Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):

Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью $z=const$, то в сечении будем получать кривые рода 1

Нет, не рода 1.

vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):

количество таких сечений в кубе со стороной $N$ будет $N^{1/2}$, поэтому асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения будет $R_{+}=O(N^{1/2})$.

Вывод не обоснован.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409850 писал(а):

vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):

Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью $z=const$, то в сечении будем получать кривые рода 1

Нет, не рода 1.

Да, я имею в виду, что род больше 0, так как рассматриваются только натуральные $z$.

Цитата:

Вывод не обоснован.

$R_{+}=O(1)O(N^{1/2})=O(N^{1/2})$.

[nnosipov]

А через $O(1)$ Вы оценили количество чего?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409855 писал(а):

А через $O(1)$ Вы оценили количество чего?

Количество натуральных точек на кривой в сечении поверхности при натуральном $z$. Естественно в квадрате со стороной $N$. Отсутствие точек -это то же конечное количество равное нулю.

[nnosipov]

И как Вы думаете, это количество от $z$ зависит?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409857 писал(а):

И как Вы думаете, это количество от $z$ зависит?

Конечно зависит, но асимптотическая оценка сверху $O(1)$ всегда справедлива, так как всегда можно найти постоянную $C$, которая превосходит количество точек в любом сечении. Таким образом, общее количество точек $R_{+} \leq CN^{1/2}$ или из определения O-большого - $R_{+}=O(N^{1/2})$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1409859 писал(а):

всегда можно найти постоянную $C$, которая превосходит количество точек в любом сечении.

А Вы это доказали?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409861 писал(а):

vicvolf в сообщении #1409859 писал(а):

всегда можно найти постоянную $C$, которая превосходит количество точек в любом сечении.

А Вы это доказали?

Если наперед известно, что в каждом сечении их конечное количество. Значит можно выбрать сечение с максимальным их количеством, допустим K. Тогда берем $C=K+1$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1409863 писал(а):

Если наперед известно, что в каждом сечении их конечное количество. Значит можно выбрать сечение с максимальным их количеством, допустим K. Тогда берем $C=K+1$.

Да уж ... Вы правда считаете подобную аргументацию достаточной? Давайте рассмотрим более простое уравнение $xy=z$ и попробуем к нему применить то, что Вы сказали. Что здесь можно сказать о максимальном количестве $K$?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409864 писал(а):

Давайте рассмотрим более простое уравнение $xy=z$ и попробуем к нему применить то, что Вы сказали. Что здесь можно сказать о максимальном количестве $K$?

При натуральном параметре $z$ в сечении получаем кривую второго порядка с родом 0, т.е. не удолетворяющую теореме Зигеля.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1409880 писал(а):

При натуральном параметре $z$ в сечении получаем кривую второго порядка с родом 0, т.е. не удолетворяющую теореме Зигеля.

Вы не ответили на вопрос. Еще раз: что можно сказать о $K$?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409885 писал(а):

vicvolf в сообщении #1409880 писал(а):

При натуральном параметре $z$ в сечении получаем кривую второго порядка с родом 0, т.е. не удолетворяющую теореме Зигеля.

Вы не ответили на вопрос. Еще раз: что можно сказать о $K$?

В данном примере при натуральном $z$ стремящемся к бесконечности количество натуральных точек в сечении на кривых (количество делителей) стремится к бесконечности, т.е не является ограниченным. Это не мой случай. Кривые, получаемые в сечении должны удовлетворять теореме Зигеля. Но, может быть я что-то не понимаю. Мне нужно подумать. Давайте сделаем паузу до завтра. Мне очень приятно Ваше внимание.

[scwec]

vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):

Решение $x=0,y=1$ уже известно. Рассмотрим другое решение $x=(2t+1)/(t^2-1)$. Обратим внимание, что при $t \to 0$ значение $x \to 1$. В этом случае: $z=1+tx=(t^2+t+1)/(1-t^2)$, поэтому $y=z(x+1)=(t^2+t+1)(2+2t+-t^2)/(1-t^2)^2$ и при $t \to 0$ значение $y \to 2$. ч.т.д

К сожалению, при таких формулах для переменных $x,y$, они не являются решением уравнения $(x^3+1)(x+1)=y^2$. Надо исправлять ошибки (опечатки?).

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):

В данном примере при натуральном $z$ стремящемся к бесконечности количество натуральных точек в сечении на кривых (количество делителей) стремится к бесконечности, т.е не является ограниченным.

Да, не является ограниченным. Однако говорить, что $K$ "стремится к бесконечности" --- это неверно. (Не сочтите это за придирки, я просто автоматически обращаю Ваше внимание на неточности, которые Вы допускаете в формулировках. Вот и scwec это тоже отметил, но там у Вас описка в одном месте, вроде бы совсем мелочь, но формулы уже неправильные.)

vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):

Это не мой случай. Кривые, получаемые в сечении должны удовлетворять теореме Зигеля.

Вот очередное недоразумение: причем здесь теорема Зигеля? Она всего лишь утверждает, что, при определенных условиях на кривую, на ней будет конечное множество целых точек и только (никаких оценок на количество этих точек не дается, алгоритма их нахождения также не предъявляется, поскольку доказательство неконструктивно). В наших обоих примерах утверждение о конечности целых точек просто тривиально, и теорема Зигеля здесь никак не упрощает ситуацию.

vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):

Кривые, получаемые в сечении должны удовлетворять теореме Зигеля.

Ничего они не должны, они просто есть, и с ними надо разбираться. Просто в одном случае (пример с уравнением $xy=z$) это более-менее очевидно, а в другом (исходный пример с уравнением $(x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2$) --- не сделано Вами и не очевидно. Вот еще один пример (третий), чтобы почувствовать, насколько может быть неочевидным вопрос о количестве целых точек: уравнение $x^3+y^3=z$. Попробуйте доказать, что количество целых точек $(x,y)$ на этой кривой может быть сколь угодно большим.

vicvolf в сообщении #1409905 писал(а):

Мне нужно подумать. Давайте сделаем паузу до завтра.

Думайте сколько угодно, никто никого не торопит. Единственная просьба: воздержаться от скоропалительных утверждений.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1409954 писал(а):

Вот еще один пример (третий), чтобы почувствовать, насколько может быть неочевидным вопрос о количестве целых точек: уравнение $x^3+y^3=z$. Попробуйте доказать, что количество целых точек $(x,y)$ на этой кривой может быть сколь угодно большим.

Рассмотрим натуральные решения при сечении плоскостью $z=a$, где $a \leq N$ - натуральное число. Например, пусть $N=28$. Натуральные решения будут только при $a=1,9,16,28$. При остальных $a$ натуральных решений нет. Максимальное число натуральных решений в одном сечении- $2$. Всего натуральных решений - $6<N=28$. В дальнейшем, с ростом $a$ интервалы с отсутствием натуральных решений увеличиваются.