Особенно про число решений

уравнения

при различных целых

, ибо это имеет непосредственное отношение к теме этого топика (эллиптические кривые).
Может быть кто-нибудь с помощью программы подсчитает, как растет количество целых или натуральных решений данного уравнения при больших значениях

? И если гипотеза о неограниченном росте количества целых решений подтвердится, то подумать, как ее доказать.
Пусть требуется дать асимптотическую оценку количества натуральных решений, рассмотренного ранее уравнения

в кубе со стороной

.
Если проводить сечения данной поверхностью плоскостью

, то в сечении будем получать кривые рода 1, т.е. по теореме Зигеля с конечным числом целых (натуральных) решений и оценкой их количества -

. Так как у нас

, то количество таких сечений в кубе со стороной

будет

, поэтому асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения будет

. (2) Если сравнить с верхней границей оценки количества натуральных решений уравнения от трех переменных -

, то оценка (2) достаточно эффективна. Если бы исходное уравнение имело вид

при

, то оценка была бы

еще более эффективна. Это конечно простой пример, но наглядный. Оценки бывает значительно сложнее в зависимости от вида гиперповерхности.
Вы правы, в этом случае конечность числа целых точек на кривой в каждом сечении не является достаточной, необходимо, чтобы существовала постоянная

, которая превосходила бы количество целых точек на кривой в любом сечении. Пример 2 в этом отношении очень показателен.