2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение23.08.2019, 23:20 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
vicvolf в сообщении #1411838 писал(а):
А как доказать, что ранг данной кривой равен $0$ при любом значении $a$?

А никак не надо доказывать. Ранг вычисляется только для эллиптических кривых, а Род кривой $x^4+y^4=a$ равен $3$. И поэтому по Фальтингсу рациональных точек на кривой конечное число. И всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение25.08.2019, 09:45 


23/02/12
3110
scwec в сообщении #1411846 писал(а):
Род кривой $x^4+y^4=a$ равен $3$. И поэтому по Фальтингсу рациональных точек на кривой конечное число.
Наверно это можно обобщить. Если кривая $F(x,y)=a$ при любом целом $a$ имеет род больше 1, то при любом целом $a$ нельзя найти на кривой $F(x,y)=a$ сколь угодно много целых точек, т.е. можно указать, такое натуральное $n$, что на любой кривой $F(x,y)=a$ имеется не более $n$ целых точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение25.08.2019, 14:57 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
vicvolf в сообщении #1411924 писал(а):
Наверно это можно обобщить

Доказывайте или найдите контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение25.08.2019, 17:45 


23/02/12
3110
scwec Извините я удалил доказательство, так как обобщение не верно. При данном условии могут быть значения $a$, при которых количество рациональных точек на указанных кривых больше наперед заданного значения $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение26.08.2019, 10:42 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
scwec в сообщении #1411816 писал(а):
Решение по поводу уравнения $x^4+y^4+z^4=a$ выложу позже, если не появится правильного решения здесь в теме.

Рассмотрим уравнение $x^4+y^4+z^4=2$ и положим $z=x+y$, тогда $x^4+y^4+z^4=2(x^2+xy+y^2)^2=2$ и $x^2+xy+y^2=1$
Рациональное 1-параметрическое решение этого уравнения: $x = \dfrac{1+2t}{1+t+t^2}, y = \dfrac{-1+t^2}{1+t+t^2}$ и $x+y=z=\dfrac{t(t+2)}{1+t+t^2}$
Эти же решения имеет и уравнение $x^4+y^4+z^4=2$.
Таким образом, уравнение $x^4+y^4+z^4=2$ имеет бесконечно много рациональных решений.
А далее, как уже делалось в теме ранее.
Выберем из них произвольно $n$ решений $P_i=(x_i,y_i,z_i)$, $\left(x_i = \dfrac{1+2t_i}{1+t_i+t_i^2}, y_i = \dfrac{-1+t_i^2}{1+t_i+t_i^2}, z_i=\dfrac{t_i{(t_i+2)}}{1+t_i+t_i^2}\right)$,
где $i=1,2,...,n$ и $t_i$ - натуральные числа. Обозначим $d_i=1+t_i+t_i^2$ и положим $a=2(\sdot{d_1}\cdot{d_2}\cdot...\cdot{d_n})^4$
Тогда уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ имеет $n$ целых решений $Q_i=P_i\cdot(d_1\cdot{d_2}\cdot...\cdot{d_n})$.
Здесь, как мы видим, место эллиптической кривой заняла рациональная кривая, а способ вычисления $a$ и $n$ целых решений остался прежним.
Предлагаю ту же задачу для уравнения $x^4+y^4+4z^4=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2
Сообщение12.09.2019, 17:41 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Уравнение $x^4+y^4+4z^4=1$ имеет частное однопараметрическое решение
$x=\dfrac{t^4-2}{t^4+2}, y=\dfrac{2t^3}{t^4+2},z=\dfrac{2t}{t^4+2}$ с рациональным параметром $t$. Отсюда следует наличие бесконечного кол-ва рациональных точек на поверхности $x^4+y^4+4z^4=1$, а далее всё как изложено в предыдущих сообщениях.
Справедливо и утверждение о сколь угодно большом числе целых решений уравнения $x^4+y^4+z^4=a^4$ при подходящем выборе $a$.
Это следует из теоремы Элкиса о плотности рациональных решений уравнения $x^4+y^4+z^4=1$ на множестве всех его вещественных решений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 126 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group