Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2

[scwec]

vicvolf в сообщении #1411838 писал(а):

А как доказать, что ранг данной кривой равен $0$ при любом значении $a$?

А никак не надо доказывать. Ранг вычисляется только для эллиптических кривых, а Род кривой $x^4+y^4=a$ равен $3$. И поэтому по Фальтингсу рациональных точек на кривой конечное число. И всё.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1411846 писал(а):

Род кривой $x^4+y^4=a$ равен $3$. И поэтому по Фальтингсу рациональных точек на кривой конечное число.

Наверно это можно обобщить. Если кривая $F(x,y)=a$ при любом целом $a$ имеет род больше 1, то при любом целом $a$ нельзя найти на кривой $F(x,y)=a$ сколь угодно много целых точек, т.е. можно указать, такое натуральное $n$, что на любой кривой $F(x,y)=a$ имеется не более $n$ целых точек.

[scwec]

vicvolf в сообщении #1411924 писал(а):

Наверно это можно обобщить

Доказывайте или найдите контрпример.

[vicvolf]

scwec Извините я удалил доказательство, так как обобщение не верно. При данном условии могут быть значения $a$, при которых количество рациональных точек на указанных кривых больше наперед заданного значения $n$.

[scwec]

scwec в сообщении #1411816 писал(а):

Решение по поводу уравнения $x^4+y^4+z^4=a$ выложу позже, если не появится правильного решения здесь в теме.

Рассмотрим уравнение $x^4+y^4+z^4=2$ и положим $z=x+y$, тогда $x^4+y^4+z^4=2(x^2+xy+y^2)^2=2$ и $x^2+xy+y^2=1$
Рациональное 1-параметрическое решение этого уравнения: $x = \dfrac{1+2t}{1+t+t^2}, y = \dfrac{-1+t^2}{1+t+t^2}$ и $x+y=z=\dfrac{t(t+2)}{1+t+t^2}$
Эти же решения имеет и уравнение $x^4+y^4+z^4=2$.
Таким образом, уравнение $x^4+y^4+z^4=2$ имеет бесконечно много рациональных решений.
А далее, как уже делалось в теме ранее.
Выберем из них произвольно $n$ решений $P_i=(x_i,y_i,z_i)$, $\left(x_i = \dfrac{1+2t_i}{1+t_i+t_i^2}, y_i = \dfrac{-1+t_i^2}{1+t_i+t_i^2}, z_i=\dfrac{t_i{(t_i+2)}}{1+t_i+t_i^2}\right)$,
где $i=1,2,...,n$ и $t_i$ - натуральные числа. Обозначим $d_i=1+t_i+t_i^2$ и положим $a=2(\sdot{d_1}\cdot{d_2}\cdot...\cdot{d_n})^4$
Тогда уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ имеет $n$ целых решений $Q_i=P_i\cdot(d_1\cdot{d_2}\cdot...\cdot{d_n})$.
Здесь, как мы видим, место эллиптической кривой заняла рациональная кривая, а способ вычисления $a$ и $n$ целых решений остался прежним.
Предлагаю ту же задачу для уравнения $x^4+y^4+4z^4=a$.

[scwec]

Уравнение $x^4+y^4+4z^4=1$ имеет частное однопараметрическое решение
$x=\dfrac{t^4-2}{t^4+2}, y=\dfrac{2t^3}{t^4+2},z=\dfrac{2t}{t^4+2}$ с рациональным параметром $t$. Отсюда следует наличие бесконечного кол-ва рациональных точек на поверхности $x^4+y^4+4z^4=1$, а далее всё как изложено в предыдущих сообщениях.
Справедливо и утверждение о сколь угодно большом числе целых решений уравнения $x^4+y^4+z^4=a^4$ при подходящем выборе $a$.
Это следует из теоремы Элкиса о плотности рациональных решений уравнения $x^4+y^4+z^4=1$ на множестве всех его вещественных решений.