Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Scholium]

Смотрите еще Интегральная формула Коши для комплексных параболических или дуальных чисел.

[Scholium]

To: Time

Согласно матричных единиц из Вашего сообщения удалось вывести следующую общую формулу для Ваших поличисел 4-го порядка:

$f(a+ib+jc+kd) = \text{Re} \left ( \frac{f(\lambda_1) + f(\lambda_2)}{2} \right ) - i \text{Im} \left ( \frac{f(\lambda_1) - f(\lambda_2)}{2} \right ) + j \text{Re} \left ( \frac{f(\lambda_1) - f(\lambda_2)}{2} \right ) - k \text{Im} \left ( \frac{f(\lambda_1) + f(\lambda_2)}{2} \right ),$

где

$\lambda_1 = a + c - i\,(b + d)$ и $\lambda_2 = a - c + i\,(b - d)$ - собственные значения Вашего поличисла из $\mathbb{C}$.

Из этих формул уже легко вычислить конкретные функции, хотя это будут громоздкие выражения. Например,

Экспонента поличисла:

$e^{a+ib+jc+kd} = \frac{e^a}{2} \left ( e^c \cos(b+d) + e^{-c} \cos(b-d) \right . +$
$i \left ( e^c \sin(b+d) - e^{-c} \sin(b-d) \right )+$
$j \left ( e^c \cos(b+d) - e^{-c} \cos(b-d) \right )+$
$k \left ( -e^c \sin(b+d) + e^{-c} \sin(b-d) \right )$.

Конечно, если Вы хотите иметь сферические координаты, то нужно будет преобразовать декартовы координаты в сферические.