Теории из области чистой математики отличаются только тем, что к ним не предъявляется требование описывать что-то
наблюдаемое прямо сейчас
Вот именно это мне и кажется принципиальным отличием.
Так ли уж принципиален именно этот признак? Между прочим, по этому признаку математика оказывается отделена от всех остальных нормальных наук и остаётся в компании разве что философии и фантастической литературы.
Тем не менее, можно ли мне спросить, как звали кошку Клеопатры, или это бессмысленный вопрос?
Противопоставление: вопросы "что такое хорошо и что такое плохо" и "верна ли PA" - бессмысленные, а вопрос "видит ли Вася зеленых чертей", насколько я Вас понимаю, осмысленен.
С формальной точки зрения можно задать любой грамматически правильно сформулированный вопрос. Насколько он "осмысленный", как я понимаю, можно судить разве что неформально или, может быть, с точки зрения какой-нибудь "теории осмысленности".
Кстати, легко можно сформулировать теорию о верности арифметики Пеано. Любопытно, что в этой теории будет доказуема теорема Гудстейна, недоказуемая в самой арифметике Пеано.
Да, и теории о том, что такое хорошо и что такое плохо, тоже существуют.
В данном случае речь о единственности того объекта, пример которого Вы обещаете привести
А, ну тогда не могу. Как и Вы не можете доказать единственность
-значного числа, потому что таких чисел много.
А я приводил пример не произвольного
-значного числа, а вполне конкретного, единственность которого доказать можно.
Ну вот рассуждение дает нам столько же доверия к выводам, сколько было к посылкам. Если нам недодали посылок, то никакими рассуждениями мы про интересующее нас утверждение ничего не получим. Точно так же, как невозможность нарисовать карту (проверить утверждение), не выходя из комнаты (не получая наблюдений) - не зависит от инструментов (исчисления). Да, разные инструменты позволяют из одних и тех же данных вытаскивать разное количество информации, но никакой инструмент не позволяет вытаскивать информацию из ничего.
Разумеется доверие к выводам не больше, чем к посылкам. Но это не означает, что рассуждения бесполезны или что их цель - вытащить информацию "из ничего". На самом деле рассуждения очень полезны в практических ситуациях, потому что они позволяют из общетеоретических знаний, к которым добавляются утверждения о конкретной наблюдаемой ситуации, вывести нечто, применимое именно к данной ситуации.
Например, общетеоретическое знание о том, что предметы падают с ускорением 9,8 метров на секунду в квадрате, к которому добавлено утверждение о том, что мы находимся на крыше 12-ти этажного дома, позволяет вычислить время, которое будет лететь до земли брошенный нами кирпич.
А что есть?
Наблюдаемая (через чувства и эксперименты) реальность.
Подробнее можно? Я не понимаю, почему нет стула, на котором я сейчас сижу (об этом говорят все мои чувства), и не понимаю, что есть такого вместо него, и какие (чьи) чувства и эксперименты должны мне об этом сказать.
Абстрактные объекты частично для того и придумываются, чтобы быть сопоставляемыми с наблюдаемыми.
Конечно. Но надо уметь различать реальный апельсин и его идеализированную модель в виде шара в
. И иногда шар не является хорошей моделью реального апельсина.
Когда я произношу "апельсин", я обычно имею в виду апельсин. Конечно, может иметься в виду не обязательно тот апельсин, который прямо сейчас у меня в руках. Это может быть и тот апельсин, который я пробовал неделю назад, или даже тот, который, как я слышал, произрастает в дальних краях. В поледних случаях, разумется, апельсин имеется в виду довольно абстрактный.
Конструктивно?
Не знаю, я не понимаю Вашего доказательства. По моим понятиям из существования положительного числа, не большего 5, тривиально следует существование числа, квадрат которого не больше 25. Это конструктивно уже потому, что пример такого числа легко привести.
Никаких "построений моделей" среди способов приобретения доверия к утверждению сроду никогда не было.
Да ну?! Для меня построить модель - это один из
ключевых способов приобретения доверия к утверждению.
Ну вот смотрите. Человек придумал некое хитрое утверждение про "натуральные числа" и хочет знать, верно ли оно. Мы, ясное дело, первым делом у него уточняем: "А что Вы вообще имеете в виду под натуральными числами?" Он начинает что-то говорить, мы записываем, и в результате получаем аксиоматику. После этого мы с ним садимся и пытаемся вывести из этой аксиоматики его хитрое утверждение. Допустим, ах, не выходит у нас вывести ни его, ни отрицание. Тут мы возводим очи к небесам и говорим: "Возможно, что в данной аксиоматике Ваше утверждение неразрешимо". Если клиент - конструктивист, то на этом он отваливает с полным пониманием того, что всего знать невозможно.
Если же клиенту была обещана классическая логика, то он с возмущением восклицает: "Но Ваш закон исключённого третьего гласит, что моё утверждение либо истинно, либо ложно. Я желаю знать ИСТИНУ". Тут мы вздыхаем и говорим: "Похоже, Вы не в то окошко обратились. За ИСТИНОЙ - это туда, за углом, где строят модели". И клиент, конечно, обращается в окошко за углом: "Постройте мне пожалуйста модель арифметики. Желательно стандартную, ибо я слышал, что у Вас тут иногда предлагают нестандартные модели, которые дают неправильные ответы". И вот ему выкладывают на прилавок модель. Он берёт её и видит, ... что ответа на его вопрос опять нет. Это как называется?
По-моему, это называется: "надувательство посредством увиливания от обещанных ответов".
пока я не построю модель и пока я не докажу всю эту аксиоматику
Что бы это значило? Аксиоматика - на то и аксиоматика, чтобы её не доказывать.