2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение12.08.2019, 22:42 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf в сообщении #1410056 писал(а):
Максимальное число натуральных решений в одном сечении- $2$.
А можете привести пример такого $a$, для которого уравнение $x^3+y^3=a$ имеет четыре решения в натуральных числах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение12.08.2019, 23:03 


23/02/12
1937
nnosipov в сообщении #1410070 писал(а):
А можете привести пример такого $a$, для которого уравнение $x^3+y^3=a$ имеет четыре решения в натуральных числах?
Возможно при больших $a$ это будет. Но 'это ничего не изменит, так как интервалы с отсутствием натуральных решений будут возрастать и $R_{+} <N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение12.08.2019, 23:30 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf в сообщении #1410073 писал(а):
Возможно при больших $a$ это будет. Но 'это ничего не изменит, так как интервалы с отсутствием натуральных решений будут возрастать и $R_{+}<N$.
"Возможно", "ничего не изменит" --- это не математика, это пустой треп. Скучно с Вами. Пока хоть какое-то доказательство не напишите, отвечать не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение13.08.2019, 21:43 


23/02/12
1937
Cделаем асимптотическую оценку количества натуральных решений более общего уравнения в гиперкубе со стороной $N$:
$x_1=x_2^n+...+x_k^n$. (1)

Докажем индукцией по $k$ оценку количества натуральных решений уравнения (1):
$R_k^{+}(N)=O(N^{(k-1)/n})$, (2)

Для $k=2$ получаем уравнение $x_1=x_2^n$, для которого оценка количества натуральных решений в квадрате со стороной $N$: $R_2^{+}(N)=N^{1/n}$, что соответствует (2).

Предположим, что для $k=i$ справедлива оценка количества натуральных решений уравнения (1):
$R_i^{+}(N) = O(N^{(i-1)/n})$, что соответствует (2).

Тогда для $k=i+1$ справедлива оценка количества натуральных решений уравнения (1):
$R_{i+1}^{+}(N)= R_i^{+}(N) \cdot O(N^{1/n})=O(N^{(i-1)/n}) \cdot O(N^{1/n})=O(N^{i/n}) $,

что соответствует (2) ч.т.д.

В частном случае, рассмотрим оценку количества натуральных решений уравнения $x_1=x_2^2+x_3^2+x_4^2$ в гиперкубе со стороной $N$ другим способом.

Количество натуральных решений в данном гиперкубе определяется, как количество натуральных решений неравенства: $x_1=x_2^2+x_3^2+x_4^2 \leq N$, которое равно количеству точек c натуральными координатами внутри шара с радиусом $N^{1/2}$:
$R_4^{+}(N)=\pi N^{3/2}/6+O(N)=O(N^{3/2})$. (3)

Формула (3) соответствует (2) при $n=2,k=4$. (см. стр. 10 https://arxiv.org/abs/1608.03459).

Асимптотическая оценка количество натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$ для Вашего примера 3 определяется по формуле (2) со значениями $n=3,k=3$:

$R_3^{+}(N)=O(N^{2/3})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение13.08.2019, 22:20 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf Сразу предупреждаю: разбирать Ваши тексты я не собираюсь, ибо уже не раз наблюдал результат (ничего, кроме банальностей, они не содержат). Те задачи, которые я выше сформулировал, можем обсудить. Особенно про число решений $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ уравнения $x^3+y^3=a$ при различных целых $a$, ибо это имеет непосредственное отношение к теме этого топика (эллиптические кривые).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение13.08.2019, 22:34 


23/02/12
1937
Вы просили доказать формулу для асимтотического количества натуральных решений диофантова уравнения примера 3. Я доказал ее ранее для более общего случая (значит уже не банальность), и из темы не ушел. Кстати решение $R_3^{+}(N)=O(N^{2/3})$ достаточно эффективное по сравнению $R_3^{+}(N)=O(N^{2})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение13.08.2019, 22:53 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf в сообщении #1410196 писал(а):
Вы просили доказать формулу для асимтотического количества натуральных решений диофантова уравнения примера 3.
Это вот эту-то банальность:
vicvolf в сообщении #1410188 писал(а):
Асимптотическая оценка количество натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$ для Вашего примера 3 определяется по формуле (2) со значениями $n=3,k=3$:

$R_3^{+}(N)=O(N^{2/3})$.
? Да она никому не интересна, именно потому, что банальность. Я просил доказать, что уравнение вида $x^3+y^3=a$ может иметь сколь угодно много целочисленных решений $(x,y)$. Вы вообще понимаете смысл этого утверждения? Если нет, то и обсуждать нечего.

-- Ср авг 14, 2019 02:55:05 --

vicvolf в сообщении #1410196 писал(а):
Я доказал ее ранее для более общего случая
Еще раз повторю: эта графомания никому не интересна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение13.08.2019, 23:29 


23/02/12
1937
nnosipov в сообщении #1410201 писал(а):
Я просил доказать, что уравнение вида $x^3+y^3=a$ может иметь сколь угодно много целочисленных решений $(x,y)$.
Пожалуйста, при $a=0$. Вы наверно имели в виду другой случай?
nnosipov в сообщении #1409954 писал(а):
Не сочтите это за придирки, я просто автоматически обращаю Ваше внимание на неточности, которые Вы допускаете в формулировках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение13.08.2019, 23:50 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf в сообщении #1410206 писал(а):
Пожалуйста, при $a=0$.
Для особо одаренных: $a$ --- отличное от нуля целое число (при $a=0$ мы не получим эллиптическую кривую).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение14.08.2019, 15:34 


23/02/12
1937
nnosipov в сообщении #1410192 писал(а):
Особенно про число решений $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ уравнения $x^3+y^3=a$ при различных целых $a$, ибо это имеет непосредственное отношение к теме этого топика (эллиптические кривые).
Может быть кто-нибудь с помощью программы подсчитает, как растет количество целых или натуральных решений данного уравнения при больших значениях $a$? И если гипотеза о неограниченном росте количества целых решений подтвердится, то подумать, как ее доказать.
vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):
Пусть требуется дать асимптотическую оценку количества натуральных решений, рассмотренного ранее уравнения $z^2=(y^3+x+1)(x^3+y+1)$ в кубе со стороной $N$.
Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью $z=const$, то в сечении будем получать кривые рода 1, т.е. по теореме Зигеля с конечным числом целых (натуральных) решений и оценкой их количества - $O(1)$. Так как у нас $z^2$, то количество таких сечений в кубе со стороной $N$ будет $N^{1/2}$, поэтому асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения будет $R_{+}=O(N^{1/2})$. (2) Если сравнить с верхней границей оценки количества натуральных решений уравнения от трех переменных - $O(N^2)$, то оценка (2) достаточно эффективна. Если бы исходное уравнение имело вид $z^n=(y^3+x+1)(x^3+y+1)$ при $n>2$, то оценка была бы $R_{+}=O(N^{1/n})$ еще более эффективна. Это конечно простой пример, но наглядный. Оценки бывает значительно сложнее в зависимости от вида гиперповерхности.
Вы правы, в этом случае конечность числа целых точек на кривой в каждом сечении не является достаточной, необходимо, чтобы существовала постоянная $C$, которая превосходила бы количество целых точек на кривой в любом сечении. Пример 2 в этом отношении очень показателен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение14.08.2019, 15:49 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf в сообщении #1410354 писал(а):
И если гипотеза о неограниченном росте количества целых решений подтвердится, то подумать, как ее доказать.
Я такой гипотезы не выдвигал (она очевидно не может быть верной). Я сформулировал вполне конкретную задачу, решение которой мне известно (оно несложное, но вполне содержательное). И предложил Вам ее решить, только и всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение14.08.2019, 17:12 


23/02/12
1937
nnosipov в сообщении #1410201 писал(а):
Я просил доказать, что уравнение вида $x^3+y^3=a$ может иметь сколь угодно много целочисленных решений $(x,y)$.
vicvolf в сообщении #1410354 писал(а):
необходимо, чтобы существовала постоянная $C$, которая превосходила бы количество целых точек на кривой в любом сечении.
Я правильно понял - Вы предлагаете доказать, что такой постоянной $C$ не существует для примера 3?

В примере 2 такой постоянной не существовало даже для натуральных решений (натуральных делителей натурального числа).

Как Вы думаете, существует ли такая постоянная для натуральных решений примера 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение14.08.2019, 17:17 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
vicvolf в сообщении #1410375 писал(а):
Я правильно понял - Вы предлагаете доказать, что такой постоянной $C$ не существует для примера 3?
Да, вот теперь Вы правильно поняли.
vicvolf в сообщении #1410375 писал(а):
Как Вы думаете, существует ли такая постоянная для натуральных решений примера 3?
Тоже не существует. Доказывается тем же способом, что и для целых решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение15.08.2019, 18:24 
Заслуженный участник


17/09/10
1870
Итак, нужно доказать, что для любого натурального $n$ найдется натуральное $a$ такое, что
уравнение $x^3+y^3=a$ имеет не менее n целых решений.
Для этого рассмотрим уравнение $x^3+y^3=N$ такое, что ранг соответствующей эллиптической кривой больше нуля.
Здесь годятся $N=6,7,9,12...$. Выберем любое из них. Поскольку ранг кривой больше нуля, то она несёт на себе бесконечное число рациональных точек.
Произвольно возьмем из них $n$ точек $Q_1,Q_2,...,Q_n$. Координаты этих точек $Q_i=\left(\frac{p_i}{q_i},\frac{r_i}{q_i}\right)$.
Положим $a=N\cdot({q_1}\cdot{q_2}\cdot...\cdot{q_n})^3$ и $P_i=Q_i\cdot({q_1}\cdot{q_2}\cdot...\cdot{q_n})$, где $i=1,2,...,n$. Очевидно, $P_i$ определяют $n$ целых точек на кривой $x^3+y^3=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение15.08.2019, 19:27 
Заслуженный участник


20/12/10
6079
scwec эта задача как бы не совсем для Вас :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 124 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group