Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1513053 писал(а):

В разделе FORMULA

Точнее можно

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1513016 писал(а):

Yury_rsn
Насчёт правее или левее, вот вам данные по стыкам праймориалов $p_{r-2}\#$ и расстояниях на них (праймориал, максимальное расстояние, где встречается)
...
Интересно что в таблице мест появления есть несоответствия, например для $31\#$ у меня адрес $74959204291$, там же указан второй $125601285781$, но это видимо не ошибка, а просто одно из чисел в промежутке делится на само $31$, что они у себя исключают. Так что оказывается пользоваться таблицей надо с осторожностью.

Еще увидел несоответствие.
Для 41# - расстояния у Якобсталя, и на стыках совпадают - 74.
А начальные позиции очень отличаются. Как это может быть?

Вот таблица сравнения:
(праймориал; макс расстояния на стыках; макс расстояния Якобсталя; "номер позиции Макс Якобст / номер позиции Макс на стыках"; разность позиций "Макс Якобст" - "Макс на стыках")
5# _ 6 _ 6 _ 1,0 _ 0
7# _ 10 _ 10 _ 1,0 _ 0
11# _ 14 _ 14 _ 1,0 _ 0
13# _ 22 _ 22 _ 1,0 _ 0
17# _ 26 _ 26 _ 1,0 _ 0
19# _ 34 _ 34 _ 1,0 _ 0
23# _ 38 _ 40 _ 0,7 _ 9277090
29# _ 46 _ 46 _ 1,0 _ 0
31# _ 58 _ 58 _ 1,7 _ -50642081490
37# _ 62 _ 66 _ 3,2 _ -5996745248664
41# _ 74 _ 74 _ 4,8 _ -304250263527210
43# _ 82 _ 90 _ 3,1 _
47# _ 86 _ 100 _ 3,5 _
53# _ 94 _ 106 _ 2,6 _
59# _ 106 _ 118 _ 3,3 _
61# _ 118 _ 132 _ 6,7 _
67# _ 122 _ 152 _ 4,0 _
71# _ 134 _ 174 _ 2,2 _
73# _ 142 _ 190 _ 4,8 _
79# _ 146 _ 200 _ 12,7 _
83# _ 158 _ 216 _ 1,8 _
89# _ 166 _ 234 _ 3,5 _
97# _ 178 _ 258 _ 5,8 _
(Сами номера позиций я тут не выписываю, слишком громоздкие числа)

Четвертый столбец наглядно показывает, что случай 23# - исключительный.
Только в этом праймориале максимум Якобсталя появляется левее максимума на стыках праймориалов. Отношение номеров позиций - меньше единицы.

А дальше максимумы Якобсталя улетают далеко вправо, хотя очень неравномерно.
79# 146 200 12,7
83# 158 216 1,8
- очень показательно.

-- 06.04.2021, 16:34 --

vorvalm в сообщении #1513055 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1513053 писал(а):

В разделе FORMULA

Точнее можно

$a(n) << n^2(\log n)^2$, see Iwaniec
$a(n) \geqslant (2e^\gamma + o(1)) n \log^2 n \log \log \log n / (\log \log n)^2$ , see Pintz.

[vorvalm]

Yury_rsn
Спасибо.

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1513056 писал(а):

Еще увидел несоответствие.
Для 41# - расстояния у Якобсталя, и на стыках совпадают - 74.
А начальные позиции очень отличаются. Как это может быть?

Думаю у них ошибки в таблице.
Или возможно у них в таблице не гарантированно минимальные значения, а просто абы какие.
Ибо для $31\#$ оба моих интервала содержат число кратное $31$, однако у них присутствует лишь второй из моих, хотя первый меньше.
Для $41\#$ оба моих интервала также содержат число кратное $41$, однако и их интервал тоже содержит такое число! И при этом мой первый интервал меньше их.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1513056 писал(а):

$a(n) << n^2(\log n)^2$, see Iwaniec
$a(n) \geqslant (2e^\gamma + o(1)) n \log^2 n \log \log \log n / (\log \log n)^2$ , see Pintz.

Эти оценки наверно справедливы для функции роста максимального расстояния между соседними вычетами всего ПСВ (функции Якобсталя), но нам не подходят.
Для доказательства гипотезы Лежандра нам нужны линейные оценки роста функции максимального расстояния между соседними простыми числами на интервале $(1,p^2_{r+1})$ типа: $d(p^2_{r+1}) < 2p_r+1$, $d(p^2_{r+1}) < 2p_r$ или сильнее $d(p^2_{r+1}) \leq 2p_{r-1}$ и.т.д.
Последняя гипотеза была проверена:

Dmitriy40 в сообщении #1510341 писал(а):

Вот начало таблицы для интервала от следующего простого до его же квадрата, показываю только моменты смены любого из двух чисел:

Используется синтаксис Text

5#:     6       23
7#:     8       89
11#:    14      113
23#:    18      523
29#:    20      887
31#:    34      1327
97#:    36      9551
113#:   44      15683
139#:   52      19609
173#:   72      31397
389#:   86      155921
599#:   96      360653
607#:   112     370261
701#:   114     492113
1153#:  118     1349533
1163#:  132     1357201
1409#:  148     2010733
2153#:  154     4652353
4129#:  180     17051707
4561#:  210     20831323

А, следовательно, справедливы и остальные.

[Dmitriy40]

Угу, только не забывая что "проверены" не идентично "доказаны" их надо бы ещё и доказать ...

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513086 писал(а):

Угу, только не забывая что "проверены" не идентично "доказаны" их надо бы ещё и доказать ...

Конечно. Помните я попросил Вас подсчитать:

vicvolf в сообщении #1512989 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1512956 писал(а):

vicvolf
Надеюсь под взаимно простыми подразумевались взаимно простые с $p_r\#$. Тогда вот ($p_r\#$, интервал, максимальное расстояние, список где встретилось в интервале):

? prr=6; forprime(pr=5,35, prr*=pr; pr1=precprime(pr-1); ps=prr/pr/pr1+pr1; a=[];d=0;ii=1; forstep(i=3,ps,2, if(gcd(i,prr)==1, if(i-ii==d, a=concat(a,[ii])); if(i-ii>d, d=i-ii;a=[ii]); ii=i); ); printf("%d#=%d, 1..%d:%d=%d\n", pr,prr,ps,d,a); );
5#=30, 1..5:0=[]
7#=210, 1..11:10=[1]
11#=2310, 1..37:12=[1]
13#=30030, 1..221:16=[1]
17#=510510, 1..2323:18=[1,1129,2183]
19#=9699690, 1..30047:24=[1333,4759,14593,24257]
23#=223092870, 1..510529:34=[60043,134293]
29#=6469693230, 1..9699713:36=[3543523,3897083,3911293,4585201,6283513,7340191,8302457,8537611,9018091,9127133,9207511]
31#=200560490130, 1..223092899:48=[7006073]
37#=7420738134810, 1..6469693261:64=[4683065593]

Видно что по крайней мере на этих праймориалах добавка $p_{r-1}$ никакого эффекта не даёт.
Также видно что начиная с $19\#$ максимальное расстояние уже не с $1$.
Тоже видно что поначалу максимальное расстояние равно $p_{r+1}-1$, как и должно быть для интервала $[1\ldots p_{r+1}]$, но с увеличением расстояния формула нарушается, но и $2p_{r-1}$ никогда не равно.

Все правильно. Большое спасибо! Мне нужно было убедиться, что на первом ПСВ$p_{r-2}\#$ расстояние меньше $2p_{r-1}$. Вы это подтвердили. Оно могло быть равно $2p_{r-1}$ только на границе между ПСВ$p_{r-2}\#$, поэтому я включил границу.
Например, такая ситуация произошла на границе между вторым и третьим ПСВ$p_{r-2}\#$ в этом случае:
$19\#:60043+34$ _ _ _ _ _ _ _ _$60043=13\#\cdot2 -17$ и получилось максимальное расстояние $d=2p_{r-1}=2 \cdot 17=34$, а внутри первого ПСВ$13\#$ максимальное расстояние $d=24<34$, как Вы подсчитали.

Обрадовался и пропустил последнюю строку: $64>2 \cdot 31=62=2p_{r-1}$, т.е. на первом ПСВ$p_{r-2}\#$ расстояние больше $2p_{r-1}$ и мое доказательство полетело ..... очень далеко!
Наверно Боженька придумал эти простые числа и смотрит на нас сверху, над попытками доказательств гипотез о простых числах, и смеется. Ох, совсем не простые эти числа

[vorvalm]

Dmitriy40 в сообщении #1513016 писал(а):

для $31\#$ у меня адрес $74959204291$, там же указан второй $125601285781$

И это не удивительно. Эти разности зеркально повторяют друг друга В ПСВ
Сложите эти адреса и прибавьте 58. Получите $31\#$,

То же и у Yury_rsn с $41\#.$

[Dmitriy40]

vorvalm
Про симметричность понятно, непонятны критерии выбора чисел для их таблицы. Почему не минимум.

vicvolf
Вот потому и плохо обосновывать/проверять свои выкладки лишь на начале числовой прямой.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513101 писал(а):

vicvolf
Вот потому и плохо обосновывать/проверять свои выкладки лишь на начале числовой прямой.

Согласен, но саму гипотезу хорошо проверили:

Dmitriy40 в сообщении #1510341 писал(а):

Вот начало таблицы для интервала от следующего простого до его же квадрата, показываю только моменты смены любого из двух чисел:

Используется синтаксис Text

5#:     6       23
7#:     8       89
11#:    14      113
23#:    18      523
29#:    20      887
31#:    34      1327
97#:    36      9551
113#:   44      15683
139#:   52      19609
173#:   72      31397
389#:   86      155921
599#:   96      360653
607#:   112     370261
701#:   114     492113
1153#:  118     1349533
1163#:  132     1357201
1409#:  148     2010733
2153#:  154     4652353
4129#:  180     17051707
4561#:  210     20831323

Из данной гипотезы вытекает не только гипотеза Лежандра, но и две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана. Они предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.
https://yandex.ru/search/?lr=213&text=% ... 1%80%D0%B0

Кстати есть статья на эти гипотезы:
https://arxiv.org/abs/1310.1323

Правда там только проверяется гипотеза Лежандра и говорится об этих гипотезах. Никаких новых гипотез, из которых эти гипотезы следуют, не предлагается. Поэтому у меня возникла идея. Давайте я опубликую статью в Архиве об этой гипотезе и сделаю ссылки на участников темы. Кто захочет - напишите мне в личку.

[Yury_rsn]

Dmitriy40
Можно вас в тысячный раз попросить - проверить номера позиций появления максимумов в http://oeis.org/A048670/a048670.txt?

С учетом замечания

vorvalm в сообщении #1513094 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1513016 писал(а):

для $31\#$ у меня адрес $74959204291$, там же указан второй $125601285781$

И это не удивительно. Эти разности зеркально повторяют друг друга В ПСВ
Сложите эти адреса и прибавьте 58. Получите $31\#$,

То же и у Yury_rsn с $41\#.$

Я имею в виду: проверить номер позиции первого появления максимумов Якобсталя по каждому праймориалу - а вдруг это зеркально симметричная позиция, а не первая минимальная?
Хочется всё-таки понимать, Якобсталевские максимумы начинают появляться дальше стыковых, или возможны варианты.
(Я это сам сделать не могу, слишком длинные числа перестают отображаться при попытке арифметических операций)
Спасибо )

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1513128 писал(а):

Dmitriy40
Можно вас в тысячный раз попросить - проверить номера позиций появления максимумов в http://oeis.org/A048670/a048670.txt?

Разве Вы этого уже не сделали? Вот же:

Yury_rsn в сообщении #1513056 писал(а):

Вот таблица сравнения:

Yury_rsn в сообщении #1513128 писал(а):

(Я это сам сделать не могу, слишком длинные числа перестают отображаться при попытке арифметических операций)

В сети немало калькуляторов с произвольной длиной чисел. И даже калькулятор в новых Windows тоже выводит больше 30 знаков.
К тому же можно проверить совпадение лишь младших скажем 4-9 цифр, думаю уже этого будет достаточно.

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1513128 писал(а):

Я имею в виду: проверить номер позиции первого появления максимумов Якобсталя по каждому праймориалу - а вдруг это зеркально симметричная позиция, а не первая минимальная?
Хочется всё-таки понимать, Якобстал

Никакой сложности здесь нет. Надо сравнить адрес с $0,5p\#$

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1513142 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1513128 писал(а):

Dmitriy40
Можно вас в тысячный раз попросить - проверить номера позиций появления максимумов в http://oeis.org/A048670/a048670.txt?

Разве Вы этого уже не сделали? Вот же:

Yury_rsn в сообщении #1513056 писал(а):

Вот таблица сравнения:

В электронной таблице это выглядит так:
$6136950437487829 - 18729282685998828 = 1,87293E+16 $
С числами в экспоненциальной форме можно оперировать - делить, и т.д.
Но в таком виде трудно на глаз определить их настоящую величину.

Спасибо - калькулятор отображает.
И да. Можно воспользоваться этим советом vorvalm'а
"Надо сравнить адрес с $0,5p\#$

[Dmitriy40]

Странно, мне наоборот, трудно "на глаз" определить величину того же $18729282685998828$, а вот порядок числа $1{,}87293E+16$ виден прекрасно, почти вдвое больше $10^{16}$.