2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 ... 41  След.
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение23.04.2021, 18:56 


23/02/12
15/08/22
2808
Еще немного мыслей вслух. Сначала рассмотрим функцию максимального расстояния в ПСВ$p_r\#$ между простыми числами на интервале $(1,p^2_{r+1})$ - $d(p^2_{r+1})$.

При переходе от ПСВ$p_{r-1}\#$ к ПСВ$p_r\#$ удаляются вычеты $p^2_r,p_rp_{r+1},...$, поэтому появляются новые расстояния между простыми числами. Однако в ПСВ$p_{r}\#$, сохраняются простые числа и расстояния между ними, которые уже были в ПСВ$p_{r-1}\#$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$. Поэтому $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$ является неубывающей функцией.

Теперь рассмотрим функцию Якобсталя максимального расстояния в ПСВ$p_r\#$ между вычетами на интервале $[1,p_r\#]$. Данная функция A048670 является строго возрастающей.

При переходе от ПСВ$p_{r-1}\#$ к ПСВ$p_r\#$ удаляются вычеты $p^2_r,p_rp_{r+1},...$, как говорилось выше, поэтому появляются новые расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$. Поскольку функция Якобсталя является строго возрастающей, то среди этих новых расстояний между вычетами ПСВ$p_r\#$ на интервале $[1,p_r\#]$ имеются наибольшие.

Таким образом, для определения значения функции Якобсталя для ПСВ$p_r\#$ достаточно просмотреть только расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$, полученные после удаления вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$.

Учитывая симметричность ПСВ$p_r\#$, то таких максимальных расстояний между вычетами на интервале $[1,p_r\#]$ четное количество. Поэтому для определения функции Якобсталя для ПСВ$p_r\#$ достаточно просмотреть только расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$, полученные после удаления вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$ на интервале $[1,p_r\#/2]$.

Для примера рассмотрим ПСВ$11\#$ на интервале $[1,1155]$.

Удаляемые вычеты - $121,143,187,209,253,319,341,407,451,473,517$$,583,649,671,737,781,803,869,913,979,1067,1111,1133$.

Максимальное расстояние после удаления этих вычетов - 14.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение29.04.2021, 10:47 


23/02/12
15/08/22
2808
vicvolf в сообщении #1515425 писал(а):
При переходе от ПСВ$p_{r-1}\#$ к ПСВ$p_r\#$ удаляются вычеты $p^2_r,p_rp_{r+1},...$, поэтому появляются новые расстояния между простыми числами. Однако в ПСВ$p_{r}\#$, сохраняются простые числа и расстояния между ними, которые уже были в ПСВ$p_{r-1}\#$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$. Поэтому $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$ является неубывающей функцией.

vicvolf в сообщении #1512133 писал(а):
Dmitriy40 в сообщении #1510341 писал(а):
Вот начало таблицы для интервала от следующего простого до его же квадрата, показываю только моменты смены любого из двух чисел:
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
5#:     6       23
7#:     8       89
11#:    14      113
23#:    18      523
29#:    20      887
31#:    34      1327
97#:    36      9551
113#:   44      15683
139#:   52      19609
173#:   72      31397
389#:   86      155921
599#:   96      360653
607#:   112     370261
701#:   114     492113
1153#:  118     1349533
1163#:  132     1357201
1409#:  148     2010733
2153#:  154     4652353
4129#:  180     17051707
4561#:  210     20831323

Во всех указанных ПСВ , в которых изменилось расстояние $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$, в колонке справа указаны адреса на месте составных вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$ и расстояния, указанные в колонке слева, получены после удаления данных составных вычетов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение29.04.2021, 15:33 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
vicvolf в сообщении #1516014 писал(а):
Во всех указанных ПСВ , в которых изменилось расстояние $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$, в колонке справа указаны адреса на месте составных вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$ и расстояния, указанные в колонке слева, получены после удаления данных составных вычетов.
Это неверно, не всегда именно данных вычетов:
Dmitriy40 в сообщении #1515161 писал(а):
Третье.
vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):
При переходе с $r-1$ на $r$ шаг решета Эратосфена на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ удаляются составные вычеты: $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1},...,p_r \cdot p_{r+k} < p^2_{r+1}$. Поэтому максимальные расстояния между соседними простыми числами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся на местах этих вычетов.
И это тоже неверно.
Контрпример: интервал $(97^2;101^2)$, максимальное расстояние между простыми равно $d=36$, но находится оно вот где $(9551;9587)$ и между этими числами максимальный вычет всего лишь $73$: $9551,41,3,19,11,3,73,5,3,7,17,3,5,61,3,11,7,3,9587$ (только нечётные числа). Т.е. в интервале нет вычета $97$.
И таких контрпримеров почти вся посчитанная мною таблица в соседней теме. Например интервал $(599^2;601^2)$ (причём из простых близнецов! что одновременно и контрпример другому вашему утверждению) с максимальным расстоянием $d=96$ между $(360653;360749)$ и максимальным вычетом в этом интервале всего лишь $373$.
Так что после удаления вычетов $p_r$ остаются числа конечно не делящиеся на простые $\le p_r$, но максимальный интервал между простыми будет совсем не обязательно именно на этих удалённых вычетах.

Сколько ещё раз Вы будете дублировать свои ошибочные утверждения? С ошибочностью которых уже даже сами согласились:
Dmitriy40 в сообщении #1515233 писал(а):
vicvolf в сообщении #1515218 писал(а):
Я согласился, что в данном случае, максимум расстояния не на местах этих вычетов.
Значит я слепой и не заметил где вы согласились. И уж тем более что не только в данном случае, а вообще в $6542-22=6520$ случаях или более чем в 99.6% всех проверенных мной случаев. Т.е. практически всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.04.2021, 12:19 


23/02/12
15/08/22
2808
Dmitriy40 в сообщении #1516053 писал(а):
Контрпример: интервал $(97^2;101^2)$, максимальное расстояние между простыми равно $d=36$, но находится оно вот где $(9551;9587)$ и между этими числами максимальный вычет всего лишь $73$: $9551,41,3,19,11,3,73,5,3,7,17,3,5,61,3,11,7,3,9587$ (только нечётные числа). Т.е. в интервале нет вычета $97$.
И таких контрпримеров почти вся посчитанная мною таблица в соседней теме. Например интервал $(599^2;601^2)$ (причём из простых близнецов! что одновременно и контрпример другому вашему утверждению) с максимальным расстоянием $d=96$ между $(360653;360749)$ и максимальным вычетом в этом интервале всего лишь $373$.
Спасибо, что напомнили об этих контрпримерах. Эти случаев всего 2 в этой таблице из 20, где менялись расстояние. Для остальных случаев максимальные расстояния находятся в местах удаления этих составных вычетов.

Например, для $31\#$ расстояние $d=34$ находится в $1327$, т.е. после удаления составного вычета $31 \cdot 43=1333$, а для $113\#$ расстояние $d=44$ находится в $15683$, т.е. после удаления составного вычета $113 \cdot 139=15707$.

Я как раз исследую случай увеличения расстояния после удаления составных вычетов, так как случай повторения значений ПСВ не являются проблемными в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.04.2021, 14:09 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
vicvolf
Во первых даже два контрпримера (и даже один) уже означают неверность вашего утверждения. А минимальные контрпримеры уже $13,17,19,23$, можете их даже руками/калькулятором проверить.
Во вторых, научитесь считать, таких случаев не 20-2=18, а всего девять — $2, 3, 5, 7, 11, 29, 31, 113, 389$ — и дальше их нет вообще! Во всяком случае до проверенных лично мною $10^5$.
В третьих, эти данные вполне можно получить из таблицы увеличения максимального интервала между простыми, надо лишь аккуратно найти именно то наименьшее простое, для которого новый интервал попадёт в диапазон от квадрата его самого до квадрата следующего простого. А таких данных есть аж 80 значений, до $2\cdot10^{19}$. Написал программку, запустил и да, других вариантов кроме девяти вышеуказанных и нет! Так что не 2 из 20, а всего 9 из 80, причём все они лишь в самом начале.
В четвёртых, если брать не только моменты увеличения максимального расстояния, а вообще все простые, то контрпримеров тоже не 2 из 20, а 6520 из 6542 для простых до $2^{16}$ или более 99.6%.

Так что ваше утверждение можно считать верным лишь для первых пяти простых, а уже для шестого оно неверно. Всего лишь! Запишите это себе большими красными буквами на всех листочках с формулами и не повторяйте снова и снова.

Вот вам более полная таблица, до $2\cdot10^{19}$ (до $10^5$ насчитано мною, дальше взял данные из готовой таблицы и посчитал нужные величины), с указанием максимального вычета $m$, максимального расстояния $d$ и где оно впервые встретилось $a$ в диапазоне $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ (показаны только моменты увеличения расстояния):
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
p_r=2, d=2, m=2, a=5
p_r=3, d=4, m=3, a=13
p_r=5, d=6, m=5, a=31
p_r=7, d=8, m=7, a=89
p_r=11, d=10, m=11, a=139
p_r=13, d=12, m=11, a=199
p_r=17, d=14, m=13, a=293
p_r=29, d=20, m=29, a=887
p_r=31, d=34, m=31, a=1327
p_r=97, d=36, m=73, a=9551
p_r=113, d=44, m=113, a=15683
p_r=139, d=52, m=73, a=19609
p_r=173, d=72, m=163, a=31397
p_r=389, d=86, m=389, a=155921
p_r=599, d=96, m=373, a=360653
p_r=607, d=112, m=547, a=370261
p_r=701, d=114, m=677, a=492113
p_r=1153, d=118, m=1091, a=1349533
p_r=1163, d=132, m=727, a=1357201
p_r=1409, d=148, m=1367, a=2010733
p_r=2153, d=154, m=2029, a=4652353
p_r=4129, d=180, m=3433, a=17051707
p_r=4561, d=210, m=4079, a=20831323
p_r=6871, d=220, m=6793, a=47326693
p_r=11047, d=222, m=10139, a=122164747
p_r=13763, d=234, m=7481, a=189695659
p_r=13841, d=248, m=13711, a=191912783
p_r=19661, d=250, m=19081, a=387096133
p_r=20887, d=282, m=17467, a=436273009
p_r=35969, d=288, m=25889, a=1294268491
p_r=38119, d=292, m=24407, a=1453168141
p_r=47963, d=320, m=39191, a=2300942549
p_r=61987, d=336, m=60631, a=3842610773
p_r=65587, d=354, m=33563, a=4302407359
p_r=103567, d=382, m=81973, a=10726904659
p_r=143797, d=384, m=124147, a=20678048297
p_r=149551, d=394, m=127763, a=22367084959
p_r=158269, d=456, m=123583, a=25056082087
p_r=206519, d=464, m=99257, a=42652618343
p_r=357737, d=468, m=207589, a=127976334671
p_r=426871, d=474, m=379283, a=182226896239
p_r=491081, d=486, m=289967, a=241160624143
p_r=545429, d=490, m=495433, a=297501075799
p_r=550789, d=500, m=526501, a=303371455241
p_r=551861, d=514, m=478523, a=304599508537
p_r=645443, d=516, m=641419, a=416608695821
p_r=679463, d=532, m=649183, a=461690510011
p_r=783877, d=534, m=699253, a=614487453523
p_r=859553, d=540, m=619987, a=738832927927
p_r=1160297, d=582, m=905143, a=1346294310749
p_r=1186879, d=588, m=997207, a=1408695493609
p_r=1402901, d=602, m=1087543, a=1968188556461
p_r=1617047, d=652, m=1399837, a=2614941710599
p_r=2678993, d=674, m=1523981, a=7177162611713
p_r=3718739, d=716, m=3634679, a=13829048559701
p_r=4425079, d=766, m=2836271, a=19581334192423
p_r=6545381, d=778, m=3760147, a=42842283925351
p_r=9532777, d=804, m=8174783, a=90874329411493
p_r=13085539, d=806, m=9073873, a=171231342420521
p_r=14771909, d=906, m=12943781, a=218209405436543
p_r=34488539, d=916, m=33071917, a=1189459969825483
p_r=41073029, d=924, m=32743147, a=1686994940955803
p_r=41148293, d=1132, m=36366269, a=1693182318746371
p_r=209383729, d=1184, m=146574287, a=43841547845541059
p_r=235267421, d=1198, m=208362043, a=55350776431903243
p_r=284382859, d=1220, m=194758301, a=80873624627234849
p_r=451648597, d=1224, m=319873651, a=203986478517455989
p_r=466941869, d=1248, m=350437883, a=218034721194214273
p_r=552635299, d=1272, m=494181269, a=305405826521087869
p_r=593734969, d=1328, m=535093483, a=352521223451364323
p_r=633584947, d=1356, m=552843997, a=401429925999153707
p_r=646554427, d=1370, m=612589489, a=418032645936712127
p_r=896779127, d=1442, m=785175763, a=804212830686677669
p_r=1193805997, d=1476, m=865102109, a=1425172824437699411
p_r=2394418813, d=1488, m=1781805643, a=5733241593241196731
p_r=2605376887, d=1510, m=2176308917, a=6787988999657777797
p_r=3945963587, d=1516, m=3609046811, a=15570628755536096243
p_r=4204599149, d=1530, m=3507366799, a=17678654157568189057
p_r=4285017509, d=1550, m=3975661931, a=18361375334787046697

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.04.2021, 19:35 


23/02/12
15/08/22
2808
Dmitriy40 в сообщении #1516185 писал(а):
Написал программку, запустил и да, других вариантов кроме девяти вышеуказанных и нет! Так что не 2 из 20, а всего 9 из 80, причём все они лишь в самом начале.
Спасибо, за полную и наглядную таблицу. Пусть данных вариантов только 9. Я понял, что они очень редки. Но даже, если бы он был только один, то его в доказательстве надо учесть. А вот утверждение, что они только в начале надо доказать! Пока это не доказано, то возможно, что они могут быть и дальше!

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.04.2021, 20:20 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
vicvolf
Конечно доказать надо. Потому я и говорил только о проверенных интервалах, а не вообще, как некоторые ... ;-)

Кстати конкретно это предположение, про максимальный вычет, можно попробовать проверить и дальше, ведь простые числа уже намного больше среднего интервала и значит процент проверки чисел будет небольшим (порядка миллионных долей всего). Но эта проверка не найдёт максимальный интервал, лишь интервалы вокруг максимальных вычетов, и если они будут меньше скажем 1550, то да, это отказ, а вот если больше ... то останется неизвестным нет ли где-то рядом ещё большего интервал. Правда сильно дальше так не насчитаешь, интервалы увеличиваются и относительно скоро станут больше 1550 и ценность идеи нивелируется до перебора снова почти всех простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.04.2021, 22:36 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
Реализовал эту свою идею, вот что насчиталось до $10^{10}$, показываю только случаи "выбивания" именно вычетом $p_r$ очередного числа и объединения интервалов, только моменты увеличения расстояния от предыдущего для меньших $p_r$ ($m$ не показываю так как оно везде равно $p_r$):
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
p_r=2, d=2, a=5
p_r=3, d=4, a=13
p_r=3, d=4, a=19
p_r=5, d=6, a=31
p_r=7, d=8, a=89
p_r=11, d=10, a=139
p_r=13, d=12, a=211
p_r=17, d=14, a=317
p_r=29, d=20, a=887
p_r=31, d=22, a=1129
p_r=31, d=34, a=1327
p_r=113, d=44, a=15683
p_r=181, d=54, a=35617
p_r=389, d=86, a=155921
p_r=619, d=100, a=396733
p_r=2789, d=120, a=7784039
p_r=4297, d=144, a=18687587
p_r=16447, d=146, a=270569591
p_r=18899, d=180, a=357436661
p_r=27109, d=182, a=735385691
p_r=30983, d=192, a=961061617
p_r=73999, d=208, a=5477183851
p_r=93089, d=222, a=8666306527
p_r=116539, d=240, a=13582503691
p_r=265231, d=310, a=70350135649
p_r=766487, d=314, a=587513051717
p_r=1021301, d=334, a=1043057775163
p_r=2045759, d=350, a=4185133977533
p_r=3409321, d=356, a=11623531048583
p_r=3423419, d=376, a=11719961973367
p_r=4062287, d=400, a=16502232541999
p_r=5743069, d=404, a=32983140177959
p_r=5982329, d=450, a=35788332052171
p_r=6655631, d=464, a=44297437318997
p_r=9085039, d=468, a=82538242522669
p_r=30303547, d=476, a=918306172922651
p_r=30373219, d=490, a=922533161379001
p_r=31871017, d=494, a=1015763828100929
p_r=33560411, d=542, a=1126302394663361
p_r=34450943, d=576, a=1186867955902037
p_r=51063239, d=582, a=2607455092056049
p_r=87230761, d=610, a=7609211770791817
p_r=198434671, d=640, a=39376330164088933
p_r=314272363, d=662, a=98767123802505647
p_r=388340471, d=698, a=150808328406630053
p_r=391470559, d=752, a=153249203261419049
p_r=479498501, d=788, a=229918826846201873
p_r=982920299, d=850, a=966132327947133559
p_r=982920299, d=850, a=966132327947133559
p_r=3180667211, d=858, a=10116644136138557243
p_r=4088651269, d=866, a=16717069289445637517
p_r=4689991997, d=930, a=21996025053863839799
p_r=7222849273, d=934, a=52169552530555636279
p_r=8237596459, d=948, a=67857995454279723793
p_r=9023217317, d=982, a=81418451417526759187
Из сравнения с предыдущей таблицей видно что эти интервалы после $p_r=389$ везде меньше соответствующих максимальных.
Так что примеров выполнения вашего утверждения конечно не 9, но и не так чтобы совсем уж много, даже откровенно мало, меньше одного на 8 миллионов и продолжает быстро уменьшаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение01.05.2021, 16:41 


23/02/12
15/08/22
2808
Yury_rsn в сообщении #1513020 писал(а):
$19\#:60043+34$ _ _ _ _ _ _ _ _$60043=13\#\cdot2 -17$
$23\#:20332471+40$ _ _ _ _ _ _$20332471=17\#\cdot40 - 87929$
Рассмотрим первый случай, когда расстояние между вычетами ПСВ превышает $2p_{r-1}$. Это в ПСВ$23\#$. Значение $d=40$ в $20332471$ получается после удаления вычета $20332483$ путем объединения двух расстояний $12$ и $28$, каждое меньше $34$. Так что ничего особенного!

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 16:57 


23/02/12
15/08/22
2808
Dmitriy40 в сообщении #1516185 писал(а):
Вот вам более полная таблица, до $2\cdot10^{19}$ (до $10^5$ насчитано мною, дальше взял данные из готовой таблицы и посчитал нужные величины), с указанием максимального вычета $m$, максимального расстояния $d$ и где оно впервые встретилось $a$ в диапазоне $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ (показаны только моменты увеличения расстояния):
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
p_r=2, d=2, m=2, a=5
p_r=3, d=4, m=3, a=13
p_r=5, d=6, m=5, a=31
p_r=7, d=8, m=7, a=89
p_r=11, d=10, m=11, a=139
p_r=13, d=12, m=11, a=199
p_r=17, d=14, m=13, a=293
p_r=29, d=20, m=29, a=887
p_r=31, d=34, m=31, a=1327
p_r=97, d=36, m=73, a=9551
p_r=113, d=44, m=113, a=15683
p_r=139, d=52, m=73, a=19609
p_r=173, d=72, m=163, a=31397
p_r=389, d=86, m=389, a=155921
p_r=599, d=96, m=373, a=360653
p_r=607, d=112, m=547, a=370261
p_r=701, d=114, m=677, a=492113
p_r=1153, d=118, m=1091, a=1349533
p_r=1163, d=132, m=727, a=1357201
p_r=1409, d=148, m=1367, a=2010733
p_r=2153, d=154, m=2029, a=4652353
p_r=4129, d=180, m=3433, a=17051707
p_r=4561, d=210, m=4079, a=20831323
p_r=6871, d=220, m=6793, a=47326693
p_r=11047, d=222, m=10139, a=122164747
p_r=13763, d=234, m=7481, a=189695659
p_r=13841, d=248, m=13711, a=191912783
p_r=19661, d=250, m=19081, a=387096133
p_r=20887, d=282, m=17467, a=436273009
p_r=35969, d=288, m=25889, a=1294268491
p_r=38119, d=292, m=24407, a=1453168141
p_r=47963, d=320, m=39191, a=2300942549
p_r=61987, d=336, m=60631, a=3842610773
p_r=65587, d=354, m=33563, a=4302407359
p_r=103567, d=382, m=81973, a=10726904659
p_r=143797, d=384, m=124147, a=20678048297
p_r=149551, d=394, m=127763, a=22367084959
p_r=158269, d=456, m=123583, a=25056082087
p_r=206519, d=464, m=99257, a=42652618343
p_r=357737, d=468, m=207589, a=127976334671
p_r=426871, d=474, m=379283, a=182226896239
p_r=491081, d=486, m=289967, a=241160624143
p_r=545429, d=490, m=495433, a=297501075799
p_r=550789, d=500, m=526501, a=303371455241
p_r=551861, d=514, m=478523, a=304599508537
p_r=645443, d=516, m=641419, a=416608695821
p_r=679463, d=532, m=649183, a=461690510011
p_r=783877, d=534, m=699253, a=614487453523
p_r=859553, d=540, m=619987, a=738832927927
p_r=1160297, d=582, m=905143, a=1346294310749
p_r=1186879, d=588, m=997207, a=1408695493609
p_r=1402901, d=602, m=1087543, a=1968188556461
p_r=1617047, d=652, m=1399837, a=2614941710599
p_r=2678993, d=674, m=1523981, a=7177162611713
p_r=3718739, d=716, m=3634679, a=13829048559701
p_r=4425079, d=766, m=2836271, a=19581334192423
p_r=6545381, d=778, m=3760147, a=42842283925351
p_r=9532777, d=804, m=8174783, a=90874329411493
p_r=13085539, d=806, m=9073873, a=171231342420521
p_r=14771909, d=906, m=12943781, a=218209405436543
p_r=34488539, d=916, m=33071917, a=1189459969825483
p_r=41073029, d=924, m=32743147, a=1686994940955803
p_r=41148293, d=1132, m=36366269, a=1693182318746371
p_r=209383729, d=1184, m=146574287, a=43841547845541059
p_r=235267421, d=1198, m=208362043, a=55350776431903243
p_r=284382859, d=1220, m=194758301, a=80873624627234849
p_r=451648597, d=1224, m=319873651, a=203986478517455989
p_r=466941869, d=1248, m=350437883, a=218034721194214273
p_r=552635299, d=1272, m=494181269, a=305405826521087869
p_r=593734969, d=1328, m=535093483, a=352521223451364323
p_r=633584947, d=1356, m=552843997, a=401429925999153707
p_r=646554427, d=1370, m=612589489, a=418032645936712127
p_r=896779127, d=1442, m=785175763, a=804212830686677669
p_r=1193805997, d=1476, m=865102109, a=1425172824437699411
p_r=2394418813, d=1488, m=1781805643, a=5733241593241196731
p_r=2605376887, d=1510, m=2176308917, a=6787988999657777797
p_r=3945963587, d=1516, m=3609046811, a=15570628755536096243
p_r=4204599149, d=1530, m=3507366799, a=17678654157568189057
p_r=4285017509, d=1550, m=3975661931, a=18361375334787046697


Утверждение

С вероятностью равной 1 расстояние между простыми числами на интервале $(p^2_n,p^2_{n+1})-d(p^2_{n+1})<2p_{n-1}$ при $n \to \infty$.

Доказательство

Неравенство выполняется для $p_r=4285017509$.

Предположим, что неравенство $d(p^2_{k+1})<2p_{k-1}$ выполняется для $p_k \geq p_r$.

Покажем, что с вероятностью равной 1 будет выполняться неравенство $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$ для $p_{k+1}$ при $k \to \infty$.

Рассмотрим три случая:

1. Если для $p_{k+1}$ расстояние $d(p^2_{k+2})$ не возрастает.

2. Если для $p_{k+1}$ расстояние $d(p^2_{k+2})$ возрастает, но переходит с $p_k$.

3. Если для $p_{k+1}$ расстояние $d(p^2_{k+2})$ возрастает и образуется при $p_{k+1}$.

В первом случае, при переходе от $p_k$ к $p_{k+1}$, неравенство $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$ тем более выполняется.

Во втором случае, по предположению для простых чисел, неравенство $d(p^2_{k+1})<2p_{k-1}$ выполняется для $p_k$ и так как переходит на $p_{k+1}$, то для $p_{k+1}$ также выполняется $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$.

При $k \to \infty$ вероятность первого и второго случая стремится к 1, а третьего - к нулю. Поэтому с вероятностью равной 1 при $k \to \infty$ для $p_{k+1}$ выполняется $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$.

Таким образом, из принципа математической индукции следует исходное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 17:15 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
А смысл? Аналогично с вероятностью 1 любое число $p_n$ при $n\to\infty$ является составным. Однако простых бесконечно много, и они бывают даже на весьма малых расстояниях (всего лишь 246) друг от друга.
Т.е. я например даже не буду вдумываться правильно ли это доказательство, оно практической пользы не имеет, вернее я её не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 17:31 


23/02/12
15/08/22
2808
Dmitriy40 Это просто обоснование гипотезы, что расстояние между простыми числами на интервале $(p^2_n,p^2_{n+1})-d(p^2_{n+1})<2p_{n-1}$.
Многие гипотезы о простых числах обосновываются вероятностными методами. Например, гипотеза Крамера об асимптотике наибольшего расстояния между простыми числами или гипотеза Харди-Литтлвуда об асимптотическом количестве простых кортежей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 17:43 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
vicvolf
И? Ну обосновали, и что дальше? Для доказательства гипотезы же оно ничего не даёт, вероятность 1 не исключает возможность существования контрпримеров, даже бесконечного их количества (как с простыми или с иррациональными, их то вообще в некотором смысле неизмеримо больше рациональных, и все с вероятностью 0).

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 17:55 


23/02/12
15/08/22
2808
Dmitriy40 Это не доказательство, но гипотезой Харди-Литтлвуда, хотя она и не доказана, многие пользуются для нахождения количества кортежей на больших интервалах. Помню мы даже использовали с Вами эту гипотезу в одной из тем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 18:38 
Заслуженный участник


20/08/14
9480
Россия, Москва
vicvolf
Мне непонятно какой смысл Вы вложили в слова "с вероятностью равной 1" — "почти всегда, но не обязательно", ведь так, да? Учитывая что нет никакого обоснования когда же "не обязательно", то каков смысл в указании вероятности то? И чем в данном контексте вероятность $1$ лучше вероятности $>0.99$?

Потому что многие, и я в том числе, обязательно подумают что "вероятность равна 1" означает 100% обязательность и невозможность никаких контрпримеров (других случаев), т.е. что условие доказано. А это очевидно не так и вероятно пропущено слово "в пределе", лишь предел вероятности равен 1, не сама вероятность. И это уже очень и очень разные вещи! И выходит Вы запутываете людей, не договаривая важных моментов, и ещё хорошо если не намеренно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 615 ]  На страницу Пред.  1 ... 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group