Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[A@B]

Что касается решения “нерешаемого” шведского уравнения. Привожу частное решение согласно теории. Вот само уравнение:
$\[dx + dy + ydz = 0;\]$ с начальной точкой (0.0001;0.0001;0.0001);
Рассмотрим следующую систему двух уравнений:

$\[\left\{ \begin{array}{l} dx + dy + ydz = 0; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,dz\, = 0; \\ \end{array} \right.\]$

кто ещё в Швеции не знает, второе уравнение – это уравнение плоскости, параллельной xOy и проходящим через ту же самую начальную точку. Решением системы является пространственная прямая как пересечение плоскости с поверхностью или просто как результат решения задачи Коши. Все точки этой прямой удовлетворяют системе двух уравнений (ну, на всякий случай, если в Швеции ещё и этого не знают).



Рассмотрим вторую систему уравнений:

$\[\left\{ \begin{array}{l} dx + dy + ydz = 0; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,dy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0; \\ \end{array} \right.\]$

Вторым уравнением которой будет (кто ещё не догадался?) тоже уравнение плоскости, но уже параллельной xOz, Решим эту систему на множестве решений первой системы и заодно покажем, как оно выглядит в самой первой начальной точке(0.0001;0.0001;0.0001) :



Теперь объединим решения двух систем в один массив и отобразим его на графике, который покажет нам решение исходного шведского уравнения от начальной точки(0.0001;0.0001;0.0001).



Так вот, наблюдаешь за “дискуссией”, где главным аргументом в споре является причастность к топонимам-ойконимам + какие-то там звания заслуженных участников, и думаешь, а какие аргументы может противопоставить нормальный человек, имеющий сказать по существу?
И небольшой совет иностранным шпиёнам и к ним примкнувшим: учитесь не только читать, но и понимать, и вообще ДУМАТЬ… Хотя, если это всё-таки наши шпиёны, то продолжайте в том же духе, так шведам и надо.

[shwedka]

все было бы хорошо, если бы Вы предъявили доказательство того, что построенная поверхность удовлетворяет уравнению. ПОка такого доказательства нет, все эти картинки в пользу бедных.

А просто сказать 'по построению' будет недостаточно!
Вы в первой системе берете $dz=0$,
а во второй от этого требования отказываетесь,
следовательно, все, что Вы построите во второй системе, уже не удовлетворяет первой.

По-другому.

На 'поверхности' по построению выполнено

A@B в сообщении #377236 писал(а):

$\[\left\{ \begin{array}{l} dx + dy + ydz = 0; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,dy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0; \\ \end{array} \right.\]$

То есть, мое уравнение выполнено для таких $dx, dy, dz$,
что $dy=0$. А нужно, чтобы оно выпонялось ДЛЯ ВСЕХ ($dx, dy, dz$), касательных к поверхности, в том числе, и для таких, где $dy\ne0$.
Так что давайте на стол доказательство.

[A@B]

A@B в сообщении #377236 писал(а):

Рассмотрим вторую систему уравнений:

$\[\left\{ \begin{array}{l} dx + dy + ydz = 0; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,dy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0; \\ \end{array} \right.\]$

Вторым уравнением которой будет (кто ещё не догадался?) тоже уравнение плоскости, но уже параллельной xOz, Решим эту систему на множестве решений первой системы и заодно покажем, как оно выглядит в самой первой начальной точке(0.0001;0.0001;0.0001) :

Хотя правды ради надо исправить немного, чтобы согласовывалось с рисунком. Во второй системе вторым уравнением является dx=0, что на конечном результате никоим образом не сказывается.

-- Пт ноя 19, 2010 13:38:45 --

Отдельно для шпиёнов. Возьмите, если сможете, и подставьте в систему вторым уравнением, например, уравнение сферы, только найдите для него общую с первым начальную точку. И тогда Вы увидите, что решение ничем отличаться не будет. Да, речь, понятно, не о ”поймёте ” , а об “увидите”.
И, опять же, всегда имеется численный критерий.

[shwedka]

Все это в пользу бедных. Доказательства как не было, так и нет.Мои возражения ответа не получили.

[shwedka]

A@B в сообщении #377247 писал(а):

Во второй системе вторым уравнением является dx=0, что на конечном результате никоим образом не сказывается.

Совершенно верно, не сказывается. Как был ошибочным, так ошибочным и остался.

[evgeniy]

Shwedka пишет, что я интегрирую вдоль уравнения характеристики. Это не так. Когда подставляется значение $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ в l член уравнения Пфаффа. Возникает новая функция $A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$, которая интегрируется не вдоль характеристики.
Теперь по поводу уравнения с потенциалом U(x,y)=7(x-y). Согласно моему алгоритму в коэффициент 7 нужно подставить уравнение характеристики и решить уравнение $dU_x=7dx$, аналогично с другой переменной. В результате получится решение $U(x,y)=7(x-x_0)-7(y-y_0)$. Т.е. предлагаемый метод в лучае существования потенциала определил точное решение.
Теперь насчет не существующего глобального решения уравнения
dx+dy+ydz=0
Без использования уравнения характеристики его решить невозможно. Вас это решение не устраивает. ВСя суть моего алгоритма состоит в использовании уравнений характеристик. Без них однозначного решения нет. если задать уравнения характеристик. то решение появится.

[shwedka]

Все эти рассуждения мутны и не отвечают на мои замечания.

Я жду решения любого из моих уравнений Вашим 'методом'. Повторяю, дайте решение в окончательной форме. То есть, если туда входят какие-то параметры, начальные условия и тп, и Вы говорите, что эти параметры вычисляются каким-то методом, то самостоятельно применяйте Ваш метод и укажите конкретные значения пшараметров, так что в результате формула для 'решения' будет содержать только те переменные, которые входят в уравнение.

evgeniy в сообщении #377329 писал(а):

Shwedka пишет, что я интегрирую вдоль уравнения характеристики.

Я такой безграмотности никогда не писала. Вы интегрируете вдоль 'характеристики'

evgeniy в сообщении #377329 писал(а):

Без использования уравнения характеристики его решить невозможно. Вас это решение не устраивает. ВСя суть моего алгоритма состоит в использовании уравнений характеристик. Без них однозначного решения нет. если задать уравнения характеристик. то решение появится.

Вот и приведите решение, которое появится. Именно, решение уравнение Пфаффа. Как Вы его построите -- неважно.

[evgeniy]

Я приведу решение уравнения Пфаффа, используещее уравнения характеристик. Это не глобальное решение, как я уже говорил.
dx+dy+ydz=0
равнения характеристики
$x=t+x_0$
$y=t^2+y_0$
$z=t^3+z_0$
В первые два члена ничего подставлять не надо, получим
$U_x=x-x_0$
$U_y=y-y_0$
Выразим величину y через аргумент z, получим
$y=z_0+(z-z_0)^{3/2}$
Третье уравнение имеет вид
$U_z=\int\limits_{z_0}^{z}[z_0+(z-z_0)^{3/2}]dz=z_0(z-z_0)+(z-z_0)^{5/2}2/5$
общая формула
$U(x,y,z)=U_x+U_y+U_z=x-x_0+y-y_0+z_0(z-z_0)+(z-z_0)^{5/2}2/5$
при дифференцировании по z надо в окончательном результате использовать уравнение характеристики.
Не виже особой разницы, в терминах вдоль "характеристики" или "вдоль уравнения характеристики". ПЕрвый термин, это не договоренный второй.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377357 писал(а):

$U(x,y,z)=U_x+U_y+U_z=x-x_0+y-y_0+z_0(z-z_0)+(z-z_0)^{5/2}2/5$

Не годится. Кто такие $x_0,y_0, z_0?$. Я просила решение, выраженное через три переменные, $x,y,z$.

[evgeniy]

решение строится между начальной точкой $x_l^0$ и конечной точкой пути интегрирования $x_l$ и начальная точка для решения в моей постановке необходима.
Формулирую задачу в моей постановке.
Получить решение уравнения Пфаффа
$dU=\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_n)dx_l=0$
использующее уравнения характеристики $x_k=x_k(t,x_1^0,...,x_N^0), k=1,...,N$ и удовлетворяющее условию $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l},l=1,...,N$ с использованием уравнения характеристики, при этом $U=U(x_1,...,x_N,x_1^0,...,x_N^0). $Причем при $t=t_0$ уравнение характеристики проходит через точку $x_k^0,k=1,...,N$

[shwedka]

По-прежнему, решения не вижу.
evgeniy в сообщении #377357 писал(а):
$U(x,y,z)=U_x+U_y+U_z=x-x_0+y-y_0+z_0(z-z_0)+(z-z_0)^{5/2}2/5$

Не годится. Кто такие $x_0,y_0, z_0?$. Я просила решение, выраженное через три переменные, $x,y,z$.

Цитата:

Формулирую задачу в моей постановке.
Получить решение уравнения Пфаффа
$dU=\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_n)dx_l=0$

Так где это решение?

evgeniy в сообщении #377419 писал(а):

решение строится между начальной точкой $x_l^0$ и конечной точкой пути интегрирования $x_l$ и начальная точка для решения в моей постановке необходима.

И задайте какую-нибудь начальную точку, конкретно, например (1,2,3)
Или нельзя эту? тогда какую можно? Но конкретно.

[evgeniy]

Задаю частный случай решения уравнения Пфаффа при заданных характеристиках при значениях $x_0=1,y_0=2,z_0=3$
$U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
тОгда имеем связь между y и z
$y=3+(z-3)^{3/2}$
Вы не видите глобального решения. В той постановке задачи, которую я дал, получается решение уравнения Пфаффа. Я не претендую на глобальное решение. А претендую на единственное решение, при заданных характеристиках.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377454 писал(а):

В той постановке задачи, которую я дал, получается решение уравнения Пфаффа.

Я не вижу, что это решение УП. Для этого мне нужна функция, у которой можно найти частные производные и проверить, что они те, что надо.
У вас функция
$U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
задана для всех
$(x,y,z)$
или только для $(x,y,z)$ на кривой

$x=t+1$
$y=t^2+2$
$z=t^3+3$

или как-то еще?

[evgeniy]

В какой области она задана я не знаю, это сложный вопрос, но если взять ее частную производную и подставить уравнение характеристики, то получим решение уравнения Пфаффа с использаванием характеристики. В случае, если варьировать начальные условия, то получим область с локальным пересечением решения. Решение единственно, функция $U(\vec x,\vec x^0$) единственна, но в некоторых точках разные решения пересекаются.
ДЛя каждой функции $A_l$ она задана вдоль разной поверхности, так как меняется только $x_l$ в функции $A_l$, не совпадающей с уравнением характеристики. ПЕресечение этих поверхностей определит кривую.

[A@B]

shwedka в сообщении #377240 писал(а):

А просто сказать 'по построению' будет недостаточно!
Вы в первой системе берете $dz=0$,
а во второй от этого требования отказываетесь,
следовательно, все, что Вы построите во второй системе, уже не удовлетворяет первой.

По-другому.

На 'поверхности' по построению выполнено

A@B в сообщении #377236 писал(а):

$\[\left\{ \begin{array}{l} dx + dy + ydz = 0; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,dy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0; \\ \end{array} \right.\]$

То есть, мое уравнение выполнено для таких $dx, dy, dz$,
что $dy=0$. А нужно, чтобы оно выпонялось ДЛЯ ВСЕХ ($dx, dy, dz$), касательных к поверхности, в том числе, и для таких, где $dy\ne0$.
Так что давайте на стол доказательство.

Что ж, давайте сначала. Есть начальная точка, есть решение системы уравнений. Есть решение системы, пусть, сначала первой системы или его нет?


И почему Вы так настойчиво игнорируете численную проверку?