2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 16  След.
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
epros в сообщении #1623124 писал(а):
На то, что их нет, указывают не наблюдения, а теоретические выводы
Одни наблюдения указывают на одно, другие на другое. Говоря, что "Вася видит чертей, которых нет", Вы уже делаете "теоретический вывод" - что одни наблюдения лучше других.
epros в сообщении #1623124 писал(а):
Есть теории, которые описывают заведомо абстрактные вещи, такова практически вся математика. А есть теории, которые описывают устройство чего-то в природе
Это омонимия.
epros в сообщении #1623124 писал(а):
Кто (какая теория) будет "выяснять" предмет какой из теорий можно так назвать?
Тех теорий, которые интересуются наблюдениями. Математику наблюдения не интересуют.
epros в сообщении #1623124 писал(а):
Классический анализ только утверждает, что разбиение шара "существует", но предъявить его не может
А существует ли число из $10^{100}$ цифр? Если да, то предъявите его, пожалуйста.
epros в сообщении #1623124 писал(а):
логическое следствие в принципе не тождественно выводимости
А теорема о полноте (ну и о корректности) утверждает, что тождественно. Так что я тут правда перестал понимать, о чем речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 14:55 


15/11/15
1080
А мне что-то подумалось: признаём, что математика - работает.
Это, как ни крути, не очень понятно почему, и поэтому - удивительно.
А нумерологию с гематрией гоним в шею. Нет ли тут противоречия? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 14:57 


22/10/20
1194
epros в сообщении #1623124 писал(а):
В нашем мире существуют бесконечные процедуры, например, продолжение натурального ряда.
В мире ли? По-моему, исключительно в нашем воображении. (Как и любая другая математическая абстракция, да хоть то же число 1, от которого бесконечностью даже не пахнет)

epros в сообщении #1623124 писал(а):
Конечно, эта бесконечность потенциальная, поскольку никому в реальности не удалось такие процедуры "выполнить полностью".
Ну я же почему-то могу мыслить $\mathbb N$ как одно множество. Без всяких процедур, процессов, шагов и т.п.

epros в сообщении #1623124 писал(а):
Я только сказал, что она не соответствует нашему миру, ибо порождает утверждения о существовании заведомо мифических объектов.
Я запутался. Есть реальный физический мир. В нем вообще нету никаких чисел, функций, уравнений, шаров, точек и т.п. Всё перечисленное - продукты фантазии. Какая разница, навоображали мы число 1 или множество Витали? И то, и другое существуют исключительно в наших головах. Почему второе мифичнее первого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 15:09 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
epros в сообщении #1623124 писал(а):
Классический анализ только утверждает, что разбиение шара "существует", но предъявить его не может.
Вообще-то построение этого разбиения довольно простое, весьма конкретное и интуитивно-понятное.
epros в сообщении #1623124 писал(а):
конечно, эта бесконечность потенциальная, поскольку никому в реальности не удалось такие процедуры "выполнить полностью".
Спорное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10853
mihaild в сообщении #1623126 писал(а):
Одни наблюдения указывают на одно, другие на другое. Говоря, что "Вася видит чертей, которых нет", Вы уже делаете "теоретический вывод" - что одни наблюдения лучше других.

Это не наблюдения указывают, а мой теоретический вывод. И да, теоретические выводы могут любым образом оценивать наблюдения, не только с точки зрения того, какие "лучше".

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):
epros в сообщении #1623124 писал(а):
Есть теории, которые описывают заведомо абстрактные вещи, такова практически вся математика. А есть теории, которые описывают устройство чего-то в природе
Это омонимия.

Я не понял, что омоним и каковы его разные значения?

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):
epros в сообщении #1623124 писал(а):
Кто (какая теория) будет "выяснять" предмет какой из теорий можно так назвать?
Тех теорий, которые интересуются наблюдениями. Математику наблюдения не интересуют.

Все естественнонаучные теории и множество других (например, экономические) говорят что-то о наблюдаемом. Вы им всем автоматически даёте право объявлять свой предмет "объективной реальностью"?

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):
А существует ли число из $10^{100}$ цифр? Если да, то предъявите его, пожалуйста.

Легко: Число из $10^{100}$ единиц в десятичной записи.

mihaild в сообщении #1623126 писал(а):
epros в сообщении #1623124 писал(а):
логическое следствие в принципе не тождественно выводимости
А теорема о полноте (ну и о корректности) утверждает, что тождественно. Так что я тут правда перестал понимать, о чем речь.

Нет, она не это утверждает. Логическое следствие - это импликация. То, что я написал, означает, что импликация $A \to B$ не тождественна выводимости $B$ из $A$ (т.е. $A \vdash B$). Это связано с тем, что эта импликация может считаться "истинной", даже не будучи доказуемой.

-- Ср дек 20, 2023 17:14:08 --

EminentVictorians в сообщении #1623129 писал(а):
epros в сообщении #1623124 писал(а):
В нашем мире существуют бесконечные процедуры, например, продолжение натурального ряда.
В мире ли? По-моему, исключительно в нашем воображении. (Как и любая другая математическая абстракция, да хоть то же число 1, от которого бесконечностью даже не пахнет)

Вообще-то процедура - это такая штука, которую можно реально запрограммировать. Правда рано или поздно её выполнение упрётся в ресурсные ограничения реального исполнительного устройства. Но это - вопрос технический, который решается добавлением ресурсов.

И я ничего не говорил против воображения. В частности, я легко воображаю добавление ресурсов устройству, выполняющему бесконечную процедуру. Но когда Вы начинаете воображать, что вообразили процедуру, которую не можете вообразить, то это уже чересчур. :wink:

EminentVictorians в сообщении #1623129 писал(а):
И то, и другое существуют исключительно в наших головах. Почему второе мифичнее первого?

В сущности, всё очень просто: Нужно предъявить конкретный пример того, существование чего Вы утверждаете. "Конкретный" - это значит, что эта штука однозначно определена. Против её воображаемости возражений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Это не наблюдения указывают, а мой теоретический вывод
А что вообще тогда такое "наблюдение"? "Вася видит зеленого черта" - это наблюдение, или теоретический вывод?
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Я не понял, что омоним и каковы его разные значения?
"Теория". Какие значения - я не очень понимаю, но объединять математику и экономику одним понятием скорее вредно, чем полезно.
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Вы им всем автоматически даёте право объявлять свой предмет "объективной реальностью"?
Да, не вижу проблем. Естественно, это не означает, что они автоматически об этом предмете говорят правду.
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Число из $10^{100}$ единиц в десятичной записи
Тогда я легко могу предъявить разрезание шара, см. в любом месте, где оно изложено. Описание чуть сложнее, но я не вижу принципиальных отличий.
epros в сообщении #1623134 писал(а):
То, что я написал, означает, что импликация $A \to B$ не тождестванна выводимости $B$ из $A$ (т.е. $A \vdash B$)
Импликация вообще не может считаться ни истинной ни ложной, нужна модель. Т.е. можно еще сказать, что желтые ботинки не тождественны выводимости. В каком смысле импликация вообще может быть чему-то тождественной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
mihaild в сообщении #1623140 писал(а):
"Вася видит зеленого черта" - это наблюдение, или теоретический вывод?
Наблюдение. Теоретический вывод - это когда группа зелёных чертей приходит с претензией: мол, утомил этот ваш Вася. Постоянно ходит за нами и подглядывает. Заберите его уже!

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 16:57 


22/10/20
1194
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Вообще-то процедура - это такая штука, которую можно реально запрограммировать.
Я понимаю. Близко, но не тождественно понятию "алгоритм". Вот только, и "алгоритм", и "процедура" - это математические понятия, в реальном мире не существующие. Это все абстракции. А Вы писали, что "В нашем мире существуют бесконечные процедуры".
epros в сообщении #1623134 писал(а):
В сущности, всё очень просто: Нужно предъявить конкретный пример того, существование чего Вы утверждаете. "Конкретный" - это значит, что эта штука однозначно определена.
Пусть $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Я начинаю рассуждать:
т.к. $M \ne \varnothing$, выберем произвольный $x \in M$.
Учитывая, что $1 \leqslant x \leqslant 5$, получаем, что $x^2 \leqslant 25$.

Объявите такое рассуждение некорректным и скажете, что я рассуждаю о заведомо мифическом объекте? Однозначности-то нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10853
mihaild в сообщении #1623140 писал(а):
А что вообще тогда такое "наблюдение"? "Вася видит зеленого черта" - это наблюдение, или теоретический вывод?

Это утверждение о наблюдаемом. Если его выскажу я, то возникнет закономерный вопрос, откуда я это взял. А вот если его выскажет сам Вася, то есть основания ему поверить.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):
"Теория". Какие значения - я не очень понимаю, но объединять математику и экономику одним понятием скорее вредно, чем полезно.

А по-моему объединять их одним понятием очень полезно - с точки зрения правильности понимания того, как устроено вообще всё наше знание. Ибо теория - это множество утверждений некоего языка. При этом аксиоматическая теория - это множество утверждений, выводимых по заданным правилам из заданных аксиом. Что здесь не подходит под экономику, но подходит под математику (или наоборот)? Обратите внимание, я не сказал, что язык и всё остальное должны быть формальными.

(Экономика)

Кстати, современная экономика достаточно высокого уровня (выше вузовских учебников для "менеджеров") - это на 90% теория игр, т.е. довольно продвинутая математика.


mihaild в сообщении #1623140 писал(а):
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Вы им всем автоматически даёте право объявлять свой предмет "объективной реальностью"?
Да, не вижу проблем. Естественно, это не означает, что они автоматически об этом предмете говорят правду.

А я именно в этом (что не все они говорят "правду" и вообще не противоречащие друг другу вещи) и вижу основную проблему: В чём именно заключается эта самая "объективная реальность" мы так и не разобрались.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):
epros в сообщении #1623134 писал(а):
Число из $10^{100}$ единиц в десятичной записи
Тогда я легко могу предъявить разрезание шара, см. в любом месте, где оно изложено. Описание чуть сложнее, но я не вижу принципиальных отличий.

Принципиальное отличие простое: Моё определение числа однозначно (хотя Вы запрашивали у меня любое число из $10^{100}$ цифр).

При этом я не предлагаю играть в достраивание определения по мере того, как у собеседника возникают вопросы. Такую игру мне предложили в качестве определения "конкретной" нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$. Типа: Называйте аргумент, а я назову значение функции для данного аргумента. Нет уж, достраиваемое на ходу за определение не считается.

mihaild в сообщении #1623140 писал(а):
Импликация вообще не может считаться ни истинной ни ложной, нужна модель. Т.е. можно еще сказать, что желтые ботинки не тождественны выводимости. В каком смысле импликация вообще может быть чему-то тождественной?

Разумеется для определения истинности чего-либо (не только импликации) классическая логика требует "модель". Это очередной вывих классической логики: Как только поняли, что теории самой по себе недостаточно, так и придумали эти модели (надувательство вообще-то). Но ведь исходная идея заключается в том, что слова "следует" и "выводится" должны означать одно и то же! Посмотрите на правило modus ponens: Что оно такое, как не способ получить выводимость из импликации? С другой стороны, теорема дедукции - это способ получить импликацию из выводимости. И тем не менее, в классической логике с тождественностью этих понятий что-то не срослось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10853
EminentVictorians в сообщении #1623143 писал(а):
Близко, но не тождественно понятию "алгоритм". Вот только, и "алгоритм", и "процедура" - это математические понятия, в реальном мире не существующие. Это все абстракции.

Да бросьте. Во-первых, процедура и алгоритм фактически синонимы и есть. Во-вторых, при том, что это понятие математическое, в реальном мире вполне себе существуют реальные алгоритмы. И они даже вполне соответствуют своему абстрактному математическому прообразу: Есть конечный код и есть устройство, способное интерпретировать и исполнить каждый оператор этого кода. Небольшая особенность реального алгоритма заключается в том, что реальное исполнительное устройство ограничено по ресурсам. Но это отличие из той же области, из которой отличия реального стула от абстрактного, теоретически определённого.

EminentVictorians в сообщении #1623143 писал(а):
Учитывая, что $1 \leqslant x \leqslant 5$

Откуда это взято? Лично мне удалось это проверить, только просмотрев все элементы указанного Вами множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 20:13 


12/08/13
982
EminentVictorians в сообщении #1623129 писал(а):
Есть реальный физический мир. В нем вообще нету никаких чисел, функций, уравнений, шаров, точек и т.п. Всё перечисленное - продукты фантазии. Какая разница, навоображали мы число 1 или множество Витали? И то, и другое существуют исключительно в наших головах. Почему второе мифичнее первого?

С "реальным физическим" тоже проблемы. Почему число 1 мифичнее силовых линий? Элементарных частиц? Плотной материи?..
Что останется от т.н. реальности, если убрать все абстракции? А ведь они, абстракции, все без исключения зиждутся на операции сравнения и на отношении вхождения - т.е. в известном смысле математика оказывается "базовее" физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
epros в сообщении #1623145 писал(а):
А вот если его выскажет сам Вася, то есть основания ему поверить
Если Вася говорит "я вижу зелёного черта" - это утверждение о наблюдаемом или нет? А если он теперь скажет "вот там ухо, вот там хвост"?
epros в сообщении #1623145 писал(а):
При этом аксиоматическая теория - это множество утверждений, выводимых по заданным правилам из заданных аксиом. Что здесь не подходит под экономику, но подходит под математику (или наоборот)?
Экономика не умеет и не должна уметь рассматривать произвольные аксиомы. А математика умеет.
epros в сообщении #1623145 писал(а):
В чём именно заключается эта самая "объективная реальность" мы так и не разобрались
Этот вопрос можно понять минимум двумя способами: какое определение у "объективной реальности", и как определить на практике, что к ней относится. Вы про какой вариант?
epros в сообщении #1623145 писал(а):
Принципиальное отличие простое: Моё определение числа однозначно
Мое определение разреза шара тоже.
epros в сообщении #1623145 писал(а):
Разумеется для определения истинности чего-либо (не только импликации) классическая логика требует "модель".
А какая не требует?

И вообще, в чем жульничество? Немыслимо, чтобы мы смогли нарисовать карту города, сидя в комнате без окон. Но если мы хотим порассуждать о картах вообще (и о том, какой эта карта может оказаться), до того, как мы вышли из комнаты, нам нужно уметь использовать утверждения, которые для части карт истинны, а для части ложны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 21:15 


22/10/20
1194
epros в сообщении #1623164 писал(а):
Во-первых, процедура и алгоритм фактически синонимы и есть.
Алгоритмы должны при правильно заданных начальных данных выдать результат за конечное число шагов. Вычислительные процедуры - не обязательно.
epros в сообщении #1623164 писал(а):
Во-вторых, при том, что это понятие математическое, в реальном мире вполне себе существуют реальные алгоритмы. И они даже вполне соответствуют своему абстрактному математическому прообразу: Есть конечный код и есть устройство, способное интерпретировать и исполнить каждый оператор этого кода.
Нет, в реально мире алгоритмов нету. Есть груды металла (компьютеры), есть какие-то подсвеченные разными цветами пиксели на мониторе и т.д. Алгоритм - это чисто теоретическое понятие.
Ну или иначе Вам придется согласиться, что в реальном мире есть треугольники и отрезки.
epros в сообщении #1623164 писал(а):
Откуда это взято? Лично мне удалось это проверить, только просмотрев все элементы указанного Вами множества.
Да, согласен. Если задать $M$ непосредственным перечислением элементов, то придется просматривать.

Давайте считать, что $M$ определено как начальный отрезок натурального ряда до 5 включая. Тогда $\min M = 1$ (как у любого начального отрезка), $\max M = 5$ (следует из определения множества $M$).

Тогда, $x \in M \Rightarrow \min M \leqslant x \leqslant \max M \Rightarrow 1 \leqslant x \leqslant 5$.

Проверять не пришлось.

-- 20.12.2023, 21:22 --

diletto в сообщении #1623169 писал(а):
Почему число 1 мифичнее силовых линий? Элементарных частиц? Плотной материи?..
Я бы разделял: абстрактные элементарные частицы, существующие в рамках неких физических теорий и реальные сущности, проявляющие себя в эксперименте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10853
mihaild в сообщении #1623175 писал(а):
Если Вася говорит "я вижу зелёного черта" - это утверждение о наблюдаемом или нет? А если он теперь скажет "вот там ухо, вот там хвост"?

Утверждение о наблюдаемом.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):
Экономика не умеет и не должна уметь рассматривать произвольные аксиомы. А математика умеет.

"Аксиома" - это такое громкое слово для обозначения утверждения, принимаемого без доказательств. В любой теории, включая экономические, такие есть.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):
Этот вопрос можно понять минимум двумя способами: какое определение у "объективной реальности", и как определить на практике, что к ней относится. Вы про какой вариант?

По моим понятиям это один вопрос: Дать определение "объективной реальности" - это значит указать способ "определения на практике", что к ней относится или не относится.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):
Мое определение разреза шара тоже.

Как докажете однозначность? И просто интересно: Однозначное определение какой-нибудь конкретной нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$ тоже можете представить?

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):
А какая не требует?

По моим понятиям в нормальной логике следствие должно означать в точности то же самое, что выводимость. Соответственно, истинность - это должно быть просто другим словом для обозначения доказанного. Я наивно надеюсь, что конструктивная логика окажется способной соответствовать этим требованиям.

mihaild в сообщении #1623175 писал(а):
И вообще, в чем жульничество?

Строим "модель" арифметики Пеано. Что это значит? А значит, что мы в моделирующей теории доказываем, в том числе, существование функции из всех предложений языка арифметики в $\{0,1\}$, такой, что аксиомы отображаются в $1$, ну и так далее. Но при этом заведомо существуют такие предложения языка арифметики, для которых моделирующая теория не сможет определить значение этой функции. Вот это и есть надувательство: Мы утверждаем существование функции, значения которой для некоторых аргументов не определены.

-- Ср дек 20, 2023 22:53:09 --

EminentVictorians в сообщении #1623182 писал(а):
Алгоритмы должны при правильно заданных начальных данных выдать результат за конечное число шагов. Вычислительные процедуры - не обязательно.

И откуда Вы это взяли?

EminentVictorians в сообщении #1623182 писал(а):
Нет, в реально мире алгоритмов нету. Есть груды металла (компьютеры), есть какие-то подсвеченные разными цветами пиксели на мониторе и т.д. Алгоритм - это чисто теоретическое понятие.
Ну или иначе Вам придется согласиться, что в реальном мире есть треугольники и отрезки.

Ну и ну. Может Вы ещё скажете, что в реальном мире никаких стульев нет, а есть только деревяшки, соединённые железками и местами покрытые тканью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему математика работает?
Сообщение20.12.2023, 22:32 


22/10/20
1194
epros в сообщении #1623186 писал(а):
EminentVictorians в сообщении #1623182 писал(а):
Алгоритмы должны при правильно заданных начальных данных выдать результат за конечное число шагов. Вычислительные процедуры - не обязательно.

И откуда Вы это взяли?
Кнут, Искусство программирования, Том 1, Основные понятия, 1.1. Алгоритмы
Цитата:
1)Конечность. Алгоритм всегда должен заканчиваться после выполнения конечного числа шагов. [...] Процедура, обладающая всеми характеристиками алгоритма, за исключением, возможно, конечности, называется методом вычислений.


epros в сообщении #1623186 писал(а):
Ну и ну. Может Вы ещё скажете, что в реальном мире никаких стульев нет, а есть только деревяшки, соединённые железками и местами покрытые тканью?
"Стул" как понятие - да, абстрактное. Используется для моделирования конкретных деревяшек, покрытых тканеобразным материалом.


Тем не менее, Вы не прокомментировали ситуацию с выбором произвольного элемента из множества $M$. Пример как раз о том, что неконструктивность может вноситься таким безобидным рассуждением как : "Множество $M$ не пусто. Выберем произвольный элемент $x \in M$". Однозначности нету. Считаете все подобные рассуждения мифологизацией?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 227 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 16  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group