Можно ли развивать нестандартный анализ без обращений к матлогике? Я имею в виду примерно следующее:
0) Забываем всю математику класса, начиная, с 8-ого (или когда там впервые появляются иррациональные числа). В общем, все что на данный момент знаем - это как работать с рациональными числами.
1) Определяем голые вещественные числа
- просто полное архимедово линейно упорядоченное поле. Ни про корни, ни про степени, ни про синусы с косинусами не знаем.
2) Фиксируем модель
, построенную на (существующем по аксиоме выбора) свободном ультрафильтре
.
3) Определяем принцип переноса - процедуру, которая каждое множество
переводит в
, функцию
переводит в
и т.д. Для множеств это делается так:
если
, то определим
следующим образом: для гипердействительного числа
(которое представляет собой класс последовательностей действительных чисел, в который входит, в частности, последовательность
) выполняется
.
4) И начинаем давать все известные определения (начиная с элементарных функций), сразу на гипердействительных числах. Я бы очень хотел избежать любое обращение к действительным числам, но, похоже, совсем избежать не получится. Например, чтобы определить функцию
придется все равно сначала определить ее как функцию вида
, а потом, пользуясь принципом переноса, определяем ее гипердействительный аналог
.
Ключевой момент, что мы стараемся ничего не доказывать про действительный корень - все свойства стараемся доказывать сразу для гипердействительного корня. Скорее всего, для вещественных корней тоже придется что-то доказать, но будем доказывать только самое необходимое.
5)Таким образом, тот же действительный корень будет для нас как бы "протокорнем". И когда мы далее будем писать значок
, мы будем иметь в виду на самом деле
. Ставить звездочку имело бы смысл, если бы для нас центральным объектом были бы действительные числа, а гипердействительные - вспомогательным. Но я хочу в принципе постараться как можно меньше задерживаться в
.
Таким образом, я хочу построить нестандартный анализ, в котором не будет никакой матлогики, никаких языков, никакой теории моделей, никаких Нельсонов, Хрбачеков, Каваи, никакого принципа переноса в терминах языка первого порядка, никаких внутренних множеств, предикатов стандартности и т.д. - короче вообще ничего касающегося матлогики.
Насколько это реально?