2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):
Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью $z=const$, то в сечении будем получать кривые рода 1
Нет, не рода 1.
vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):
количество таких сечений в кубе со стороной $N$ будет $N^{1/2}$, поэтому асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения будет $R_{+}=O(N^{1/2})$.
Вывод не обоснован.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:15 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409850 писал(а):
vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):
Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью $z=const$, то в сечении будем получать кривые рода 1
Нет, не рода 1.

Да, я имею в виду, что род больше 0, так как рассматриваются только натуральные $z$.
Цитата:
Вывод не обоснован.
$R_{+}=O(1)O(N^{1/2})=O(N^{1/2})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
А через $O(1)$ Вы оценили количество чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:24 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409855 писал(а):
А через $O(1)$ Вы оценили количество чего?
Количество натуральных точек на кривой в сечении поверхности при натуральном $z$. Естественно в квадрате со стороной $N$. Отсутствие точек -это то же конечное количество равное нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
И как Вы думаете, это количество от $z$ зависит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:42 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409857 писал(а):
И как Вы думаете, это количество от $z$ зависит?
Конечно зависит, но асимптотическая оценка сверху $O(1)$ всегда справедлива, так как всегда можно найти постоянную $C$, которая превосходит количество точек в любом сечении. Таким образом, общее количество точек $R_{+} \leq CN^{1/2}$ или из определения O-большого - $R_{+}=O(N^{1/2})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:44 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
vicvolf в сообщении #1409859 писал(а):
всегда можно найти постоянную $C$, которая превосходит количество точек в любом сечении.
А Вы это доказали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 18:50 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409861 писал(а):
vicvolf в сообщении #1409859 писал(а):
всегда можно найти постоянную $C$, которая превосходит количество точек в любом сечении.
А Вы это доказали?
Если наперед известно, что в каждом сечении их конечное количество. Значит можно выбрать сечение с максимальным их количеством, допустим K. Тогда берем $C=K+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 19:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
vicvolf в сообщении #1409863 писал(а):
Если наперед известно, что в каждом сечении их конечное количество. Значит можно выбрать сечение с максимальным их количеством, допустим K. Тогда берем $C=K+1$.
Да уж ... Вы правда считаете подобную аргументацию достаточной? Давайте рассмотрим более простое уравнение $xy=z$ и попробуем к нему применить то, что Вы сказали. Что здесь можно сказать о максимальном количестве $K$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 20:44 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409864 писал(а):
Давайте рассмотрим более простое уравнение $xy=z$ и попробуем к нему применить то, что Вы сказали. Что здесь можно сказать о максимальном количестве $K$?
При натуральном параметре $z$ в сечении получаем кривую второго порядка с родом 0, т.е. не удолетворяющую теореме Зигеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 21:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
vicvolf в сообщении #1409880 писал(а):
При натуральном параметре $z$ в сечении получаем кривую второго порядка с родом 0, т.е. не удолетворяющую теореме Зигеля.
Вы не ответили на вопрос. Еще раз: что можно сказать о $K$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 22:15 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409885 писал(а):
vicvolf в сообщении #1409880 писал(а):
При натуральном параметре $z$ в сечении получаем кривую второго порядка с родом 0, т.е. не удолетворяющую теореме Зигеля.
Вы не ответили на вопрос. Еще раз: что можно сказать о $K$?
В данном примере при натуральном $z$ стремящемся к бесконечности количество натуральных точек в сечении на кривых (количество делителей) стремится к бесконечности, т.е не является ограниченным. Это не мой случай. Кривые, получаемые в сечении должны удовлетворять теореме Зигеля. Но, может быть я что-то не понимаю. Мне нужно подумать. Давайте сделаем паузу до завтра. Мне очень приятно Ваше внимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение11.08.2019, 22:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):
Решение $x=0,y=1$ уже известно. Рассмотрим другое решение $x=(2t+1)/(t^2-1)$. Обратим внимание, что при $t \to 0$ значение $x \to 1$. В этом случае: $z=1+tx=(t^2+t+1)/(1-t^2)$, поэтому $y=z(x+1)=(t^2+t+1)(2+2t+-t^2)/(1-t^2)^2$ и при $t \to 0$ значение $y \to 2$. ч.т.д

К сожалению, при таких формулах для переменных $x,y$, они не являются решением уравнения $(x^3+1)(x+1)=y^2$. Надо исправлять ошибки (опечатки?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение12.08.2019, 09:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9069
vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):
В данном примере при натуральном $z$ стремящемся к бесконечности количество натуральных точек в сечении на кривых (количество делителей) стремится к бесконечности, т.е не является ограниченным.
Да, не является ограниченным. Однако говорить, что $K$ "стремится к бесконечности" --- это неверно. (Не сочтите это за придирки, я просто автоматически обращаю Ваше внимание на неточности, которые Вы допускаете в формулировках. Вот и scwec это тоже отметил, но там у Вас описка в одном месте, вроде бы совсем мелочь, но формулы уже неправильные.)
vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):
Это не мой случай. Кривые, получаемые в сечении должны удовлетворять теореме Зигеля.
Вот очередное недоразумение: причем здесь теорема Зигеля? Она всего лишь утверждает, что, при определенных условиях на кривую, на ней будет конечное множество целых точек и только (никаких оценок на количество этих точек не дается, алгоритма их нахождения также не предъявляется, поскольку доказательство неконструктивно). В наших обоих примерах утверждение о конечности целых точек просто тривиально, и теорема Зигеля здесь никак не упрощает ситуацию.
vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):
Кривые, получаемые в сечении должны удовлетворять теореме Зигеля.
Ничего они не должны, они просто есть, и с ними надо разбираться. Просто в одном случае (пример с уравнением $xy=z$) это более-менее очевидно, а в другом (исходный пример с уравнением $(x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2$) --- не сделано Вами и не очевидно. Вот еще один пример (третий), чтобы почувствовать, насколько может быть неочевидным вопрос о количестве целых точек: уравнение $x^3+y^3=z$. Попробуйте доказать, что количество целых точек $(x,y)$ на этой кривой может быть сколь угодно большим.
vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):
Мне нужно подумать. Давайте сделаем паузу до завтра.
Думайте сколько угодно, никто никого не торопит. Единственная просьба: воздержаться от скоропалительных утверждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение12.08.2019, 21:43 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1409954 писал(а):
Вот еще один пример (третий), чтобы почувствовать, насколько может быть неочевидным вопрос о количестве целых точек: уравнение $x^3+y^3=z$. Попробуйте доказать, что количество целых точек $(x,y)$ на этой кривой может быть сколь угодно большим.

Рассмотрим натуральные решения при сечении плоскостью $z=a$, где $a \leq N$ - натуральное число. Например, пусть $N=28$. Натуральные решения будут только при $a=1,9,16,28$. При остальных $a$ натуральных решений нет. Максимальное число натуральных решений в одном сечении- $2$. Всего натуральных решений - $6<N=28$. В дальнейшем, с ростом $a$ интервалы с отсутствием натуральных решений увеличиваются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 126 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group