Почему математика работает?

[mihaild]

epros в сообщении #1623124 писал(а):

На то, что их нет, указывают не наблюдения, а теоретические выводы

Одни наблюдения указывают на одно, другие на другое. Говоря, что "Вася видит чертей, которых нет", Вы уже делаете "теоретический вывод" - что одни наблюдения лучше других.

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Есть теории, которые описывают заведомо абстрактные вещи, такова практически вся математика. А есть теории, которые описывают устройство чего-то в природе

Это омонимия.

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Кто (какая теория) будет "выяснять" предмет какой из теорий можно так назвать?

Тех теорий, которые интересуются наблюдениями. Математику наблюдения не интересуют.

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Классический анализ только утверждает, что разбиение шара "существует", но предъявить его не может

А существует ли число из $10^{100}$ цифр? Если да, то предъявите его, пожалуйста.

epros в сообщении #1623124 писал(а):

логическое следствие в принципе не тождественно выводимости

А теорема о полноте (ну и о корректности) утверждает, что тождественно. Так что я тут правда перестал понимать, о чем речь.

[gevaraweb]

А мне что-то подумалось: признаём, что математика - работает.
Это, как ни крути, не очень понятно почему, и поэтому - удивительно.
А нумерологию с гематрией гоним в шею. Нет ли тут противоречия?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623124 писал(а):

В нашем мире существуют бесконечные процедуры, например, продолжение натурального ряда.

В мире ли? По-моему, исключительно в нашем воображении. (Как и любая другая математическая абстракция, да хоть то же число 1, от которого бесконечностью даже не пахнет)

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Конечно, эта бесконечность потенциальная, поскольку никому в реальности не удалось такие процедуры "выполнить полностью".

Ну я же почему-то могу мыслить $\mathbb N$ как одно множество. Без всяких процедур, процессов, шагов и т.п.

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Я только сказал, что она не соответствует нашему миру, ибо порождает утверждения о существовании заведомо мифических объектов.

Я запутался. Есть реальный физический мир. В нем вообще нету никаких чисел, функций, уравнений, шаров, точек и т.п. Всё перечисленное - продукты фантазии. Какая разница, навоображали мы число 1 или множество Витали? И то, и другое существуют исключительно в наших головах. Почему второе мифичнее первого?

[warlock66613]

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Классический анализ только утверждает, что разбиение шара "существует", но предъявить его не может.

Вообще-то построение этого разбиения довольно простое, весьма конкретное и интуитивно-понятное.

epros в сообщении #1623124 писал(а):

конечно, эта бесконечность потенциальная, поскольку никому в реальности не удалось такие процедуры "выполнить полностью".

Спорное утверждение.

[epros]

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):

Одни наблюдения указывают на одно, другие на другое. Говоря, что "Вася видит чертей, которых нет", Вы уже делаете "теоретический вывод" - что одни наблюдения лучше других.

Это не наблюдения указывают, а мой теоретический вывод. И да, теоретические выводы могут любым образом оценивать наблюдения, не только с точки зрения того, какие "лучше".

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Есть теории, которые описывают заведомо абстрактные вещи, такова практически вся математика. А есть теории, которые описывают устройство чего-то в природе

Это омонимия.

Я не понял, что омоним и каковы его разные значения?

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):

epros в сообщении #1623124 писал(а):

Кто (какая теория) будет "выяснять" предмет какой из теорий можно так назвать?

Тех теорий, которые интересуются наблюдениями. Математику наблюдения не интересуют.

Все естественнонаучные теории и множество других (например, экономические) говорят что-то о наблюдаемом. Вы им всем автоматически даёте право объявлять свой предмет "объективной реальностью"?

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):

А существует ли число из $10^{100}$ цифр? Если да, то предъявите его, пожалуйста.

Легко: Число из $10^{100}$ единиц в десятичной записи.

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):

epros в сообщении #1623124 писал(а):

логическое следствие в принципе не тождественно выводимости

А теорема о полноте (ну и о корректности) утверждает, что тождественно. Так что я тут правда перестал понимать, о чем речь.

Нет, она не это утверждает. Логическое следствие - это импликация. То, что я написал, означает, что импликация $A \to B$ не тождественна выводимости $B$ из $A$ (т.е. $A \vdash B$). Это связано с тем, что эта импликация может считаться "истинной", даже не будучи доказуемой.

-- Ср дек 20, 2023 17:14:08 --

EminentVictorians в сообщении #1623129 писал(а):

epros в сообщении #1623124 писал(а):

В нашем мире существуют бесконечные процедуры, например, продолжение натурального ряда.

В мире ли? По-моему, исключительно в нашем воображении. (Как и любая другая математическая абстракция, да хоть то же число 1, от которого бесконечностью даже не пахнет)

Вообще-то процедура - это такая штука, которую можно реально запрограммировать. Правда рано или поздно её выполнение упрётся в ресурсные ограничения реального исполнительного устройства. Но это - вопрос технический, который решается добавлением ресурсов.

И я ничего не говорил против воображения. В частности, я легко воображаю добавление ресурсов устройству, выполняющему бесконечную процедуру. Но когда Вы начинаете воображать, что вообразили процедуру, которую не можете вообразить, то это уже чересчур.

EminentVictorians в сообщении #1623129 писал(а):

И то, и другое существуют исключительно в наших головах. Почему второе мифичнее первого?

В сущности, всё очень просто: Нужно предъявить конкретный пример того, существование чего Вы утверждаете. "Конкретный" - это значит, что эта штука однозначно определена. Против её воображаемости возражений нет.

[mihaild]

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Это не наблюдения указывают, а мой теоретический вывод

А что вообще тогда такое "наблюдение"? "Вася видит зеленого черта" - это наблюдение, или теоретический вывод?

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Я не понял, что омоним и каковы его разные значения?

"Теория". Какие значения - я не очень понимаю, но объединять математику и экономику одним понятием скорее вредно, чем полезно.

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Вы им всем автоматически даёте право объявлять свой предмет "объективной реальностью"?

Да, не вижу проблем. Естественно, это не означает, что они автоматически об этом предмете говорят правду.

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Число из $10^{100}$ единиц в десятичной записи

Тогда я легко могу предъявить разрезание шара, см. в любом месте, где оно изложено. Описание чуть сложнее, но я не вижу принципиальных отличий.

epros в сообщении #1623134 писал(а):

То, что я написал, означает, что импликация $A \to B$ не тождестванна выводимости $B$ из $A$ (т.е. $A \vdash B$)

Импликация вообще не может считаться ни истинной ни ложной, нужна модель. Т.е. можно еще сказать, что желтые ботинки не тождественны выводимости. В каком смысле импликация вообще может быть чему-то тождественной?

[Утундрий]

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):

"Вася видит зеленого черта" - это наблюдение, или теоретический вывод?

Наблюдение. Теоретический вывод - это когда группа зелёных чертей приходит с претензией: мол, утомил этот ваш Вася. Постоянно ходит за нами и подглядывает. Заберите его уже!

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Вообще-то процедура - это такая штука, которую можно реально запрограммировать.

Я понимаю. Близко, но не тождественно понятию "алгоритм". Вот только, и "алгоритм", и "процедура" - это математические понятия, в реальном мире не существующие. Это все абстракции. А Вы писали, что "В нашем мире существуют бесконечные процедуры".

epros в сообщении #1623134 писал(а):

В сущности, всё очень просто: Нужно предъявить конкретный пример того, существование чего Вы утверждаете. "Конкретный" - это значит, что эта штука однозначно определена.

Пусть $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Я начинаю рассуждать:
т.к. $M \ne \varnothing$, выберем произвольный $x \in M$.
Учитывая, что $1 \leqslant x \leqslant 5$, получаем, что $x^2 \leqslant 25$.

Объявите такое рассуждение некорректным и скажете, что я рассуждаю о заведомо мифическом объекте? Однозначности-то нету.

[epros]

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):

А что вообще тогда такое "наблюдение"? "Вася видит зеленого черта" - это наблюдение, или теоретический вывод?

Это утверждение о наблюдаемом. Если его выскажу я, то возникнет закономерный вопрос, откуда я это взял. А вот если его выскажет сам Вася, то есть основания ему поверить.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):

"Теория". Какие значения - я не очень понимаю, но объединять математику и экономику одним понятием скорее вредно, чем полезно.

А по-моему объединять их одним понятием очень полезно - с точки зрения правильности понимания того, как устроено вообще всё наше знание. Ибо теория - это множество утверждений некоего языка. При этом аксиоматическая теория - это множество утверждений, выводимых по заданным правилам из заданных аксиом. Что здесь не подходит под экономику, но подходит под математику (или наоборот)? Обратите внимание, я не сказал, что язык и всё остальное должны быть формальными.

(Экономика)

Кстати, современная экономика достаточно высокого уровня (выше вузовских учебников для "менеджеров") - это на 90% теория игр, т.е. довольно продвинутая математика.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Вы им всем автоматически даёте право объявлять свой предмет "объективной реальностью"?

Да, не вижу проблем. Естественно, это не означает, что они автоматически об этом предмете говорят правду.

А я именно в этом (что не все они говорят "правду" и вообще не противоречащие друг другу вещи) и вижу основную проблему: В чём именно заключается эта самая "объективная реальность" мы так и не разобрались.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):

epros в сообщении #1623134 писал(а):

Число из $10^{100}$ единиц в десятичной записи

Тогда я легко могу предъявить разрезание шара, см. в любом месте, где оно изложено. Описание чуть сложнее, но я не вижу принципиальных отличий.

Принципиальное отличие простое: Моё определение числа однозначно (хотя Вы запрашивали у меня любое число из $10^{100}$ цифр).

При этом я не предлагаю играть в достраивание определения по мере того, как у собеседника возникают вопросы. Такую игру мне предложили в качестве определения "конкретной" нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$. Типа: Называйте аргумент, а я назову значение функции для данного аргумента. Нет уж, достраиваемое на ходу за определение не считается.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):

Импликация вообще не может считаться ни истинной ни ложной, нужна модель. Т.е. можно еще сказать, что желтые ботинки не тождественны выводимости. В каком смысле импликация вообще может быть чему-то тождественной?

Разумеется для определения истинности чего-либо (не только импликации) классическая логика требует "модель". Это очередной вывих классической логики: Как только поняли, что теории самой по себе недостаточно, так и придумали эти модели (надувательство вообще-то). Но ведь исходная идея заключается в том, что слова "следует" и "выводится" должны означать одно и то же! Посмотрите на правило modus ponens: Что оно такое, как не способ получить выводимость из импликации? С другой стороны, теорема дедукции - это способ получить импликацию из выводимости. И тем не менее, в классической логике с тождественностью этих понятий что-то не срослось.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1623143 писал(а):

Близко, но не тождественно понятию "алгоритм". Вот только, и "алгоритм", и "процедура" - это математические понятия, в реальном мире не существующие. Это все абстракции.

Да бросьте. Во-первых, процедура и алгоритм фактически синонимы и есть. Во-вторых, при том, что это понятие математическое, в реальном мире вполне себе существуют реальные алгоритмы. И они даже вполне соответствуют своему абстрактному математическому прообразу: Есть конечный код и есть устройство, способное интерпретировать и исполнить каждый оператор этого кода. Небольшая особенность реального алгоритма заключается в том, что реальное исполнительное устройство ограничено по ресурсам. Но это отличие из той же области, из которой отличия реального стула от абстрактного, теоретически определённого.

EminentVictorians в сообщении #1623143 писал(а):

Учитывая, что $1 \leqslant x \leqslant 5$

Откуда это взято? Лично мне удалось это проверить, только просмотрев все элементы указанного Вами множества.

[diletto]

EminentVictorians в сообщении #1623129 писал(а):

Есть реальный физический мир. В нем вообще нету никаких чисел, функций, уравнений, шаров, точек и т.п. Всё перечисленное - продукты фантазии. Какая разница, навоображали мы число 1 или множество Витали? И то, и другое существуют исключительно в наших головах. Почему второе мифичнее первого?

С "реальным физическим" тоже проблемы. Почему число 1 мифичнее силовых линий? Элементарных частиц? Плотной материи?..
Что останется от т.н. реальности, если убрать все абстракции? А ведь они, абстракции, все без исключения зиждутся на операции сравнения и на отношении вхождения - т.е. в известном смысле математика оказывается "базовее" физики.

[mihaild]

epros в сообщении #1623145 писал(а):

А вот если его выскажет сам Вася, то есть основания ему поверить

Если Вася говорит "я вижу зелёного черта" - это утверждение о наблюдаемом или нет? А если он теперь скажет "вот там ухо, вот там хвост"?

epros в сообщении #1623145 писал(а):

При этом аксиоматическая теория - это множество утверждений, выводимых по заданным правилам из заданных аксиом. Что здесь не подходит под экономику, но подходит под математику (или наоборот)?

Экономика не умеет и не должна уметь рассматривать произвольные аксиомы. А математика умеет.

epros в сообщении #1623145 писал(а):

В чём именно заключается эта самая "объективная реальность" мы так и не разобрались

Этот вопрос можно понять минимум двумя способами: какое определение у "объективной реальности", и как определить на практике, что к ней относится. Вы про какой вариант?

epros в сообщении #1623145 писал(а):

Принципиальное отличие простое: Моё определение числа однозначно

Мое определение разреза шара тоже.

epros в сообщении #1623145 писал(а):

Разумеется для определения истинности чего-либо (не только импликации) классическая логика требует "модель".

А какая не требует?

И вообще, в чем жульничество? Немыслимо, чтобы мы смогли нарисовать карту города, сидя в комнате без окон. Но если мы хотим порассуждать о картах вообще (и о том, какой эта карта может оказаться), до того, как мы вышли из комнаты, нам нужно уметь использовать утверждения, которые для части карт истинны, а для части ложны.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623164 писал(а):

Во-первых, процедура и алгоритм фактически синонимы и есть.

Алгоритмы должны при правильно заданных начальных данных выдать результат за конечное число шагов. Вычислительные процедуры - не обязательно.

epros в сообщении #1623164 писал(а):

Во-вторых, при том, что это понятие математическое, в реальном мире вполне себе существуют реальные алгоритмы. И они даже вполне соответствуют своему абстрактному математическому прообразу: Есть конечный код и есть устройство, способное интерпретировать и исполнить каждый оператор этого кода.

Нет, в реально мире алгоритмов нету. Есть груды металла (компьютеры), есть какие-то подсвеченные разными цветами пиксели на мониторе и т.д. Алгоритм - это чисто теоретическое понятие.
Ну или иначе Вам придется согласиться, что в реальном мире есть треугольники и отрезки.

epros в сообщении #1623164 писал(а):

Откуда это взято? Лично мне удалось это проверить, только просмотрев все элементы указанного Вами множества.

Да, согласен. Если задать $M$ непосредственным перечислением элементов, то придется просматривать.

Давайте считать, что $M$ определено как начальный отрезок натурального ряда до 5 включая. Тогда $\min M = 1$ (как у любого начального отрезка), $\max M = 5$ (следует из определения множества $M$).

Тогда, $x \in M \Rightarrow \min M \leqslant x \leqslant \max M \Rightarrow 1 \leqslant x \leqslant 5$.

Проверять не пришлось.

-- 20.12.2023, 21:22 --

diletto в сообщении #1623169 писал(а):

Почему число 1 мифичнее силовых линий? Элементарных частиц? Плотной материи?..

Я бы разделял: абстрактные элементарные частицы, существующие в рамках неких физических теорий и реальные сущности, проявляющие себя в эксперименте.

[epros]

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):

Если Вася говорит "я вижу зелёного черта" - это утверждение о наблюдаемом или нет? А если он теперь скажет "вот там ухо, вот там хвост"?

Утверждение о наблюдаемом.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):

Экономика не умеет и не должна уметь рассматривать произвольные аксиомы. А математика умеет.

"Аксиома" - это такое громкое слово для обозначения утверждения, принимаемого без доказательств. В любой теории, включая экономические, такие есть.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):

Этот вопрос можно понять минимум двумя способами: какое определение у "объективной реальности", и как определить на практике, что к ней относится. Вы про какой вариант?

По моим понятиям это один вопрос: Дать определение "объективной реальности" - это значит указать способ "определения на практике", что к ней относится или не относится.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):

Мое определение разреза шара тоже.

Как докажете однозначность? И просто интересно: Однозначное определение какой-нибудь конкретной нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$ тоже можете представить?

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):

А какая не требует?

По моим понятиям в нормальной логике следствие должно означать в точности то же самое, что выводимость. Соответственно, истинность - это должно быть просто другим словом для обозначения доказанного. Я наивно надеюсь, что конструктивная логика окажется способной соответствовать этим требованиям.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):

И вообще, в чем жульничество?

Строим "модель" арифметики Пеано. Что это значит? А значит, что мы в моделирующей теории доказываем, в том числе, существование функции из всех предложений языка арифметики в $\{0,1\}$, такой, что аксиомы отображаются в $1$, ну и так далее. Но при этом заведомо существуют такие предложения языка арифметики, для которых моделирующая теория не сможет определить значение этой функции. Вот это и есть надувательство: Мы утверждаем существование функции, значения которой для некоторых аргументов не определены.

-- Ср дек 20, 2023 22:53:09 --

EminentVictorians в сообщении #1623182 писал(а):

Алгоритмы должны при правильно заданных начальных данных выдать результат за конечное число шагов. Вычислительные процедуры - не обязательно.

И откуда Вы это взяли?

EminentVictorians в сообщении #1623182 писал(а):

Нет, в реально мире алгоритмов нету. Есть груды металла (компьютеры), есть какие-то подсвеченные разными цветами пиксели на мониторе и т.д. Алгоритм - это чисто теоретическое понятие.
Ну или иначе Вам придется согласиться, что в реальном мире есть треугольники и отрезки.

Ну и ну. Может Вы ещё скажете, что в реальном мире никаких стульев нет, а есть только деревяшки, соединённые железками и местами покрытые тканью?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1623186 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1623182 писал(а):

Алгоритмы должны при правильно заданных начальных данных выдать результат за конечное число шагов. Вычислительные процедуры - не обязательно.

И откуда Вы это взяли?

Кнут, Искусство программирования, Том 1, Основные понятия, 1.1. Алгоритмы

Цитата:

1)Конечность. Алгоритм всегда должен заканчиваться после выполнения конечного числа шагов. [...] Процедура, обладающая всеми характеристиками алгоритма, за исключением, возможно, конечности, называется методом вычислений.

epros в сообщении #1623186 писал(а):

Ну и ну. Может Вы ещё скажете, что в реальном мире никаких стульев нет, а есть только деревяшки, соединённые железками и местами покрытые тканью?

"Стул" как понятие - да, абстрактное. Используется для моделирования конкретных деревяшек, покрытых тканеобразным материалом.


Тем не менее, Вы не прокомментировали ситуацию с выбором произвольного элемента из множества $M$. Пример как раз о том, что неконструктивность может вноситься таким безобидным рассуждением как : "Множество $M$ не пусто. Выберем произвольный элемент $x \in M$". Однозначности нету. Считаете все подобные рассуждения мифологизацией?