2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 16  След.
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение18.12.2023, 20:09 


01/09/14
19/11/24
500
EminentVictorians в сообщении #1622935 писал(а):
Единственная доступная мне интерпретация фразы "основания традиционной математики" - это взять вместо теории множеств какую-нибудь более слабую теорию типа арифметики второго порядка, и пытаться построить в ней столько математики, сколько сможете. Но я не знаю, это Вы имели в виду или что-то другое.

Интересно, а как по-Вашему развивалась математика до появления теории множеств? Как появился классический матанализ? Все математики, внёсшие вклад в развитие, должны были одинаково понимать основания, но там никакие множества не упоминались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение18.12.2023, 20:23 


22/10/20
1185
amon в сообщении #1622936 писал(а):
Особенно активно теорию множеств использовали берберские пастухи, считавшие овец, и жители Междуречья при подсчете количества кирпичей.
А Ампер думал, что любая функция дифференцируема почти всюду. Была бы теория множеств - так не думал бы. Так же и эти македоняне наверняка делали кучу ошибок и неточностей в обычной арифметике.

talash в сообщении #1622937 писал(а):
Все математики, внёсшие вклад в развитие, должны были одинаково понимать основания, но там никакие множества не упоминались.
В том и дело, что однозначности в понимании не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение18.12.2023, 21:49 


22/10/20
1185
epros в сообщении #1622903 писал(а):
Что тут представлять? Это и есть наш мир.
Логика нашего мира отлична от классической? Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение18.12.2023, 22:37 


01/09/14
19/11/24
500
EminentVictorians в сообщении #1622939 писал(а):
talash в сообщении #1622937 писал(а):
Все математики, внёсшие вклад в развитие, должны были одинаково понимать основания, но там никакие множества не упоминались.
В том и дело, что однозначности в понимании не было.

В чём это проявлялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение19.12.2023, 00:26 


22/10/20
1185
talash в сообщении #1622952 писал(а):
В чём это проявлялось?
Сравните, например, как понимали бесконечно малые Эйлер и Коши. У первого нильпотенты, у второго - переменные величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение19.12.2023, 09:32 


01/09/14
19/11/24
500
EminentVictorians в сообщении #1622958 писал(а):
Сравните, например, как понимали бесконечно малые Эйлер и Коши. У первого нильпотенты, у второго - переменные величины.

Дифференциальное исчисление изначально строилось не от оснований, а интуитивно из геометрических или физических(Ньютон) соображений. С этим связаны разногласия. Как только Коши построил матанализ от оснований, разногласия в целом исчезли. А это ведь и означает, что основания все понимали примерно одинаково?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома выбора.
Сообщение19.12.2023, 11:17 
Аватара пользователя


12/02/23
115
george66 в сообщении #1622668 писал(а):
Но хочется понять, почему безногие, безмозглые, холоднокровные животные вдруг становятся процветающей группой хищников?
И если бы не было змей, кто бы мог это предсказать? И почему лягушки так не могут?

Жили-были мыши, и все их обижали. Пошли они к сове просить помощи:
— Сова, что нам делать? — сказали мыши.

Сова ответила:
— А вы станьте ёжиками. И никто вас не тронет.

Мышки обрадовались и побежали домой. Но по дороге одна мышь сказала:
— Как же мы станем ёжиками? — и они все побежали обратно, чтобы задать этот вопрос сове.

Но Сова сказала:
— Ребят, я не тактик. Я — стратег. Я занимаюсь глобальными вопросами.

-- 19.12.2023, 11:19 --

george66 в сообщении #1622668 писал(а):
Между тем, основной вопрос оснований математики содержательный -- почему она вообще работает?
Если мы выдумываем математику "из головы", почему она полезна для изучения реальности?

Потому что нас устраивает такая математика. Нам она нравится. Она дает нам и хлеба и зрелищ.
С помощью математики мы каждый день создаем супер-дешевые и качественные развлечения, например, такие как видеоигры, фильмы, спецэффекты, изображения.

Изображение

Например, эта картина Д. Аллена победила в конкурсе изобразительного искусства в США в 2022 г., штат Колорадо. Её сгенерировала нейросеть. Жюри об этом не знало. И думало, что картину нарисовал человек.
Развитие нейросетей, ИИ, 3D-графики – всё это математика. Пусть и примитивная. Но математика.

Как правильно заметил Павел Дуров:
– Наша цивилизация становится все более эффективной в создании развлечений (и здесь она использует все имеющиеся у неё доступные средства, в том числе и математику).

Не было бы математики, геометрии, многочленов, кривых Безье – не было бы компьютерных игр, систем проектирования, визуализации, современных спецэффектов Голливуда, 3D-тренажеров и всего прочего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение19.12.2023, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
mihaild в сообщении #1622922 писал(а):
Но тогда "увидеть то, чего нет" - оксюморон.

Как и множество других нормальных высказываний естественного языка. Потому что одна часть высказывания про непосредственное наблюдение (мы что-то "увидели"), а вторая часть высказывания - про теоретические выводы (мы сделали вывод, что этого "нет").

mihaild в сообщении #1622922 писал(а):
Я подозреваю, что в конечном итоге Ваша модель отличается от моей чисто переименованием понятий. Нам надо как-то отличать ситуации "вижу зеленых чертей" (а никто другой не видит и не увидит), "вижу мираж в пустыне" (и сосед видит, но если пощупать, то его нет), "вижу стол" (и все видят, и если пощупать, то нащупаем стол), "не вижу суслика" (а если пощупать, то он есть). Я говорю, что есть некоторая "объективная реальность", которая говорит, что черта и миража нет, а стол и суслик есть, и дальше есть механизмы её восприятия (которые тоже являются её частью).

Отличать эти случаи мы можем начать только в рамках какого-то теоретизирования. Что за теория позволяет Вам выделить эту самую "объективную реальность"? Если Вы скажете, что это происходит независимо от теорий, вот это действительно будет оксюморон.

mihaild в сообщении #1622922 писал(а):
Тогда вопрос: почему вообще существуют простые законы природы?
Случайное стечение обстоятельств. Почему бы среди множества всего различной сложности не быть чему-то достаточно простому? Тем более, что "закон" - не подразумевает что-то глобальное. Т.е. обнаружив закон, что "все предметы падают с ускорением примерно 9,8 метров в секуду в квадрате", в будущем мы сможем установить, что он работает только в ближней окрестности Земли.

EminentVictorians в сообщении #1622946 писал(а):
epros в сообщении #1622903 писал(а):
Что тут представлять? Это и есть наш мир.
Логика нашего мира отлична от классической? Это как?

В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение19.12.2023, 12:32 


22/10/20
1185
epros в сообщении #1623002 писал(а):
В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара.
И эта же самая классическая логика Вам скажет, что нужно разделять реальные предметы и их идеализированные абстракции. Вы всего лишь заметили, что шар в $\mathbb R^3$ не всегда является хорошей моделью реального апельсина. Обращаемся к классической логике и спрашиваем ее: абстрактный шар всегда должен быть хорошей моделью реального апельсина? Она отвечает: " нет, см. значение слова "модель" ".

Не вижу противоречия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение19.12.2023, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
diletto в сообщении #1622929 писал(а):
Потому что под это затачивался мозг с гораздо более ранних времён, чем появились люди
Это ответ на вопрос "почему мозг умеет группировать явления, при условии, что их вообще сгруппировать возможно".
epros в сообщении #1623002 писал(а):
Потому что одна часть высказывания про непосредственное наблюдение (мы что-то "увидели"), а вторая часть высказывания - про теоретические выводы
Проблема не в этом, я не вижу никаких проблем в высказываниях, говорящих сразу и про наблюдения, и про выводы. Если мы изначально исходим из того, что наши выводы связаны с наблюдениями.
Еще раз - что значит "увидеть то, чего нет"?
epros в сообщении #1623002 писал(а):
Что за теория позволяет Вам выделить эту самую "объективную реальность"?
Куча разных.
А как Вы выбираете между теориями?
epros в сообщении #1623002 писал(а):
Почему бы среди множества всего различной сложности не быть чему-то достаточно простому?
Потому что большинство множеств различной сложности сложные. И хочется каких-то обоснований, почему наше простое.
Если у Вас монетка выпадет орлом 100 раз, Вы скажете "ну почему бы и нет", или предположите, что монетка кривая?
epros в сообщении #1623002 писал(а):
В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара
А причем тут логика? Это значит, что разрезания реального шара не совсем точно моделируются евклидовой геометрией, но это итак известно. Из абстрактного шара всегда можно вырезать набор из $10^{100}$ кубиков, каждый из которых в $2$ раза меньше предыдущего, из реального обычно нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение19.12.2023, 18:06 


12/08/13
978
mihaild в сообщении #1623004 писал(а):
Это ответ на вопрос "почему мозг умеет группировать явления, при условии, что их вообще сгруппировать возможно".

Вселенная не достигла тепловой смерти. Поэтому в ней пока есть много всякого, позволяющего задавать структуры. Простейшая структура - это дихотомия. Теплее-холоднее, плотнее-разреженнее, благоприятнее-неблагоприятнее... Комбинации дихотомий дают основания более сложному структурированию. Для структурирования нужен субъект с органами чувств, позволяющими зарегистрировать дихотомии. По-моему, это всё довольно ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
mihaild в сообщении #1623004 писал(а):
Если мы изначально исходим из того, что наши выводы связаны с наблюдениями.
Еще раз - что значит "увидеть то, чего нет"?

Я не понял вопрос. Разумеется в данном случае вывод связан с наблюдением, на это прямо указывает слово "то".

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):
epros в сообщении #1623002 писал(а):
Что за теория позволяет Вам выделить эту самую "объективную реальность"?
Куча разных.
А как Вы выбираете между теориями?

Вот именно, что понятие "объективной реальности" - сугубо теоретическое. Если это понимать, то нет никаких проблем (за исключением того, что это понятие - избыточно). Любая естественно научная теория говорит что-то про "устройство природы", что всегда можно назвать "объективной реальностью". Весь вопрос только в нашей степени доверия к этой теории.

Проблема не в самом использовании этого понятия, а в том, что оно вводилось именно с претензией на "надтеоретичность".

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):
epros в сообщении #1623002 писал(а):
Почему бы среди множества всего различной сложности не быть чему-то достаточно простому?
Потому что большинство множеств различной сложности сложные. И хочется каких-то обоснований, почему наше простое.
Если у Вас монетка выпадет орлом 100 раз, Вы скажете "ну почему бы и нет", или предположите, что монетка кривая?

Так может быть "большинство" и есть сложное, как измерить? Вероятно, если мы и замечаем это сложное, то не настолько обращаем на него внимание, чтобы оценить насколько его "много".

Сократ, кажется (или я ошибаюсь?), рисовал большой и малый круг, чтобы проиллюстрировать знание своё и учеников. При этом размер "незнания" иллюстрировался границей круга, а не всем окружающим его пространством (которое как бы остаётся "неизмеримым").

Что касается стократного выпадения монетки орлом, то такое наверняка встречалось в истории. Возможно, что после нескольких десятков выпадений бросающий даже сформулировал какой-нибудь "закон" типа: "у меня всегда будет выпадать орёл". И возможно, что этот закон даже некоторое время работал. В таком случае это оказалось примером очередного локального закона. Не скажу, что это то же самое, что закон "все предметы падают с ускорением примерно в 9,8 метров в секунду в квадрате", но с точки зрения автора, сформулировавшего закон, в чём разница? Авторы и того, и другого закона в тот момент могут не представлять границы их применимости.

mihaild в сообщении #1623004 писал(а):
А причем тут логика? Это значит, что разрезания реального шара не совсем точно моделируются евклидовой геометрией, но это итак известно. Из абстрактного шара всегда можно вырезать набор из $10^{100}$ кубиков, каждый из которых в $2$ раза меньше предыдущего, из реального обычно нельзя.
EminentVictorians в сообщении #1623003 писал(а):
И эта же самая классическая логика Вам скажет, что нужно разделять реальные предметы и их идеализированные абстракции.

Я не про реальные шары и не про противоречия внутри самой классической логики, я про "соответствие" классической логики "нашему миру". Так вот, по моим понятиям закон исключённого третьего (и приводящие к нему неконструктивные аксиомы, типа полной аксиомы выбора) - это "несоответствие нашему миру". В нашем мире нет ничего такого, что бы могло реализовать этот закон на примере действительно бесконечных процедур.

Разрезание шара - это всего лишь один из примеров. Его глючность не в том, что это нельзя проделать с каким-то там "реальным" шаром, а в том, что это нельзя проделать даже с воображаемым шаром. И этот пример не единственный. Есть куча других примеров, демонстрирующих главный дефект классической логики - что истинность в ней принципиально не выражается доказуемостью. Или, выражаясь иначе, что логическое следствие не тождественно выводимости. В этом я и вижу "несоответствие" классической логики "нашему миру". Что, конечно, не исключает возможности её использования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
epros в сообщении #1623081 писал(а):
Разумеется в данном случае вывод связан с наблюдением, на это прямо указывает слово "то".
Т.е. кто-то наблюдает зеленых чертей, но наблюдения указывают, что их нет. Что значит "зеленых чертей нет"?
epros в сообщении #1623081 писал(а):
Проблема не в самом использовании этого понятия, а в том, что оно вводилось именно с претензией на "надтеоретичность".
Вы тут двигаете ворота.
Само понятие - надтеоретично. Выяснение, что ему удовлетворяет, а что нет - вопрос теории.
epros в сообщении #1623081 писал(а):
Что касается стократного выпадения монетки орлом, то такое наверняка встречалось в истории
Так а про монетку-то вы что ответите? Пожмёте плечами "ну бывает, повезло", или предположите, что с монеткой что-то не так?

(Оффтоп)

epros в сообщении #1623081 писал(а):
Его глючность не в том, что это нельзя проделать с каким-то там "реальным" шаром, а в том, что это нельзя проделать даже с воображаемым шаром
Мой воображаемый шар, что хочу с ним то и проделываю.
epros в сообщении #1623081 писал(а):
главный дефект классической логики - что истинность в ней принципиально не выражается доказуемостью
Теорема о полноте в классической логике выполнена. И существуют полные теории. В чем дефект-то - в существовании неполных теорий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 12:43 


22/10/20
1185
epros в сообщении #1623081 писал(а):
В нашем мире нет ничего такого, что бы могло реализовать этот закон на примере действительно бесконечных процедур.
В нашем мире в принципе не доказано существование чего-либо бесконечного - но это же не повод становиться ультрафинитистами.

Бесконечность - это абстракция. Абстракции нужны, чтобы упрощать сложное. Когда Вы, например, считаете длину забора, Вы же не брезгуете использовать такую абстракцию, как отрезок. Хотя в реальности забор ни разу не идеально прямой.

Моя мысль в том, что если что-то (бесконечность/отрезок/...) отсутствует в реальности - это не повод не использовать это в мышлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
mihaild в сообщении #1623101 писал(а):
Т.е. кто-то наблюдает зеленых чертей, но наблюдения указывают, что их нет. Что значит "зеленых чертей нет"?

На то, что их нет, указывают не наблюдения, а теоретические выводы.

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):
Само понятие - надтеоретично. Выяснение, что ему удовлетворяет, а что нет - вопрос теории.

Как это? Есть теории, которые описывают заведомо абстрактные вещи, такова практически вся математика. А есть теории, которые описывают устройство чего-то в природе. Ни те, ни другие обычно не оперируют понятием "объективная реальность", но к предмету вторых (естественнонаучных) теорий это понятие применить можно (хотя вряд ли это кому-то нужно кроме философов). Кто (какая теория) будет "выяснять" предмет какой из теорий можно так назвать?

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):
Так а про монетку-то вы что ответите? Пожмёте плечами "ну бывает, повезло", или предположите, что с монеткой что-то не так?

Да как угодно можно поступить. Можно высказать любое предположение и потом попытаться его фальсифицировать стандартным образом. Если долго не удаётся фальсифицировать, предположение постепенно приобретает статус установленной наукой истины.

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):
Мой воображаемый шар, что хочу с ним то и проделываю.

Классический анализ только утверждает, что разбиение шара "существует", но предъявить его не может. Как бы он ни "хотел" это проделать.

mihaild в сообщении #1623101 писал(а):
epros в сообщении #1623081 писал(а):
главный дефект классической логики - что истинность в ней принципиально не выражается доказуемостью
Теорема о полноте в классической логике выполнена. И существуют полные теории. В чем дефект-то - в существовании неполных теорий?

Дефект, как я сказал, в том, что логическое следствие в принципе не тождественно выводимости. Дело не в полноте или неполноте конкретных теорий. Сам этот вопрос о полноте теорий с моей точки зрения является артефактом классической логики и безумного желания построить "теорию всего". Нормальные теории и не должны претендовать на полноту, ибо они представляют собой наше ограниченное знание о чём-то неограниченном.

EminentVictorians в сообщении #1623104 писал(а):
В нашем мире в принципе не доказано существование чего-либо бесконечного - но это же не повод становиться ультрафинитистами.

В нашем мире существуют бесконечные процедуры, например, продолжение натурального ряда. Конечно, эта бесконечность потенциальная, поскольку никому в реальности не удалось такие процедуры "выполнить полностью".

EminentVictorians в сообщении #1623104 писал(а):
Моя мысль в том, что если что-то (бесконечность/отрезок/...) отсутствует в реальности - это не повод не использовать это в мышлении.

Я не говорю о том, что классическую логику нельзя использовать в мышлении. Я только сказал, что она не соответствует нашему миру, ибо порождает утверждения о существовании заведомо мифических объектов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 227 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 16  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group