыми особенностями расширения группы конформных преобразований. То есть, я говорю о том, что финслерова природа геометрии, кроме длин и углов, допускает наличие дополнительных фундаментальных инвариантов, что приводит к расширению списка изометрических и конформных преобразований на новые, еще более интересные группы нелинейных непрерывных симметрий.
К этому еще следует добавить то, что выше мы обсуждали касательно алгебраических фракталов. Если они оказываются нетривиальными уже в случае двойной переменной (а именно этот результат уже получен и доложен на конференциях и семинарах), то тем более интересные фракталы должны возникать на трех- и четырехмерных поличислах. А что такое алгебраические фракталы на языке теории вероятностей? Псевдослучайность. Так как за внешним хаосом стоит железная закономерность задающей фрактал функции. Вот вам и вариант совмещения предмета, который вне рамок аналитических и h-аналитических функций был сугубо епархией квантовой механики c ее абсолютной случайностью, с предметом жестко детерминированной теории классического поля, тем более, что для многих финслеровых пространств последняя в общих чертах построена тем же Гарасько и имеется в книге, которую вы взялись изучать.. Как говорится, остается лишь немного подправить базовые принципы КМ, что бы h-аналитические функции оказались бы в их основе.. Чем, собственно, и мотивирована основная идея темы, в которой мы сейчас находимся.
Пока все. Надеюсь, не станете сетовать, что опять "много слов". Коротко я пробовал. Не получается

P.S. Добавлю для наглядности три рисунка, иллюстрирующие как выглядят поля соответствующие источнику
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-81.jpg
вихрю
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-82.jpg
и вихреисточнику
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-83.jpg
обычной аналитической функции логарифм на комплексной плоскости (слева) и такой же h-аналитической функции на плоскости двойной переменной (справа). Подобные пары можно указать для любой аналитической и h-аналитической функции, причем последние не обязаны ограничиваться случаем двух измерений.