Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1517167 писал(а):

Как было показано в родственной теме, это максимальное расстояние уже растет нелинейно и соотношение $d(p_r\#)/p_r$ является медленно растущей функцией

Это кто и где показал? Лично я показал лишь что на проверенных интервалах она не ограничена сверху значением $4$. И что нижняя граница растёт, на проверенных интервалах. Но линейность роста это вовсе не исключает, точное максимальное $d()$ я там вообще не искал, лишь ограничение его снизу.

vicvolf в сообщении #1517167 писал(а):

является медленно растущей функцией $\varphi(p_r)< {p_r}^{\epsilon}$, где $\epsilon >0$.

И этого я уж точно не показывал. К тому же это оценка сверху, о ней речи у меня вообще нигде не было.
Кроме того, где было доказательство связи $\varphi()$ с максимальным, подчёркиваю, не средним, а именно максимальным интервалом? И именно про степень простого?

Но вообще-то оценка и снизу и сверху приводилась даже в этой самой теме: post1513056.html#p1513056
Но неравенство $(r \log r)^2 < p_r^{1+\varepsilon}$ Вам придётся доказывать самому. Без оного Вы просто что-то ляпнули, со ссылкой непонятно куда и на что.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1517237 писал(а):

vicvolf в сообщении #1517167 писал(а):

Как было показано в родственной теме, это максимальное расстояние уже растет нелинейно и соотношение $d(p_r\#)/p_r$ является медленно растущей функцией

Это кто и где показал?

Dmitriy40 в сообщении #1513539 писал(а):

Запускал предыдущий промежуточный вариант программы в коротких отрезках около $2600\#$, $3300\#$, $5000\#$, $9000\#$, хотел посмотреть на динамику отношения, так вот оно такое ощущение что растёт. Сначала было около $4.02$, потом $4.1$, дальше $4.2$, а потом и до $4.3$ доросло. С колебаниями, но средний тренд вполне просматривается.
Последний же вариант программы влёгкую выдал например
$p_r=5051, d=23478, 4p_{r+1}=20236, d/p_{r+1}=4.640838$, $799056846507377..130775199474893+23478$
$p_r=9059, d=45812, 4p_{r+1}=36268, d/p_{r+1}=5.052608$,
Так что вовсе оно не стремится к $4$, это лишь у меня алгоритм недостаточно хорош. Скорее оно медленно, но растёт.

Цитата:

Но вообще-то оценка и снизу и сверху приводилась даже в этой самой теме: post1513056.html#p1513056
Но неравенство $(r \log r)^2 < p_r^{1+\varepsilon}$ Вам придётся доказывать самому. Без оного Вы просто что-то ляпнули, со ссылкой непонятно куда и на что.

Если использовать асимптотический закон простых чисел: $p_n \sim n\ln(n)$, то получим из оценки $a(n)<<n^2\ln^2(n)$ оценку $d(p_n)/p_n<<(p_n)\ln^2(p_n)$ и $d(p_n)/p_n<p_n^{\epsilon}$ проходит. А нижняя оценка, данная там же, подтверждает, что $d(p_n)/p_n$ - медленно растущая функция.

[Dmitriy40]

vicvolf
Во первых, я в той теме оценивал не $d_{\max}()$, а некоторое меньшее $d()$, о чём кстати где-то там прямо заявлял, что оно точно не максимальное. Соответственно и моя оценка $d_{\max}()$ получена лишь снизу, и только для проверенных интервалов. И она вовсе не исключает линейный рост $d_{\max}()$, ни в проверенных интервалах, ни тем более в других. Это Вы свои не обязательно корректные выводы приписываете мне. Чему я категорически против.

Во вторых, есть правильный значок $\ll$, всего на одно нажатие клавиатуры длиннее.

В третьих, объясните как из $d_{\max}(p)/p \ll p \ln^2(p)$ (даже не буду пока спрашивать как это выводится, поверю) следует $d_{\max}(p)/p < p^\varepsilon$? В первом функция справа чуть больше линейной, во втором функция справа околонулевая. Но справедливо например $p^\varepsilon < \sqrt[777]{p} \ll p \ln^2(p)$, т.е. есть множество функций, подпадающих под первое и не подпадающих под второе. Так как вы из первого получили второе?! Если вот вам конкретный контрпример неверности вашего вывода?

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1517297 писал(а):

Во вторых, есть правильный значок $\ll$

Если бы Вы знали значение этого символа и чем он отличается от O-большое, то не возникли бы другие вопросы.

[Dmitriy40]

vicvolf
Очень смешно.

В таком случае потрудитесь не использовать мои предположения в качестве подтверждения своих утверждений. И не ссылаться на мои данные вне рамок условий их получения (например ограниченность проверенных интервалов или что $d() \ne d_{\max}()$).
Отдельно и специально повторю в третий раз: в соседней теме я не доказал и не показал нелинейность роста $d_{\max}()$, ваше утверждение об этом ошибочно. Ошибочно не утверждение о порядке роста функции, это вопрос отдельный и на вашей совести, ошибочно будто бы что я это показал. Нет, не показал.

[Pphantom]

vicvolf, предупреждение за захват темы и фактическое возобновление закрытой темы.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1517362 писал(а):

Отдельно и специально повторю в третий раз: в соседней теме я не доказал и не показал нелинейность роста $d_{\max}()$, ваше утверждение об этом ошибочно. Ошибочно не утверждение о порядке роста функции, это вопрос отдельный и на вашей совести, ошибочно будто бы что я это показал. Нет, не показал.

По просьбе заслуженного участника отвечаю. Нелинейность роста максимального расстояния между вычетами ПСВ следует из нижней оценки функции Якобсталя $a(n) \geqslant (2e^\gamma + o(1)) n \log^2 n \log \log \log n / (\log \log n)^2$, доказанной Pintz.

[Dmitriy40]

Вот именно. И не надо приписывать это мне.
К тому же эту оценку доказал вовсе не Pintz, а ещё в 1938г., см. вики или его оригинальную статью.

[Yury_rsn]

Хочу предложить визуализацию для построения интервалов d.
Условное название - "логарифмическая линейка".
Двумерное представление наименьших делителей любой последовательности чисел.

Например, представим в этом виде последовательность чисел, содержащих следующие наименьшие делители [_, 5, 11, 13, 23, 7, 19, 17, 5, 11, 7, 5, 13, _ ]
В виде "логарифмической линейки" это будет выглядеть так:
\begin{tabular}{l|rccccccccccccccc} \hline 5&.&5&.&.&.&.&.&.&5&.&.&5&.&. \\ 7&.&.&.&.&.&7&.&.&.&.&7&.&.&. \\ 11&.&.&11&.&.&.&.&.&.&11&.&.&.&. \\ 13&.&.&.&13&.&.&.&.&.&.&.&.&13&. \\ 17&.&.&.&.&.&.&.&17&.&.&.&.&.&. \\ 19&.&.&.&.&.&.&19&.&.&.&.&.&.&. \\ 23&.&.&.&.&23&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ \end{tabular}
Левый и правый пустые столбцы означают, что соответствующие числа в последовательности не делятся на простые 5, 7, 11, ..., 23.

Вот реальная последовательность, обладающая этими свойствами:
20332471, 20332475, 20332477, 20332481, 20332483, 20332487, 20332489, 20332493, 20332495, 20332499, 20332501, 20332505, 20332507, 20332511
- тот самый знаменитый интервал, длиной d=40 из 23#
(Взяты числа, не кратные 6)

Это представление соответствует идее, которую описал vorvalm
post1511021.html#p1511021
---
А теперь самое интересное - почему "логарифмическая линейка"?

Дело в том, что каждую строку можно мысленно представить планкой-движком, как в настоящей логарифмической линейке.
Эти планки бесконечны в обе стороны. Например, по делимости на 5:
5, , , , , , , 5, , , 5, , , , , , , 5, , , 5, , , , , , , 5, , , 5, , , , , , , 5, , , 5, , , , , , , 5, , , 5, , , , , , , 5, , , 5, ,
Расстояния между последовательными соседними числами, кратными пяти, соответственно равны - 7, 3, 7, 3, 7, ... и т.д. (Взяты числа, не кратные 6)
Аналогично, и для остальных простых чисел.
Расстояние между любыми "первым" и "третьим" числом в строке равно 2p
Между соседними, соответственно, - [2p/3] и [4p/3]. Округление в большую сторону.

Проблему "построения" интервала максимальной длины, для соответствующего p#, тогда можно сформулировать в виде комбинаторной задачи:
- с помощью передвижения планок по каждой строке, найти взаимное расположение строк такое, что количество НЕпустых столбцов, идущих подряд, будет максимально возможным.

Как видно из вышеприведенной таблицы, - как бы мы ни пытались передвигать планки, - больше двенадцати столбцов подряд заполнить не удастся.

-- 08.05.2021, 13:24 --

"По стыкам" предыдущих праймориалов взаимное расположение планок будет такое:
\begin{tabular}{l|rccccccccccccccc} \hline 5&.&.&.&.&.&5&.&.&5&.&.&.&.&. \\ 7&.&.&.&.&7&.&.&.&.&7&.&.&.&. \\ 11&.&.&.&11&.&.&.&.&.&.&11&.&.&. \\ 13&.&.&13&.&.&.&.&.&.&.&.&13&.&. \\ 17&.&17&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&17&. \\ 19&.&.&.&.&.&.&19&.&.&.&.&.&.&. \\ 23&.&.&.&.&.&.&.&23&.&.&.&.&.&. \\ \end{tabular}

Тоже 12 столбцов, но они создают интервал d=38.
Разница зависит от начального значения по mod 6.
Подробности см. - post1511021.html#p1511021

[Yury_rsn]

В 37# есть только два различных класса эквивалентности по модулю 23# (не считая зеркальных отражений) - для d=66
Первый:
Пример от числа 187219155593
$\begin{tabular}{l|rcccccccccccccccccccccccccc} \hline 5&5&.&.&5&.&.&.&.&.&.&5&.&.&5&.&.&.&.&.&.&5&. \\ 7&.&7&.&.&.&.&7&.&.&.&.&.&.&.&.&7&.&.&.&.&7&. \\ 11&.&.&.&.&11&.&.&.&.&.&.&11&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ 13&.&.&.&.&.&.&.&13&.&.&.&.&.&.&.&.&13&.&.&.&.&. \\ 17&.&.&.&.&.&.&.&.&17&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&17&.&.&.&. \\ 19&.&.&.&.&.&19&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&19&.&.&. \\ 23&.&.&23&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&23&.&.&.&. \\ 29&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&29&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ 31&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&31&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ 37&.&.&.&.&.&.&.&.&.&37&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ \end{tabular}$

Второй:
Пример от числа 271066740083
$\begin{tabular}{l|rcccccccccccccccccccccccccc} \hline 5&5&.&.&5&.&.&.&.&.&.&5&.&.&5&.&.&.&.&.&.&5&. \\ 7&.&.&7&.&.&.&.&.&.&.&.&7&.&.&.&.&7&.&.&.&.&.&. \\ 11&.&.&.&.&.&.&.&.&11&.&.&.&.&.&.&11&.&.&.&.&.&. \\ 13&.&.&.&.&.&.&.&.&.&13&.&.&.&.&.&.&.&.&13&.&.&. \\ 17&.&.&.&.&.&.&17&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&17&.&.&.&. \\ 19&.&19&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&19&.&.&.&.&.&.&. \\ 23&.&.&.&.&23&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&23&.&. \\ 29&.&.&.&.&.&29&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ 31&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&31&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\ 37&.&.&.&.&.&.&.&37&.&.&.&.&.&.&. \\ \end{tabular}$

Все остальные интервалы, длиной 66, отличаются от вышеприведенных только перестановками чисел 29, 31, 37 между собой.

[vorvalm]

А какое общее число таких интервалов в ПСВ ?

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1517466 писал(а):

Расстояние между любыми "первым" и "третьим" числом в строке равно 2p
Между соседними, соответственно, - [2p/3] и [4p/3]. Округление в большую сторону.

Про округление - неправильно сформулировал.

Правила округления до целых тут такие же, как в начальной школе.
Если дробная часть меньше 0,5, округляем в меньшую сторону ( если 3.333... - то берем целое 3).
А если дробная часть больше 0,5, округляем в большую сторону (если 6.666.., то берем целое 7).

-- 09.05.2021, 22:34 --

vorvalm в сообщении #1517833 писал(а):

А какое общее число таких интервалов в ПСВ ?

Я общее число взял из расчетов Дмитрия post1513500.html#p1513500
(широкие строки)
Всего 24 интервала длиной d=66.
В ПСВ 37#

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1517466 писал(а):

Взяты числа, не кратные 6

Еще одну оговорку увидел.
Конечно, имеются в виду числа, которые по-отдельности не кратны - ни 2, ни 3.

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1517839 писал(а):

Всего 24 интервала длиной d=66. В ПСВ 37#

Это означает, что на каждый вариант распределения цепочек в $d=66$ приходится по 12 интервалов.
А вот как отделить эти интервалы друг от друга ? Т.е. какие начальные вычеты интервалов относятся к одному типу
распределения цепочек.

[Yury_rsn]

vorvalm в сообщении #1517899 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1517839 писал(а):

Всего 24 интервала длиной d=66. В ПСВ 37#

Это означает, что на каждый вариант распределения цепочек в $d=66$ приходится по 12 интервалов.
А вот как отделить эти интервалы друг от друга ? Т.е. какие начальные вычеты интервалов относятся к одному типу
распределения цепочек.

Каждому из вариантов соответствует такой же, но зеркально отображенный. Т.е., четыре разных варианта.
То, что каждые шесть представителей каждого из четырех классов сравнимы между собой по модулю 23# говорит о том, что все цепочки (т.е., строки, где встречается больше одного элемента на строку) остаются неподвижными. Это строки 5, 7, ..., 23.
А меняются местами только "свободные" элементы в строках 29, 31, 37. Потому и получаем шесть вариаций.
Точно такая же закономерность, о которой вы говорили в случае d=40 для ПСВ 23#.

-- 10.05.2021, 12:13 --

Я о подобных сравнениях (но по модулю 13# для ПСВ 23# ) недавно писал:

Yury_rsn в сообщении #1516818 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1513456 писал(а):

vorvalm в сообщении #1509384 писал(а):

Dmitriy40
Просьба.
Среди вычетов ПСВ по модулю $M=23\#$ есть по крайней мере
6 разностей между соседними вычетами, равными $d=40$.
Не могли бы найти первые вычеты этих разностей. Спасибо.

Не знаю почему, но нашлось больше (код на PARI/GP):

? pr=vecprod(primes([1,23]));pp=1;forstep(p=3,pr-1,2, if(gcd(p,pr)>1,next); if(p-pp==40,print1(pp,"  "));pp=p)
20332471  24686821  36068191  65767861  82370089  97689751  125403079  140722741  157324969  187024639  198406009  202760359
time = 1min, 3,868 ms.

Выведено меньшее из двух чисел.

20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

Интересно, а для бОльших простых чисел - на какие классы по модулю $p_{r-3}\#$ распадаются расположения расстояний d в ПСВ $p_{r}\#$ ?
Особенно интересуют d $\geqslant$ 2$p_{r-1}$.

Хотелось бы проверить гипотезу из последнего абзаца для следующих простых. >37
Это как бы просьба, обращенная к Дмитрию

Как видим, - для ПСВ 23# имеется только один класс. И один зеркальный ему.

-- 10.05.2021, 12:22 --

Yury_rsn в сообщении #1517917 писал(а):

То, что каждые шесть представителей каждого из четырех классов сравнимы между собой по модулю 23# говорит о том, что все цепочки (т.е., строки, где встречается больше одного элемента на строку) остаются неподвижными.

Своего рода, автоморфизмы. )