Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[shwedka]

evgeniy в сообщении #382123 писал(а):

Достаточно цепочки формул
$\frac{dx_l}{dx_l}=1=\frac{dx_l}{dt}\frac{\patial t}{\partial x_l}$

Ну не пойдет так. Вы уже много раз спотыкались на ошибочности формальных преобразований.
Так что 'физический уровень строгости' означает никакой уровень строгости. вспомните в очередной раз определение частной производной. А если с ним доказательство не получается, то значит, что-то в Ваших утверждениях и формулах не так.

[evgeniy]

вы не внимательны. Я привел формулу $\frac{\partial x_l}{\partial t}=\frac{d x_l}{d t}$, котрая справедлива, так как $x_l=x_l(t,c_1,...,c_N)$. ТТогда предлагаемое равенство это чистое определение производной, взятой вдоль пути интегрирования.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #382149 писал(а):

ТТогда предлагаемое равенство это чистое определение производной.

Ни в одном глазу. Частная производная $\frac{\partial t}{\partial x_l}$
НИКАК не связана с $\frac{\partial x_l}{\partial t}=\frac{d x_l}{d t}$.
Понимаете, в отличие от функций одной переменной, при многих переменных частные производные нельзя переворачивать, как Вам очень хотелось бы.

[evgeniy]

Производная равна
$\frac{dx_l}{dx_l}=\frac{\partial x_l}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x_l}+\sum_{n}\frac{\partial x_l}{\partial c_n}\frac{\partial c_n}{\partial x_l}=1$
но так как осуществляется дифференцирование вдоль пути интегрирования дифференциального уравнения, частные производные по константам равны нулю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #382158 писал(а):

Производная равна
$\frac{dx_l}{dx_l}=\frac{\partial x_l}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x_l}+\sum_{n}\frac{\partial x_l}{\partial c_n}\frac{\partial c_n}{\partial x_l}=1$
но так как осуществляется дифференцирование вдоль пути интегрирования дифференциального уравнения, частные производные по константам равны нулю.

Вот здесь-то и прокол. где это в осуществляется дифференцирование вдоль пути интегрирования?
понимаете, чтобы сосчитать $\frac{dx_l}{dx_l}$ , по определению производной, нужно изменить ${dx_l}$ , не изменяя остальных переменных. Тогда, действительно, получите единицу, но с кривой свалитесь. А потому в правой части появятся новые члены, которые Вам не учесть!
А что такое $\frac{\partial t}{\partial x_l}$ 'вдоль пути интегрирования'? Опять бессмыслица. .Уж решайтесь. Или это вдоль пути-- тогда не частная производная. Или это частная производная -- но тогда не вдоль пути

Вы в который уже раз пытаетесь найти призводныю поперек кривой по значениям функции на этой кривой. Ну, не бывает такого!.

[evgeniy]

Формула вдоль пути интегрирования выглядит следующим образом
$dx_l=\frac{\partial x_l}{\partial t}\Delta t+\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial x_l}{\partial c_n}\Delta c_n$
Вдоль пути интегрирования $\Delta c_n=0$ , а приращение $\Delta t$ соответствует приращению $\Delta x_l$ не сходя с пути интегрирования. Деля на величину $\Delta x_l$ получаем требуемое соотношение.
Но можно сказать, что решение задачи не требует этих рассуждений. Для первого интеграла $t=h(x_1,...,x_N)+c$ построено дифференциальное уравнение, решением которого и является первый интеграл.
$\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial h}{\partial x_l}$
Функцию $t_l(t)$ я построил в самом начале последних сообщений. В результате получаем первый интеграл и дифференциальное уравнение, имеющее этот первый интеграл.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #383161 писал(а):

Деля на величину $\Delta x_l$ получаем требуемое соотношение.

не получаете. потому что дла получения частной производной, по определению, нужно делить на другую величину, не на изменение
$\Delta x_l$ не сходя с пути интегрирования, а на его изменение поперек пути интегрирования, когда ЭТА переменная меняется, а другие заморожены.
То же в числителе. Вы берете изменение$ t $ вдоль пути интегрировабния, а нужно поперек, опять же, когда только $x_l$ меняется.
Так что у Вас и числитель, и знаменатель неправильные. Естественно, предел и не будет частной производной.

Цитата:

решением которого и является первый интеграл.
$\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial h}{\partial x_l}$

И опять Вы пользуетесь ошибочной формулой для частной проиозводной.

[evgeniy]

Хотя я пользуюсь по вашему мнению ошибочной формулой, полученное дифференциальное уравнение правильное, и это является решением задачи. Значит формула не ошибочна.
А по поводу, что нужно при вычислении частной производной делить на изменение $\Delta x_l $при остальных фиксированных значениях, так я считаю производную вдоль пути интегрирования $\frac{dx_l}{dx_l}$ для которой в случае зависимости $y=f(x_1,...,x_N)$ справедлива формула $\frac{dy}{du}=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{d x_n}{d u}$, где $u=x_k$ или u=y, нужно просто рассматривать $x_n=x_n(u)$ где u соответствует пути интегрирования.
Может быть я что-то путаю, но результат получился, система дифференциальных уравнений получена, удовлетворяющая первому интегралу.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #383220 писал(а):

так я считаю производную вдоль пути интегрирования $\frac{dx_l}{dx_l}$ для которой в случае зависимости $y=f(x_1,...,x_N)$ справедлива формула $\frac{dy}{du}=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{d x_n}{d u}$,

Формула верна. Но так у Вас нет никакого основания выбирать одно слагаемое из последней суммы и отбрасывать остальные, выделить одну частныю производную не удастся.
Ну, почему Вам так хочется против природы идти. Ну нельзя найти частные производные функции по ее значениям на кривой. Уж сколько раз я Вас по рукам била. Нельзя. Невозможно.

evgeniy в сообщении #383220 писал(а):

Может быть я что-то путаю, но результат получился, система дифференциальных уравнений получена, удовлетворяющая первому интегралу.

Столько уже всего Вы писали об этом, и исправляли уж не уследить, какая версия сейчас действительна. Попробуйте заново, но начните с постановки задачи.

[evgeniy]

Рассматриваются разные случаи, тогда был задан путь интегрирования и для разных членов уравнения Пфаффа, выбиралась своя переменная, которая на самом деле была одна, поэтому частная производная не равна коэффициентам уравнения Пфаффа. Частная производная зависела от одной переменной, поэтому нельзя было добиться равенства частной производной от потенциала коэф. Пфаффа. ЗДесь же совершенно другая ситуация.
Почему работает один член формулы $\frac{dy}{du}=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial y}{\partial x_n}\frac{dx_n}{du}$. Потому, что если расписать в конечных разностях
$\Delta y=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial y}{\partial x_n}\Delta x_n$
только одно приращение не равно нулю, временное, а приращение констант интегрирования равно нулю, они постоянны.

[shwedka]

shwedka в сообщении #383244 писал(а):

начните с постановки задачи.

вы не заметили, что я попросила? Вы пишете, пишете что-то о решении, но нет постановки. Что вы хотите построить.

evgeniy в сообщении #383274 писал(а):

$\Delta y=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial y}{\partial x_n}\Delta x_n$
только одно приращение не равно нулю,

A доказать! Что только одно приращение не ноль при движении вдоль кривой.
Вот, скажем, Ваша кривая $x_1=x_2=...=x_N=t$.
попробуйте сдвинуться вдоль этой кривой, чтобы только одна переменная из $x_k$ поменялась, а остальные заморозились.

[evgeniy]

Я обсуждаю две задачи. Обоснование формулы $\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}=1$ и обоснование существования первого интеграла вида $t=h(x_1,...,x_N)+c$ у некоей системы дифференциальных уравнений.
Займусь второй задачей, которая более быстро приведет нас к цели. ОНа сформулирована. По первому интегралу найти систему дифференциальных уравнений, которым он удовлетворяет. Введем переменную $t_l-t_0=\int\limits_{t_0}^{t}\frac{\partial t}{\partial x_l}F_ldt$, где правая часть дифференциального уравнения равна $F_l=1/\frac{\partial h}{\partial x_l}$. ТОгда справедливо $t-t_0=\sum_{l=1}^N(t_l-t_0)$, так как $F_l=\frac{dx_l}{dt}$ и значит $\sum_{l=1}^N(t_l-t_0)=\sum_{l=1}^N \int\limits_{t_0}^{t}\frac{\partial t}{\partial x_l}\frac{dx_l}{dt}dt=t-t_0$.
Причем справедливо $\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}$ так как при изменении $x_l$ меняется только $t_l$ и наоборот.
Тогда возьмем систему дифференциальных уравнений (считаем что происхождение системы дифференциальных уравнений неизвестно)
$\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial h}{\partial x_l},l=1,...,N$(1)
Она имеет первый интеграл, вычисляемый по формуле
$\sum_{l=1}^N\frac{\partial h}{\partial x_l}dx_l=\sum_{l=1}^{N}dt_l=dt$
Т.е. получаем, что система (1) имеет первый интеграл, который имеет вид
$t=h(x_1,...,x_N)+c$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #383377 писал(а):

Я обсуждаю две задачи. Обоснование формулы $\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}=1$

Эта формула неверна. Я это уже сотню раз объяснила. Попробую в 101. Пусть в какой-то точке кривой $\frac{dx_l}{dt}=0$. То есть где-то кривая касается оси $x_l$. Чему тогда равна частная производная $\frac{\partial t}{\partial x_l}$? Жду ответа. Более того, без ответа буду ГРОМКО повторять вопрос каждый раз. Или, наоборот, Ваша формула ЗАПРЕЩАЕТ $\frac{\partial t}{\partial x_l}=0$, даже в отдельных точках. То есть, на Ваш взгляд, у Вас такая власть над функциями есть, чтобы вычеркнуть все функции, у которых где-то одна из частных производных равна нулю.?

займемся второй.

Цитата:

По первому интегралу найти систему дифференциальных уравнений, которым он удовлетворяет

Понятно. Хотя, мне кажется, это умеют делать лет сто.

Цитата:

Введем переменную $t_l-t_0=\int\limits_{t_0}^{t}\frac{\partial t}{\partial x_l}F_ldt$

А здесь непонятно. в каком смысле интеграл. ПО какому интервалу, или по какой кривой? Или как-то по-другому? Чтобы не провраться, пишите все переменные.

evgeniy в сообщении #383377 писал(а):

где правая часть дифференциального уравнения равна $F_l=1/\frac{\partial h}{\partial x_l}$

Какого уравнения? ведь Вы его только ищете! Или оно у Вас было и Вы его скрываете?

Цитата:

$t-t_0=\sum_{l=1}^N(t_l-t_0)$

Я в этом тексте не вижу определения величины $t$. сначала дайте определение, а потом уже что-то о ней доказывайте.

evgeniy в сообщении #383377 писал(а):

$\sum_{l=1}^N(t_l-t_0)=\sum_{l=1}^N \int\limits_{t_0}^{t}\frac{\partial t}{\partial x_l}\frac{dx_l}{dt}dt=t-t_0$

А здесь просто неправда. В правой части получается $t-Nt_0$

evgeniy в сообщении #383377 писал(а):

$\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}$ так как при изменении $x_l$ меняется только $t_l$

А здесь совсем непонятно. Пока не написаны все переменные и пути интегрирования это полностью неясно.

Цитата:

при изменении $x_l$ меняется только $t_l$

придется Вам доказывать.

[evgeniy]

Конечно в этом случае $\frac{\partial t}{\partial x_l}=\infty$, что следует из формулы.
Я устал от непонимания. Видимо я не могу излагать математические проблеммы таким образом, чтобы меня понимали. Вы тоже от меня устали. Давайте сделаем перерыв и я соберусь с силами, чтобы излагать математические истины.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #383465 писал(а):

Конечно в этом случае $\frac{\partial t}{\partial x_l}=\infty$, что следует из формулы.

И чепуха полная. У вас ведь гладенькая функция $t(x)$. У нее не может быть бесконечной производной. Придумайте что-нибудь получше.

-- Сб дек 04, 2010 14:01:23 --

evgeniy в сообщении #383465 писал(а):

Давайте сделаем перерыв и я соберусь с силами, чтобы излагать математические истины.

Пока что излагаемое Вами от ИСТИНЫ далеко...................................................................................
..............................................................................................
........................................