Почему математика работает?

[mihaild]

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Между прочим, по этому признаку математика оказывается отделена от всех остальных нормальных наук и остаётся в компании разве что философии и фантастической литературы

Правильно. Изучение математики, в отличии от изучения экономики, не дает (достаточно сильному интеллекту) новых знаний. Точнее достаточно сильный интеллект вообще не может изучать математику, он итак всё в ней знает. А вот изучать экономику надо - легко можно представить, что люди выбирают работу, где платят поменьше, а работать надо побольше, и то, что так не происходит - это важное наблюдение, из ниоткуда не выводимое.

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Насколько он "осмысленный", как я понимаю, можно судить разве что неформально или, может быть, с точки зрения какой-нибудь "теории осмысленности".

Тем не менее - есть ли "правильное" истинностное значение у утверждения "кошку Клеопатры звали птичка-палочка-человечек" [выяснилось, что движок форума не позволяет отправлять посты с иероглифами]?

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Например, общетеоретическое знание о том, что предметы падают с ускорением 9,8 метров на секунду в квадрате, к которому добавлено утверждение о том, что мы находимся на крыше 12-ти этажного дома, позволяет вычислить время, которое будет лететь до земли брошенный нами кирпич

Безусловно. Но мне Ваше требование полноты от теории кажется тут похожим на требование от физики предсказать время падения кирпича без указания высоты здания.

[talash]

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Ну вот смотрите. Человек придумал некое хитрое утверждение про "натуральные числа" и хочет знать, верно ли оно. Мы, ясное дело, первым делом у него уточняем: "А что Вы вообще имеете в виду под натуральными числами?" Он начинает что-то говорить, мы записываем, и в результате получаем аксиоматику. После этого мы с ним садимся и пытаемся вывести из этой аксиоматики его хитрое утверждение. Допустим, ах, не выходит у нас вывести ни его, ни отрицание. Тут мы возводим очи к небесам и говорим: "Возможно, что в данной аксиоматике Ваше утверждение неразрешимо". Если клиент - конструктивист, то на этом он отваливает с полным пониманием того, что всего знать невозможно.

А "вывести из этой аксиоматики его хитрое утверждение" означает доказать или записать на формальном языке?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Подробнее можно? Я не понимаю, почему нет стула, на котором я сейчас сижу (об этом говорят все мои чувства), и не понимаю, что есть такого вместо него, и какие (чьи) чувства и эксперименты должны мне об этом сказать.

Есть "стул" как абстрактное понятие (существует только в психике). Есть конкретная деревяшка с ножками. Можно ли называть ее стулом? Конечно, можно. Но при этом надо понимать, что слово "стул" начинает обозначать 2 разные вещи: абстрактное понятие и конкретную деревяшку. И их важно не путать друг с другом. В итоге, мысль следующая: в реальности существуют только конкретные (воспринимаемые через органы чувств и эксперименты) сущности. Абстрактных понятий (типа "число", "функция", "алгоритм", "синус", "треугольник") в реальности нету.
По-моему, объяснил подробнее некуда.

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Не знаю, я не понимаю Вашего доказательства.

А жаль. Я старался подобрать достаточно выпуклый пример рассуждения, чтобы он был с одной стороны элементарным, а с другой - не подходящим под Ваши критерии конструктивизма.

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Это конструктивно уже потому, что пример такого числа легко привести.

Я понимаю, что существует конструктивное доказательство. Мне интересно, считаете ли Вы мое конструктивным.

epros в сообщении #1623443 писал(а):

Что бы это значило? Аксиоматика - на то и аксиоматика, чтобы её не доказывать.

$(\forall a, b \in \mathbb R) a + b = b + a$
На Ваш взгляд, это теорема или аксиома?

[talash]

Предлагаю вести обсуждение ближе к практике, а то некоторым наблюдателям ничего непонятно.

Вот хитрое утверждение о натуральных числах:
"тернарная проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел"

Как понять, можно ли доказать это хитрое утверждение в рамках некой аксиоматики?

Вот доказательство https://arxiv.org/pdf/1205.5252.pdf

В рамках какой аксиоматики оно доказано?

[Dicson]

Нейронные сети могут находить решения, отсутствовавшие в обучающих примерах, то есть они способны к обобщению, абстрагированию, созданию нового, или, по-другому, к индукции. Индукция - переход от элементов к образу, от деталей к целому, от событий к прогнозу, от фактов к теории, то есть от частного к общему - это основное свойство интеллекта, и все нейронные сети в той или иной степени этим свойством обладают (тогда как дедукция - вычисление по готовым формулам - это работа уже чисто "механического" характера, на неё способны и обычные программы).

Образ чего-то конкретного, к примеру, конкретного стула - это абстракция одного уровня, обобщение в образ непосредственно сигналов рецепторов. Но понятие "стул", которое обобщает в себе образы сразу всех мыслимых стульев, - это абстракция уже более высокого уровня, то есть абстракция от абстракций. Числа, обобщающие в себе вообще все образы, абстракция ещё более высокого уровня. Числа абстрагируют "количественную сторону" образов, геометрические фигуры - их формы, правила вывода - логику их отношений, и так далее. Математический язык - это язык более высокого уровня абстракции, чем естественный, а естественный, чем образы конкретных явлений.

Так как от более или менее общей для всех реальности математические объекты уже слишком далеки, то для того, чтобы можно было друг друга понимать, требуются аксиомы - как законы того математического мира, о котором собираются рассуждать. По той же причине далёкости от реального мира, аксиомы теоретически могут быть произвольными, но на практике они интуитивно логичны, осмысленны, ведь опыт математика, его математическую интуицию, формирует реальность, а в ней не бывает чего попало. Например, чтобы богатая математическая теория не была противоречивой, набор аксиом не может быть полным, хотя, казалось бы, изобретая свой собственный мир, мы вольны не оставить в нём тайн. Однако в реальном мире теория всего тоже не имеет смысла. В реальном мире противоположное не равно, но теория всего как раз устранит разделение между фантазией и реальностью, ложью и истиной. И точно так же в математической теории, если она полна, можно вывести и утверждение, и его отрицание.

Другой пример (подчёркивание моё):

Цитата:

"Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым - выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен."

Бесконечно малая и бесконечно большая - История. Википедия

Математика "работает", потому что связана с реальностью. Как формальный язык, способный выразить точное знание, описывающий структуры, порядок и отношения, математика предоставляет языковые средства науке.

Возможно, что более умные, чем мы, инопланетяне, в силу своего более высокого интеллекта (более сложной нейронной сети мозга), будут способны на более высокий уровень абстракций. И тогда мы их, видимо, точно так же не поймём, как нас не понимают человекообразные обезьяны. В их математике или их устройствах мы, вероятно, будем разбираться не лучше, чем наши обезьяны разбираются в нашей математике и устройствах. (Поэтому не нужны не только СИИ, но и инопланетяне. Нет их, и хорошо.).
***

Солипсизм прост и неопровержим. Но есть проблема - он не способствует росту качества жизни, так как предполагает слишком простое отношение к ней, ведь всё только фантазии. Поэтому требуется введение новых сущностей - усложнение мира его делением на объективный и субъективный, реальность и фантазии. Вначале неявное, но в ходе истории по мере накопления знаний всё более строгое. В этом процессе возникают разные формы познания (религия - философия - наука), присущие меняющемуся в ходе познания восприятию мира, и присущие этим формам методы отделения реальности от фантазий (интуиция - логика - эксперимент), каждый из которых наиболее разумен в условиях разного объёма знаний об исследуемом явлении, сообразно эпохам в которых они выделялись как ведущие. Соответствующим образом меняются и сами исследуемые явления (мир и человек в целом - качественные отношения - конкретные явления). И точно так же эволюционирует представление о том, что реально, а что нет.

Кстати, парадокс. По мере познания разделение реальности и фантазий становится всё более строгим. Но ведь фантазии состоят из той же материи, что и познаваемый мир. Поэтому, наоборот, по мере всё более глубокого познания материи это разделение должно исчезать. Как же так? Вкратце, один из аргументов против теории всего - это то, что субъект часть физической реальности, но познание себя - это рисование себя, рисующего себя, рисующего себя... и так бесконечно. Поэтому водораздел между познаваемым и непознаваемым проходит в голове. (Правда, из этого аргумента не видно, что познание - это не стирание, как ластиком, скрытого, а в некотором смысле наоборот, закрашивание, но зато он короткий.).

[druggist]

У Юджина Вигнера есть знаменитая статья на данную тему: "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" Традиционно, на русский начало названия переводят как "Непостижимая...", хотя более адекватным смыслу статьи("the enormous usefulness of mathematics in the natural sciences is something bordering on the mysterious and that there is no rational explanation for it") на мой взгляд переводом было бы "Необоснованная..."

[Anton_Peplov]

druggist в сообщении #1623549 писал(а):

У Юджина Вигнера есть знаменитая статья на данную тему

Вот честно, не понимаю, почему эта статья так знаменита. Разве что потому, что ее написал великий Вигнер. По-моему, в упомянутой статье ведро воды и чайная ложка соли. Я сконцентрировал эту соль в пять простых тезисов, которые, увы, оказались весьма тривиальными. Можно, конечно, допустить, что тривиальными они стали уже после статьи Вигнера, но это очень сильное допущение.

1. Если дано небольшое число понятий, можно сформулировать лишь небольшое число интересных теорем. Чтобы сформулировать новые теоремы, нужно формулировать новые понятия.

(На самом деле с этим тезисом надо, конечно, обращаться аккуратно. Скажем, всю топологию можно построить с использованием только термина «открытое множество», если вместо «замкнутое» говорить «дополнение открытого», вместо «окрестность точки» - «открытое множество, содержащее точку», и так далее, вместо каждого понятия используя его определение. Штука в том, что когда количество формулировок, в которых встречается «открытое множество, содержащее точку», превышает некий минимум, возникает желание это множество как-то назвать - Anton_Peplov).

2. Новые понятия в математике вводятся, если оказывается, что о них можно доказывать красивые теоремы.

3. Признак физического закона: он выполняется в любом месте, в любое время и в широком диапазоне внешних условий (но не в любых условиях, потому что границы применимости все же есть).

4. Во многих случаях, если не всегда, математический аппарат для физики сначала с нуля создавался физиками, и только потом, быть может, оказывалось, что он уже есть. Так, Гейзенберг разработал аппарат для КМ, а Борн заметил, что это сильно смахивает на матрицы. Причем матричная механика оказалась применимой в условиях, в которых исходные формулировки Гейзенберга не имели смысла.

5. Свидетельство эффективности математики – предсказательные теории. То есть язык математики позволяет не только объяснить уже известные факты малым числом утверждений, но и предсказать новые. Поэтому идея, что математика к физике притягивается за уши, не проходит. При этом границы применимости закона сильно превосходят как диапазон условий эксперимента, из которого был выведен закон, так и точность измерений, с помощью которых он был установлен. Что и можно считать признаком физического закона.

-- 23.12.2023, 21:23 --

А вообще, все это уже обсуждалось неоднократно. Вот здесь, например - кстати, некоторыми участниками и этой темы.
«Почему математика эффективна при описании природы?»

[SergeCpp]

mihaild в сообщении #1623461 писал(а):

[выяснилось, что движок форума не позволяет отправлять посты с иероглифами]

А что за иероглифы? А то вот тема с иероглифами целая: topic154482.html

[mihaild]

SergeCpp в сообщении #1623583 писал(а):

А что за иероглифы?

Египетские. U+13000 и дальше.
В той теме иероглифы из базовой плоскости.

[Doctor Boom]

warlock66613 в сообщении #1623326 писал(а):

Ого, отрицание физики. Не ожидал.

Есть вещи, которые лежат выше физического уровня, хоть они и моделируются ими. Например социальные взаимодействия в конечном счете сводятся к физическим, но тривиально - можно эти соц. взаимодействия представить как абстракцию, например в платоновском мире идей, или вообще взять другую физику. В этом смысле эти соц взаимодействия к физике не сводятся

warlock66613 в сообщении #1623417 писал(а):

Но всё же уже молекулярно-кинетическая теория утверждает, что никаких кирпичей не существует, а существуют только молекулы, которые сложно взаимодействуют друг с другом, а "кирпич" — это иллюзия, образ в голове.

Тогда можно сказать, что и молекул не существует, это образ в голове, а есть только струны

warlock66613 в сообщении #1623417 писал(а):

вы ведь уверены в существовании кирпича безотносительно того, есть теория, показывающая возникновение эмерджентного объекта "кирпич" в мире, где существуют только молекулы, или же нет такой теории.

Разумеется, он уверен в очевидной вещи

warlock66613 в сообщении #1623417 писал(а):

это иллюзия, образ в голове

Я для себя этот вопрос решил так - реальность это композит "материи" и нашего представления о ней (или представления некого абстрактного наблюдателя). В этом смысле "объективно" существует почти все (добро, зло и т.д.), виды, отряды, роды в биологии, Плутон не планета и т.д.

[warlock66613]

Doctor Boom в сообщении #1623601 писал(а):

Тогда можно сказать, что и молекул не существует, это образ в голове, а есть только струны

Не можно, а нужно. Разумеется и струны в этом плане ничем не отличаются.

[epros]

mihaild в сообщении #1623461 писал(а):

Изучение математики, в отличии от изучения экономики, не дает (достаточно сильному интеллекту) новых знаний. Точнее достаточно сильный интеллект вообще не может изучать математику, он итак всё в ней знает.

Я не согласен. Математика такова именно потому, что в таком виде она оказалась интересна математикам. А математикам она оказалась интересна (что бы ни говорили многие их них про то, насколько сильно их "не интересует реальность") именно потому, что математика во многом оказывается полезной в практической жизни обывателей, которые по этой причине с восхищением заглядывают в рот математикам. Это значит, что общепринятые математические понятия вместе с определяющей их аксиоматикой никакой достаточно сильный интеллект угадать не сможет, ибо они тоже не являются "выводимыми из ниоткуда".

mihaild в сообщении #1623461 писал(а):

А вот изучать экономику надо - легко можно представить, что люди выбирают работу, где платят поменьше, а работать надо побольше, и то, что так не происходит - это важное наблюдение, из ниоткуда не выводимое.

Между прочим, экономика большей частью - это теория игр, основанная на понятии об индивидуальных предпочтениях рациональных игроков. А это - практически чистая, абстрактная математика.

mihaild в сообщении #1623461 писал(а):

Тем не менее - есть ли "правильное" истинностное значение у утверждения "кошку Клеопатры звали птичка-палочка-человечек"

В рамках известных мне исторических теорий это утверждение неразрешимо.

mihaild в сообщении #1623461 писал(а):

мне Ваше требование полноты от теории кажется тут похожим на требование от физики предсказать время падения кирпича без указания высоты здания.

Почему? Я не требую от теорий полноты.

EminentVictorians в сообщении #1623468 писал(а):

Есть конкретная деревяшка с ножками. Можно ли называть ее стулом? Конечно, можно.

Ну так и нечего тогда нам мозги выносить.

EminentVictorians в сообщении #1623468 писал(а):

Но при этом надо понимать, что слово "стул" начинает обозначать 2 разные вещи: абстрактное понятие и конкретную деревяшку. И их важно не путать друг с другом.

В каком смысле "путать"? Я отличаю один стул от другого и понимаю, когда говорю о стуле, который вижу и на который могу указать пальцем, а когда - о стуле, который ещё только в проекте, потому что мастер должен будет его создать по моему эскизу.

EminentVictorians в сообщении #1623468 писал(а):

Абстрактных понятий (типа "число", "функция", "алгоритм", "синус", "треугольник") в реальности нету.
По-моему, объяснил подробнее некуда.

Хм. А сами-то достаточно чётко понимаете, что хотели этим сказать? Треугольники и алгоритмы вполне можно реализовать в нашей практике, буквально в том же смысле, в котором столяр создаёт стулья. Да и другие приведённые Вами понятия в определённом смысле могут быть применимы на практике, хотя этот смысл может быть и более хитрым.

EminentVictorians в сообщении #1623468 писал(а):

$(\forall a, b \in \mathbb R) a + b = b + a$
На Ваш взгляд, это теорема или аксиома?

Теорема или аксиома чего? Если речь о теории непрерывного полного упорядоченного поля, то обычно она аксиоматизируется таким образом, что это утверждение оказывается одной из аксиом.

talash в сообщении #1623464 писал(а):

А "вывести из этой аксиоматики его хитрое утверждение" означает доказать или записать на формальном языке?

"Вывести из аксиоматики" - значит построить доказательство.

-- Вс дек 24, 2023 12:55:11 --

warlock66613 в сообщении #1623605 писал(а):

Doctor Boom в сообщении #1623601 писал(а):

Тогда можно сказать, что и молекул не существует, это образ в голове, а есть только струны

Не можно, а нужно. Разумеется и струны в этом плане ничем не отличаются.

А что отличается? Есть ли что-то такое, что "существует"?

[warlock66613]

epros в сообщении #1623628 писал(а):

Есть ли что-то такое, что "существует"?

Что-то есть. "Объективная реальность". Но единственный способ описать её свойства — сопоставить ей модель. Но модель — это уже не что-то существующее, модель живёт в платоновском мире идей, и все составные части и всё производное от модели (молекулы, кирпичи и др.) — тоже.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623628 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1623468 писал(а):

Есть конкретная деревяшка с ножками. Можно ли называть ее стулом? Конечно, можно.

Ну так и нечего тогда нам мозги выносить.

Так в реальности можно что угодно чем угодно называть. Я иногда хожу с друзьями поиграть в бильярд и, бывает, надо кий помелить и я говорю кому-нибудь из приятелей: "Кинь шарик", хотя он, блин, не шарик, а кубик. Но мы-то здесь вроде как более точные формулировки пытаемся рассматривать.

epros в сообщении #1623628 писал(а):

В каком смысле "путать"? Я отличаю один стул от другого и понимаю, когда говорю о стуле, который вижу и на который могу указать пальцем, а когда - о стуле, который ещё только в проекте, потому что мастер должен будет его создать по моему эскизу.

Со стулом не путаете, а с шаром путаете. Вы же говорили, что "В логике моего мира невозможно разрезать шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара." Я вижу так, что Вы смешали шар (как шарообразный предмет, существующий в реальности) и шар (как идеализированную математическую модель - множество в $\mathbb R^3$). То, что можно сделать со вторым - не обязательно можно сделать с первым. Или Вы считаете, что в принципе не должно быть даже абстрактной модели шара, которую можно было бы разбить на конечное число подмножеств, из которых можно потом сложить 2 таких же шара?

epros в сообщении #1623628 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1623468 писал(а):

$(\forall a, b \in \mathbb R) a + b = b + a$
На Ваш взгляд, это теорема или аксиома?

Теорема или аксиома чего? Если речь о теории непрерывного полного упорядоченного поля, то обычно она аксиоматизируется таким образом, что это утверждение оказывается одной из аксиом.

Речь о действительных числах. А для меня это теорема - я её доказывал. А еще доказывал все остальные 8 утверждений, которые обычно называют "аксиомами поля". И полноту доказывал. Получается, что я делал что-то в корне ошибочное?

-- 24.12.2023, 13:04 --

warlock66613 в сообщении #1623632 писал(а):

Но модель — это уже не что-то существующее, модель живёт в платоновском мире идей

"Платоновский мир идей" - это Вы как фигуру речи используете? Просто лично я считаю, что никакого платоновского мира идей не существует, что не мешает моделям существовать в человеческой психике.

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1623633 писал(а):

Просто лично я считаю, что никакого платоновского мира идей не существует

Мне кажется это не тот объект, для которого осмысленно противопоставление "существует" и "не существует".

Хотя философы обсуждают подобные вопросы. Но в философии довольно убедительно доказано, что всё, что можно помыслить, — существует (хотя конечно не так, как существует объективная реальность). И хотя есть расхождения и сомнения касательно формулировки "можно помыслить", математических объектов, построенных в рамках непротиворечивых теорий, эти сомнения не касаются.