Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410056 писал(а):

Максимальное число натуральных решений в одном сечении- $2$.

А можете привести пример такого $a$, для которого уравнение $x^3+y^3=a$ имеет четыре решения в натуральных числах?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1410070 писал(а):

А можете привести пример такого $a$, для которого уравнение $x^3+y^3=a$ имеет четыре решения в натуральных числах?

Возможно при больших $a$ это будет. Но 'это ничего не изменит, так как интервалы с отсутствием натуральных решений будут возрастать и $R_{+} <N$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410073 писал(а):

Возможно при больших $a$ это будет. Но 'это ничего не изменит, так как интервалы с отсутствием натуральных решений будут возрастать и $R_{+}<N$.

"Возможно", "ничего не изменит" --- это не математика, это пустой треп. Скучно с Вами. Пока хоть какое-то доказательство не напишите, отвечать не буду.

[vicvolf]

Cделаем асимптотическую оценку количества натуральных решений более общего уравнения в гиперкубе со стороной $N$:
$x_1=x_2^n+...+x_k^n$. (1)

Докажем индукцией по $k$ оценку количества натуральных решений уравнения (1):
$R_k^{+}(N)=O(N^{(k-1)/n})$, (2)

Для $k=2$ получаем уравнение $x_1=x_2^n$, для которого оценка количества натуральных решений в квадрате со стороной $N$: $R_2^{+}(N)=N^{1/n}$, что соответствует (2).

Предположим, что для $k=i$ справедлива оценка количества натуральных решений уравнения (1):
$R_i^{+}(N) = O(N^{(i-1)/n})$, что соответствует (2).

Тогда для $k=i+1$ справедлива оценка количества натуральных решений уравнения (1):
$R_{i+1}^{+}(N)= R_i^{+}(N) \cdot O(N^{1/n})=O(N^{(i-1)/n}) \cdot O(N^{1/n})=O(N^{i/n}) $,

что соответствует (2) ч.т.д.

В частном случае, рассмотрим оценку количества натуральных решений уравнения $x_1=x_2^2+x_3^2+x_4^2$ в гиперкубе со стороной $N$ другим способом.

Количество натуральных решений в данном гиперкубе определяется, как количество натуральных решений неравенства: $x_1=x_2^2+x_3^2+x_4^2 \leq N$, которое равно количеству точек c натуральными координатами внутри шара с радиусом $N^{1/2}$:
$R_4^{+}(N)=\pi N^{3/2}/6+O(N)=O(N^{3/2})$. (3)

Формула (3) соответствует (2) при $n=2,k=4$. (см. стр. 10 https://arxiv.org/abs/1608.03459).

Асимптотическая оценка количество натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$ для Вашего примера 3 определяется по формуле (2) со значениями $n=3,k=3$:

$R_3^{+}(N)=O(N^{2/3})$.

[nnosipov]

vicvolf Сразу предупреждаю: разбирать Ваши тексты я не собираюсь, ибо уже не раз наблюдал результат (ничего, кроме банальностей, они не содержат). Те задачи, которые я выше сформулировал, можем обсудить. Особенно про число решений $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ уравнения $x^3+y^3=a$ при различных целых $a$, ибо это имеет непосредственное отношение к теме этого топика (эллиптические кривые).

[vicvolf]

Вы просили доказать формулу для асимтотического количества натуральных решений диофантова уравнения примера 3. Я доказал ее ранее для более общего случая (значит уже не банальность), и из темы не ушел. Кстати решение $R_3^{+}(N)=O(N^{2/3})$ достаточно эффективное по сравнению $R_3^{+}(N)=O(N^{2})$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410196 писал(а):

Вы просили доказать формулу для асимтотического количества натуральных решений диофантова уравнения примера 3.

Это вот эту-то банальность:

vicvolf в сообщении #1410188 писал(а):

Асимптотическая оценка количество натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$ для Вашего примера 3 определяется по формуле (2) со значениями $n=3,k=3$:

$R_3^{+}(N)=O(N^{2/3})$.

? Да она никому не интересна, именно потому, что банальность. Я просил доказать, что уравнение вида $x^3+y^3=a$ может иметь сколь угодно много целочисленных решений $(x,y)$. Вы вообще понимаете смысл этого утверждения? Если нет, то и обсуждать нечего.

-- Ср авг 14, 2019 02:55:05 --

vicvolf в сообщении #1410196 писал(а):

Я доказал ее ранее для более общего случая

Еще раз повторю: эта графомания никому не интересна.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1410201 писал(а):

Я просил доказать, что уравнение вида $x^3+y^3=a$ может иметь сколь угодно много целочисленных решений $(x,y)$.

Пожалуйста, при $a=0$. Вы наверно имели в виду другой случай?

nnosipov в сообщении #1409954 писал(а):

Не сочтите это за придирки, я просто автоматически обращаю Ваше внимание на неточности, которые Вы допускаете в формулировках.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410206 писал(а):

Пожалуйста, при $a=0$.

Для особо одаренных: $a$ --- отличное от нуля целое число (при $a=0$ мы не получим эллиптическую кривую).

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1410192 писал(а):

Особенно про число решений $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ уравнения $x^3+y^3=a$ при различных целых $a$, ибо это имеет непосредственное отношение к теме этого топика (эллиптические кривые).

Может быть кто-нибудь с помощью программы подсчитает, как растет количество целых или натуральных решений данного уравнения при больших значениях $a$? И если гипотеза о неограниченном росте количества целых решений подтвердится, то подумать, как ее доказать.

vicvolf в сообщении #1409848 писал(а):

Пусть требуется дать асимптотическую оценку количества натуральных решений, рассмотренного ранее уравнения $z^2=(y^3+x+1)(x^3+y+1)$ в кубе со стороной $N$.
Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью $z=const$, то в сечении будем получать кривые рода 1, т.е. по теореме Зигеля с конечным числом целых (натуральных) решений и оценкой их количества - $O(1)$. Так как у нас $z^2$, то количество таких сечений в кубе со стороной $N$ будет $N^{1/2}$, поэтому асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения будет $R_{+}=O(N^{1/2})$. (2) Если сравнить с верхней границей оценки количества натуральных решений уравнения от трех переменных - $O(N^2)$, то оценка (2) достаточно эффективна. Если бы исходное уравнение имело вид $z^n=(y^3+x+1)(x^3+y+1)$ при $n>2$, то оценка была бы $R_{+}=O(N^{1/n})$ еще более эффективна. Это конечно простой пример, но наглядный. Оценки бывает значительно сложнее в зависимости от вида гиперповерхности.

Вы правы, в этом случае конечность числа целых точек на кривой в каждом сечении не является достаточной, необходимо, чтобы существовала постоянная $C$, которая превосходила бы количество целых точек на кривой в любом сечении. Пример 2 в этом отношении очень показателен.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410354 писал(а):

И если гипотеза о неограниченном росте количества целых решений подтвердится, то подумать, как ее доказать.

Я такой гипотезы не выдвигал (она очевидно не может быть верной). Я сформулировал вполне конкретную задачу, решение которой мне известно (оно несложное, но вполне содержательное). И предложил Вам ее решить, только и всего.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1410201 писал(а):

Я просил доказать, что уравнение вида $x^3+y^3=a$ может иметь сколь угодно много целочисленных решений $(x,y)$.

vicvolf в сообщении #1410354 писал(а):

необходимо, чтобы существовала постоянная $C$, которая превосходила бы количество целых точек на кривой в любом сечении.

Я правильно понял - Вы предлагаете доказать, что такой постоянной $C$ не существует для примера 3?

В примере 2 такой постоянной не существовало даже для натуральных решений (натуральных делителей натурального числа).

Как Вы думаете, существует ли такая постоянная для натуральных решений примера 3?

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1410375 писал(а):

Я правильно понял - Вы предлагаете доказать, что такой постоянной $C$ не существует для примера 3?

Да, вот теперь Вы правильно поняли.

vicvolf в сообщении #1410375 писал(а):

Как Вы думаете, существует ли такая постоянная для натуральных решений примера 3?

Тоже не существует. Доказывается тем же способом, что и для целых решений.

[scwec]

Итак, нужно доказать, что для любого натурального $n$ найдется натуральное $a$ такое, что
уравнение $x^3+y^3=a$ имеет не менее n целых решений.
Для этого рассмотрим уравнение $x^3+y^3=N$ такое, что ранг соответствующей эллиптической кривой больше нуля.
Здесь годятся $N=6,7,9,12...$. Выберем любое из них. Поскольку ранг кривой больше нуля, то она несёт на себе бесконечное число рациональных точек.
Произвольно возьмем из них $n$ точек $Q_1,Q_2,...,Q_n$. Координаты этих точек $Q_i=\left(\frac{p_i}{q_i},\frac{r_i}{q_i}\right)$.
Положим $a=N\cdot({q_1}\cdot{q_2}\cdot...\cdot{q_n})^3$ и $P_i=Q_i\cdot({q_1}\cdot{q_2}\cdot...\cdot{q_n})$, где $i=1,2,...,n$. Очевидно, $P_i$ определяют $n$ целых точек на кривой $x^3+y^3=a$.

[nnosipov]

scwec эта задача как бы не совсем для Вас